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Définition d'une forme différentielle

Tout de go, définissons tout d'abord ce qu'est une application différentielle:

Définition Soit $ U$ un ouvert de $ E$ un $ \mathbb{R}$-espace de Banach, soit $ F$ un $ \mathbb{R}$-espace de Banach.

On appelle forme différentielle de degré $ p$ sur $ U$ à valeurs dans $ F$ une application de $ U$ dans $ {\cal A}_p(E;F)$ 1.1.

La forme différentielle est dite de classe $ C^n$ si l'application est $ C_n$ (pour $ n\in \mathbb{N}\cup \{ \infty\}$).

On note $ \Omega^{(n)}_p(U,F)$ l'ensemble des $ p$ formes différentielles de $ U$ dans $ F$ de classe $ C^n$.


Exemples:

- Une application $ C^n$ de $ E$ dans $ F$ est une 0-forme différentielle de $ E$ dans $ F$, de classe $ C^n$.

- Si $ n>0$, sa différentielle est une forme $ 1$-différentielle de classe $ C^{n-1}$.

Nous allons définir plus loin de nombreuses opérations sur cet outil, mais tout d'abord nous devons rappeler certaines propriétés des applications multilinéaires.



Notes

...\space 1.1
Espace des applications $ p$-linéaires alternées continues de $ E$ dans $ F$. Cet espace est un Banach, car c'est un sous-espace vectoriel fermé de $ {\cal L}_p(E,F)$ (qui est un Banach comme chacun sait).

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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