Tout de go, définissons tout d'abord ce qu'est une application différentielle:
Définition
Soit un ouvert de un
-espace de Banach,
soit un
-espace de Banach.
On appelle forme différentielle de degré sur à valeurs dans une application
de dans
1.1.
La forme différentielle est dite de classe si l'application est (pour
).
On note
l'ensemble des formes différentielles de dans de classe .
Exemples:
- Une application de dans est une 0-forme différentielle de dans , de classe .
- Si , sa différentielle est une forme -différentielle de classe .
Nous allons définir plus loin de nombreuses opérations sur cet outil, mais tout d'abord nous devons rappeler certaines propriétés des applications multilinéaires.
Espace des applications -linéaires alternées continues de dans . Cet espace est un Banach, car c'est un sous-espace vectoriel fermé de
(qui est un Banach comme chacun sait).
un ouvert de 
un
-espace de Banach
un
sur 
si l'application est 
).
l'ensemble des 
, sa différentielle est une forme 
-différentielle de classe 
.
(qui est un Banach comme chacun sait).
