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Propriétés des applications multilinéaires

Définition Etant donnée une application $ \phi$ bilinéaire de $ F\times G$ dans $ H$, on définit une multiplication d'applications $ p$-linéaires alternées par:

$\displaystyle {\cal A}_p(E,F) \times {\cal A}_q(E,G) \to {\cal A}_{p+q}(E,H)$

$\displaystyle (f,g) \mapsto f \land_\phi g$

définie par

$\displaystyle (f\land_\phi g)(x_1,\dots,x_{p+q})=$

$\displaystyle \sum_{\sigma } \epsilon (\sigma ) \phi(f(x_{\sigma (1)},x_{\sigma...
...ts,x_{\sigma (p)}),g(x_{\sigma (p+1)},x_{\sigma (p+2)},\dots,x_{\sigma (p+q)}))$

La sommation étant étendue à l'ensemble des permutations $ \sigma $ de $ [1,n]$ telles que $ \sigma (1) < \sigma (2) < \dots < \sigma (p)$ et $ \sigma (p+1) < \sigma (p+2) < \dots < \sigma (p+q)$.


Remarque Il conviendrait de montrer que $ f\land_\phi g$ est bien $ p+q$ linéaire, continue et alternée.

Remarque souvent on s'abstiendra de noter $ \land_\phi$; on se contentera de $ \land$. $ \phi$ sera souvent implicitement l'application la plus intuitive; par exemple si $ H$ et $ G$ sont égaux et si $ F$ est $ \mathbb{R}$, on utilisera le produit d'un élément d'un Banach par un réel.

Proposition [Propriété du produit d'applications multilinéaires]

$ \land_\phi$ est bilinéaire.


Proposition [Propriétés du produit de formes multilinéaires]

$ \bullet\ $Si $ f$ appartient à $ {\cal A}_p(E,\mathbb{R})$ et $ g$ appartient à $ {\cal A}_q(E,\mathbb{R})$, alors $ f\land g=(-1)^{pq} g \land f$

$ \bullet\ $Si $ f$ ppartient à $ {\cal A}_p(E,\mathbb{R})$, $ g$ appartient à $ {\cal A}_q(E,\mathbb{R})$ et $ h$ appartient à $ {\cal A}_r(E,\mathbb{R})$, alors $ (f\land g)\land h=f\land (g \land h)$.

$ \bullet\ $Si les $ f_i$ sont des formes linéaires continues sur $ E$ (dans $ \mathbb{R}$), pour $ i\in [1,n]$, alors

$\displaystyle f_1 \land \dots \land f_n (x_1,\dots,x_n) = \sum_{\sigma \in \sigma ^n} \epsilon (\sigma ) f_i(x_{\sigma (i)})=det\ (f_i(x_j))_{i,j}$


Proposition [Propriétés des application $ p$-linéaires avec $ \dim E = n$] $ E$ est ici supposé isomorphe à $ \mathbb{R}^n$.

Toute application $ p$-linéaire de $ E$ dans $ F$ s'écrit de manière unique

$\displaystyle x\mapsto \sum_{1\leq i_1<i_2<\dots<i_p\leq n} \underbrace{c_{i_1,\dots,i_p}}_{\in F} e_{i_1}^*\land e_{i_2}^* \land \dots e_{i_p}^*$

avec la famille des $ e_i^*$ la base duale de la base des $ e_i$ (base canonique de $ \mathbb{R}^n$), c'est à dire que les $ e_i^*$ sont les formes qui donnent les coordonnées d'un point.

En particulier, si $ p=n$, l'application s'écrit $ x\mapsto (e_1^* \land e_2^* \land \dots \land e_n^*)(x)c$, avec $ c$ un élément de $ F$, et si $ p>n$, l'application est nécéssairement nulle.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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