Définition
Etant donnée une application bilinéaire de dans , on définit une multiplication d'applications -linéaires alternées par:
définie par
La sommation étant étendue à l'ensemble des permutations de telles que
et
.
Il conviendrait de montrer que
est bien linéaire, continue et alternée.
souvent on s'abstiendra de noter
; on se contentera de . sera souvent implicitement l'application la plus intuitive; par exemple si et sont égaux et si est
, on utilisera le produit d'un élément d'un Banach par un réel.
Proposition [Propriété du produit d'applications multilinéaires]
est bilinéaire.
Proposition [Propriétés du produit de formes multilinéaires]
Si appartient à
et appartient à
,
alors
Si ppartient à
, appartient à
et appartient à
,
alors
.
Si les sont des formes linéaires continues sur (dans
), pour
, alors
Proposition [Propriétés des application -linéaires avec
] est ici supposé isomorphe à
.
Toute application -linéaire de dans
s'écrit de manière unique
avec la famille des la base duale de la base des (base canonique de
), c'est à dire que les sont les formes qui donnent les coordonnées d'un point.
En particulier, si , l'application s'écrit
, avec un élément de , et si , l'application est nécéssairement nulle.