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Propriétés des applications multilinéaires

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Propriétés des applications multilinéaires

Définition Etant donnée une application $\phi$ bilinéaire de $F\times G$ dans , on définit une multiplication d'applications -linéaires alternées par:

$\displaystyle {\cal A}_p(E,F) \times {\cal A}_q(E,G) \to {\cal A}_{p+q}(E,H)$

$\displaystyle (f,g) \mapsto f \land_\phi g$

définie par

$\displaystyle (f\land_\phi g)(x_1,\dots,x_{p+q})=$

$\displaystyle \sum_{\sigma } \epsilon (\sigma ) \phi(f(x_{\sigma (1)},x_{\sigma... ...ts,x_{\sigma (p)}),g(x_{\sigma (p+1)},x_{\sigma (p+2)},\dots,x_{\sigma (p+q)}))$

La sommation étant étendue à l'ensemble des permutations $\sigma$ de

telles que $\sigma (1) < \sigma (2) < \dots < \sigma (p)$ et $\sigma (p+1) < \sigma (p+2) < \dots < \sigma (p+q)$ .

Il conviendrait de montrer que $f\land_\phi g$ est bien linéaire, continue et alternée.

souvent on s'abstiendra de noter $\land_\phi$ ; on se contentera de $\land$ . $\phi$ sera souvent implicitement l'application la plus intuitive; par exemple si et sont égaux et si est $\mathbb{R}$ , on utilisera le produit d'un élément d'un Banach par un réel.

Proposition [Propriété du produit d'applications multilinéaires]

$\land_\phi$ est bilinéaire.

Proposition [Propriétés du produit de formes multilinéaires]

$\bullet\$ Si appartient à ${\cal A}_p(E,\mathbb{R})$ et appartient à ${\cal A}_q(E,\mathbb{R})$ , alors $f\land g=(-1)^{pq} g \land f$

$\bullet\$ Si ppartient à ${\cal A}_p(E,\mathbb{R})$ , appartient à ${\cal A}_q(E,\mathbb{R})$ et appartient à ${\cal A}_r(E,\mathbb{R})$ , alors $(f\land g)\land h=f\land (g \land h)$ .

$\bullet\$ Si les sont des formes linéaires continues sur (dans $\mathbb{R}$ ), pour $i\in [1,n]$ , alors

$\displaystyle f_1 \land \dots \land f_n (x_1,\dots,x_n) = \sum_{\sigma \in \sigma ^n} \epsilon (\sigma ) f_i(x_{\sigma (i)})=det\ (f_i(x_j))_{i,j}$

Proposition [Propriétés des application -linéaires avec $\dim E = n$ ] est ici supposé isomorphe à $\mathbb{R}^n$ .

Toute application -linéaire de dans s'écrit de manière unique

$\displaystyle x\mapsto \sum_{1\leq i_1<i_2<\dots<i_p\leq n} \underbrace{c_{i_1,\dots,i_p}}_{\in F} e_{i_1}^*\land e_{i_2}^* \land \dots e_{i_p}^*$

avec la famille des

la base duale de la base des

(base canonique de $\mathbb{R}^n$ ), c'est à dire que les

sont les formes qui donnent les coordonnées d'un point.

En particulier, si , l'application s'écrit $x\mapsto (e_1^* \land e_2^* \land \dots \land e_n^*)(x)c$ , avec un élément de , et si , l'application est nécéssairement nulle.