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Application de tout ça aux formes différentielles

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Application de tout ça aux formes différentielles

Définition [Produit extérieur de formes différentielles]

désigne un ouvert d'un espace de Banach . , et sont des espaces de Banach .

On se donne $\phi$ une application bilinéaire de $F\times G$ dans . On suppose que $f\in \Omega^{(n)}_p(U,F)$ et que $g\in \Omega^{(n)}_q(U,G)$ .

On définit alors le produit extérieur des formes différentielles et $f\land_\phi g\in \Omega^{(n)}_{p+q}(U,H)$ par

$\displaystyle f\land_\phi g: x\mapsto f(x) \land_\phi g(x)$

La notation est abusive du fait que l'on garde la même notation que pour le produit d'applications multilinéaires. Là aussi on négligera souvent de préciser $\land_\phi$ , et on gardera $\land$ .

Exemple:

Si $F=G=H=\mathbb{R}$ , $\phi$ est alors généralement implicitement le produit usuel. Alors le produit de formes différentielle est anticommutatif et associatif, et

$\displaystyle ({\omega}_1 \land {\omega}_2 \land \dots \land w_n)(x)(h_1,\dots,h_n)=$

$\displaystyle \sum_{\sigma \in\sigma _n} \epsilon (\sigma ) w_1(x)(h_{\sigma (1)})w_2(x)(h_{\sigma (2)})\dots w_n(x)(h_{\sigma (n)})=det\ ({\omega}_i(e_j)_{i,j})$