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Densité, approximation

Théorème de Stone

$ K$ compact, $ A$ sous-algèbre unitaire de l'algèbre $ C^0(K,\mathbb{R})$. Si $ A$ sépare les points, alors $ A$ est dense dans $ C^0(K,\mathbb{R})$ pour la norme infinie.

Théorème de Stone, version complexe

$ K$ compact, $ A$ sous-algèbre unitaire de l'algèbre $ C^0(K,\mathbb{C})$ stable par passage au conjugué. Si $ A$ sépare les points, alors $ A$ est dense dans $ C^0(K,\mathbb{C})$ pour la norme infinie.

Théorème de Weierstrass

$ K$ compact de $ \mathbb{R}$, l'ensemble des polynômes de $ K$ dans $ \mathbb{R}$ est dense dans l'ensemble des fonctions continues de $ K$ dans $ \mathbb{R}$ pour la convergence uniforme.

Attention! pas valable pour les polynômes d'un compact de $ \mathbb{C}$ dans $ \mathbb{C}$ !

Théorème de Lusin

$ f$ mesurable de $ \mathbb{R}^n$ dans $ \mathbb{C}$, dont le support est inclus dans un ensemble de mesure finie. Alors pour tout $ \epsilon $ il existe $ g$ continue sur $ \mathbb{R}^n$ égale à $ f$ sauf sur un ensemble de mesure $ <\epsilon $, bornée en module par $ \sup \vert f\vert$.
$ f$ mesurable bornée de $ \mathbb{R}^n$ dans $ \mathbb{C}$, dont le support est inclus dans un ensemble de mesure finie. Alors $ f$ est limite simple presque partout d'une suite de fonctions continues et bornées (par la même borne).
$ C_c^k(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ 1 est dense dans $ C^k(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$.
1 Ensemble des fonctions $ C^k$ à support compact de $ \mathbb{R}^n$ dans $ \mathbb{R}$.
Si $ p \neq \infty$, $ C_c^\infty(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ est dense dans $ L^p(\mathbb{R}^n)$.
Si $ p \neq \infty$, les classes des fonctions en escalier à support compact sont denses dans $ L^p(\mathbb{R}^n)$.
Les classes des fonctions $ C^\infty$ à support compact sont denses dans l'ensemble des fonctions de $ L^\infty$ de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ tendant vers 0 en $ +\infty$ et en $ -\infty$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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