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Primitives usuelles

Sauf mention contraire, les primitives sont valables sur l'ensemble de définition.

\begin{displaymath}\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert}
\hline
f(x) & \int^...
... I_{n+1}=\frac{x}{(1-x^2)^n}+(2n-1)I_n & \\
\hline
\end{array}\end{displaymath}

Pour une primitive de fraction rationnelle réelle décomposée en éléments simples, on a besoin d'intégrer des termes en (i) $ a/(cx+d)^n$ (facile), des éléments en (ii) $ \frac{b}{(x^2+dx+e)^n}$ et des éléments en (iii) $ \frac{x+b}{(x^2+dx+e)^n}$. Pour (i), c'est facile. Pour (ii), il suffit de penser à reformuler $ x^2+dx+e$ en $ (x+d/2)^2+f$, et d'appliquer le formulaire ci-dessus avec un changement de variable $ u=\frac{x+d/2}{\sqrt f}$1.1 et par l'une des formules du tableau ci-dessus. Pour (iii), il suffit de réécrire $ x+b$ en $ \frac12(x+b+(p-b)  -   (p-b))$, chacun des deux quotients obtenus s'intégrant sans peine par (ii) ou parce que de la forme $ u'/u^n$ (cf $ \log$ ou $ u^{-n+1}$).



Notes

... $ u=\frac{x+d/2}{\sqrt f}$1.1
$ f$ étant positif du fait que le discréminant du polynôme est négatif.


C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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