Espaces ${\cal L}^p(X)$ et , ou ${\cal L}^p_\mathbb{C}(X)$ et $L^p_\mathbb{C}(X)$

est égal à ${\cal L}^p$ quotienté par la relation "être égales presque partout". Les sont des espaces de Banach, est un espace hilbertien réel pour $(f\vert g)=\int f g$ , $L^2_\mathbb{C}(X)$ est un espace hilbertien complexe pour $(f\vert g)=\int \overline f g$ .

Hypothèse	Conclusion
$f_i \in L^{p_i}$	${\parallel}\Pi_{i=1}^n f_i {\parallel}_1 \leq \Pi_i {\parallel}f_i {\parallel}_{p_i}$
$p_i \in [1,\infty]$	(inégalité de Hölder)
$\sum_{i\in [1,n]} 1/p_i=1$
$\forall n \vert f_n(x)\vert < \vert g(x)\vert$ presque partout	$f\in L^p$
$g \in L^p$	$f_n \to f$ dans
$f_n(x) \to f(x)$ presque partout	(convergence dominée de Lebesgue)
et	$L^{p'} \subset L^p$
de mesure finie