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Espaces $ {\cal L}^p(X)$ et $ L^p(X)$, ou $ {\cal L}^p_\mathbb{C}(X)$ et $ L^p_\mathbb{C}(X)$

$ L^p$ est égal à $ {\cal L}^p$ quotienté par la relation "être égales presque partout". Les $ L^p$ sont des espaces de Banach, $ L^2(X)$ est un espace hilbertien réel pour $ (f\vert g)=\int f g$, $ L^2_\mathbb{C}(X)$ est un espace hilbertien complexe pour $ (f\vert g)=\int \overline f g$.

Hypothèse Conclusion
$ f_i \in L^{p_i}$ $ {\parallel}\Pi_{i=1}^n f_i {\parallel}_1 \leq \Pi_i {\parallel}f_i {\parallel}_{p_i}$
$ p_i \in [1,\infty]$ (inégalité de Hölder)
$ \sum_{i\in [1,n]} 1/p_i=1$  
$ \forall n \vert f_n(x)\vert < \vert g(x)\vert$ presque partout $ f\in L^p$
$ g \in L^p$ $ f_n \to f$ dans $ L^p$
$ f_n(x) \to f(x)$ presque partout (convergence dominée de Lebesgue)
$ p < p'$ et $ L^{p'} \subset L^p$
$ X$ de mesure finie  



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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