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Transformée de Fourier

hypothèse conclusion
$ g(x)=f(x)e^{i\alpha x}$ $ \hat g(t)= \hat f(t-\alpha )$
$ g(x)=f(x-\alpha )$ $ \hat g(t)=\hat f(t)e^{-i\alpha t}$
$ g(x)=-ixf(x)$ $ \hat f$ différentiable
$ g L^1$ $ \hat f'(t)=\hat g(t)$
$ f$ $ L^1$ $ \hat f(t)= \int_\mathbb{R}f(x) e^{-ixt} d\mu(x)$
  $ \hat f$ $ C^0$
  $ {\parallel}f {\parallel}_\infty \leq {\parallel}f {\parallel}_1$
$ f$ $ L^1$ $ x\mapsto \int_\mathbb{R}\hat f (t) e^{ixt} d\mu(t)$
et $ \hat f$ $ L^1$ est continue et égale à $ f$ presque partout
$ f$ $ L^2$ $ \hat f$ $ L^2$ :
   
  $ \phi_A(f)= \int_{-A}^A \hat f(t) e^{ixt} d\mu(t)$
Théorème $ \lim_{A \to +\infty} \phi_A(f)=f$ (dans $ L^2$)
de ( $ f \mapsto \hat f$ isomorphisme de $ L^2$ dans $ L^2$,
Plancherel défini sur $ L^1 \cap L^2$ par la formule ci-dessus et
  prolongé sur $ L^2$ par densité FLEMMARD)



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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