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Série de Fourier aarb1 - cas -périodique next up previous index
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Série de Fourier - cas $ f$ $ 2\pi$-périodique

hypothèse conclusion
$ n \in \mathbb{Z}$ $ \hat f(n)= \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)e^{-int}$
  $ \hat f(n)= <f \vert u_n>$ ( $ u_n(t)=e^{int}$)
$ n\in \mathbb{N}$ $ D_n= \sum_{i=-n}^{n} u_i$ (noyau de Dirichlet)
$ n\in \mathbb{N}$ $ K_n=\frac1n \sum_{i=0}^{n-1} D_i$ (noyau de Féjer)
$ n\in \mathbb{N}$ $ s_n(f)=\sum_{i=-n}^n \hat f(i) u_i$ (somme de Fourier)
  $ s_n(f)=f*D_n$
  $ \sigma _n(f)=\sum_{i=0}^n s_i(f)$ (somme de Fejer)
  $ \sigma _n(f)=f*K_n$
$ f$ $ L^1$ Théorème de Dirichlet
$ f$ admet une $ \sigma _n(f)(x)$
dérivée à droite $ \to \frac12 (lim_{t\to x,t<x} f(t) + lim_{t\to x,t>x} f(t))$
et à gauche en $ x$  
$ f\in L^2(T)$ $ \hat f \in l^2=L^2(\mathbb{Z})$
  ( $ f \mapsto \hat f$ isomorphisme de $ L^2(T)$ dans $ l^2$)
  $ s_n(f) \to f$ dans $ L^2(T)$
$ f$ $ C^0$ $ \forall n$ $ {\parallel}\sigma _n(f) {\parallel}_\infty < {\parallel}f {\parallel}_\infty$
(Th. de Fejer) $ \sigma _n(f) \to f$ uniformément
$ f$ $ L^p$ $ \forall n$ $ {\parallel}\sigma _n(f) {\parallel}_p < {\parallel}f {\parallel}_p$
$ p< \infty$ $ \sigma _n(f) \to f$ dans $ L^p$ (Th. de Fejer)


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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