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Les $ 1001$ formules dont vous rêvez

Formule Preuve
$ \sum_{k=1}^+\infty \frac{1}{k^2}=\frac{\Pi^2}6$
Formule de Parseval (théorème [*]) sur la série de Fourier de l'identité sur $ [-\Pi,\Pi[$

$ \sum_{k=1}^+\infty 1/p_k=\infty$ $ p_k$ $ k$-ième nombre premier

voir partie [*]

$ (1+\frac xn)^n \to e^x$ pour $ x$ réel.

$ (1+\frac xn)^n=e^{n ln(x/n)}=e^{n(x/n+o(1/n))} \to e^x$

Formule de Stirling $ n! \simeq (\frac ne)^n\sqrt{2\Pi n}$

$\displaystyle n!=\int_0^{\infty} e^{-t}t^n dt$

(preuve par récurrence sur $ n$, par une intégration par parties (théorème [*]) sur $ [0,x]$ et en faisant tendre $ x$ vers $ +\infty$)

changement de variable $ u=t/n$

$\displaystyle n!=n^{n+1}\int_0^{+\infty} e^{n(ln(u)-u)}du$

Il suffit alors d'appliquer le théorème [*].

$ \sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}=ln(2)$

$ U_N=\sum_{n=1}^N \frac{(-1)^{n-1}}{n}$

puis écrire $ 1/n=\int_0^1 t^{n-1}$

puis $ \sum_{n=1}^N (-t)^{n-1}= \frac{1-(-t)^n}{1+t}$ puis passer à la limite, par exemple par convergence uniforme sur un ensemble de mesure finie.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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