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Espaces préhilbertiens

Espace préhilbertien réel$\displaystyle &$   Espace préhilbertien complexe$\displaystyle $

 
$ {\parallel}x+y {\parallel}^2 = {\parallel}x {\parallel}^2 +{\parallel}y {\parallel}^2$ $ {\parallel}x+y {\parallel}^2 ={\parallel}x {\parallel}^2 +{\parallel}y {\parallel}^2 +2Re(<x\vert y>)$
Inégalité de Schwartz
$ \vert<x\vert y>\vert \leq {\parallel}x {\parallel} {\parallel}y {\parallel}$ $ \vert<x\vert y>\vert \leq {\parallel}x {\parallel} {\parallel}y {\parallel}$
Inégalité de Minkowski
$ {\parallel}x + y {\parallel}\leq {\parallel}x {\parallel}+ {\parallel}y {\parallel}$ $ {\parallel}x + y {\parallel}\leq {\parallel}x {\parallel}+ {\parallel}y {\parallel}$
Cas d'égalité: $ x$ et $ y$ positivement liés Cas d'égalité: $ x$ et $ y$ positivement liés
Formule de polarisation
$ <x\vert y> = \frac12 (q(x+y)-q(x)-q(y))$ $ <x\vert y> = \frac14 \sum_{j=1}^4 \overline {i^j}q(x+i^jy)$
$ <x\vert y> = \frac14 (q(x+y)-q(x-y))$ $ <x\vert y>$
  $ = \frac14(q(x+y)-q(x-y)+iq(x-iy)-iq(x+iy)$
En dimension finie, il existe une base orthonormale



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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