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Réduction en dimension finie - propriétés de matrices particulières

Matrice $ M$ de type $ (n,n)$, associée à l'endomorphisme $ f$, $ E=\mathbb{K}^n$, polynôme caractéristique $ P$, $ multip({\lambda})$ ordre de multiplicité de $ {\lambda}$ dans $ P$. Dans beaucoup de cas, la réduction dans une base orthonormale est basée sur le fait que l'orthogonal d'un espace stable est stable.

diagonalisable $ \iff$ $ \exists$ base de vecteurs propres
  $ \iff$ $ E=\otimes_{{\lambda}\in Sp_\mathbb{K}(f)} \ker (f-{\lambda}I)$
  $ \iff$ $ P$ scindé et $ \dim \ker (f-{\lambda}I)=multip({\lambda})$
  $ \iff$ $ \exists Q \in GL_n(\mathbb{K}) / QMQ^{-1}$ diagonale
trigonalisable $ \iff$ $ P$ scindé
  $ \iff$ $ \exists Q\in GL_n(\mathbb{K})$ $ Q^{-1}MQ$ triang. sup.
  $ \iff$ $ \exists Q\in GL_n(\mathbb{K})$ $ Q^{-1}MQ$ triang. inf.
  $ \iff$ $ \exists Q\in GL_n(\mathbb{K})$ $ Q^{-1}MQ=\otimes M_i$
(Jordan) avec $ M_i=\left( \begin{array}{cccccc}
{\lambda}_i & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & ...
...a}_i & 1 \\
0 & \dots & \dots & \dots & 0 & {\lambda}_i \\
\end{array}\right)$
  $ \Rightarrow \exists ! (D,N) / \left\{\begin{array}{c} D \mbox{diagonalisable} \ N \mbox{nilpotente} \ \end{array} \right.$
  $ M=D+H$, $ DH=HD$
$ M$ symétrique réelle diagonalisable dans une base orthonormale
  i.e. $ \exists Q \in O_n(\mathbb{R}) / QMQ^{-1}$ diagonale
$ M,N$ symétriques réelles $ \exists Q \in GL_n(\mathbb{R}) /\left\{ \begin{array}{c} QMQ^{-1}\mbox{ diagonale}\ QNQ^{-1}\mbox{ diagonale}\ \end{array} \right.$
$ Sp_\mathbb{R}(M)>0$  
$ M$ antisymétrique $ Sp_\mathbb{R}(M)\subset \{ 0 \}$, $ Sp_\mathbb{C}(M)\subset i\mathbb{R}$
réeele $ rang(M)$ pair, $ M^2$ symétrique
  $ \exists Q \in O_n(\mathbb{R})/ Q^{-1}MQ=(0) \otimes M_k $
  $ (0)$ matrice nulle de la taille du noyau, $ M_k$ antisymétrique $ (2,2)$
$ M$ réelle $ \exists Q \in O_n(\mathbb{R})$ $ QMQ^{-1}=\otimes M_i \otimes N_i$
commutant avec $ ^tM$ avec $ M_i=({\lambda}_i)$ (matrice $ (1,1)$) et
  $ N_i=\left(\begin{array}{cc} a_i & -b_i \ b_i & a_i \ \end{array}\right)$
$ M$ orthogonale (réelle) $ det M=\pm1$, $ Sp_\mathbb{R}(M) \subset \{-1,1\}$
$ M$ unitaire (complexe) $ \vert det M\vert=1$, $ \vert Sp_\mathbb{C}(M)\vert=1$
$ M$ hermitienne $ Sp_{\mathbb{C}}(M) \subset \mathbb{R}$, $ \exists Q\in U_n(\mathbb{C}) / Q^{-1}MQ$ diagonale
$ M,N$ hermitiennes, $ \exists Q\in GL_n(\mathbb{C})/ QMQ^{-1}$ diagonale
$ Sp_\mathbb{C}(M)>0$ et $ QNQ^{-1}$ diagonale
$ M$ complexe $ M$ et $ ^t\overline M$ simultanément diagonalisables
commute avec $ ^t\overline M$ dans une base orthonormale
$ M$ réelle Décomposition ALU
$ \forall r \in [1,n]$ $ \exists ! (L,U)/$ $ L$ triang. inf., $ Sp(L)=1$
$ det M_{[1,r]^2}\not=0$ $ U$ triangulaire supérieure, $ A=LU$
$ A$ symétrique réelle $ A=R ^tR$ avec $ R$ triangulaire inférieure
$ Sp(A)>0$ inversible, décomposition de Cholesky
$ M_i$ diagonalisables Les $ M_i$ sont simultanément diagonalisables.
commutant deux à deux  
$ \mathbb{K}$ alg. clos, Les $ M_i$ sont simultanément trigonalisables
$ M_i$ commutant $ 2$ à $ 2$  


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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