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Matrice

de type

, associée à l'endomorphisme

, $E=\mathbb{K}^n$ , polynôme caractéristique

, $multip({\lambda})$ ordre de multiplicité de ${\lambda}$ dans

. Dans beaucoup de cas, la réduction dans une base orthonormale est basée sur le fait que l'orthogonal d'un espace stable est stable.

diagonalisable	$\iff$ $\exists$ base de vecteurs propres
	$\iff$ $E=\otimes_{{\lambda}\in Sp_\mathbb{K}(f)} \ker (f-{\lambda}I)$
	$\iff$ scindé et $\dim \ker (f-{\lambda}I)=multip({\lambda})$
	$\iff$ $\exists Q \in GL_n(\mathbb{K}) / QMQ^{-1}$ diagonale
trigonalisable	$\iff$ scindé
	$\iff$ $\exists Q\in GL_n(\mathbb{K})$ $Q^{-1}MQ$ triang. sup.
	$\iff$ $\exists Q\in GL_n(\mathbb{K})$ $Q^{-1}MQ$ triang. inf.
	$\iff$ $\exists Q\in GL_n(\mathbb{K})$ $Q^{-1}MQ=\otimes M_i$
(Jordan)	avec $M_i=\left( \begin{array}{cccccc} {\lambda}_i & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ... ...a}_i & 1 \\ 0 & \dots & \dots & \dots & 0 & {\lambda}_i \\ \end{array}\right)$
	$\Rightarrow \exists ! (D,N) / \left\{\begin{array}{c} D \mbox{diagonalisable} \ N \mbox{nilpotente} \ \end{array} \right.$
	,
symétrique réelle	diagonalisable dans une base orthonormale
	i.e. $\exists Q \in O_n(\mathbb{R}) / QMQ^{-1}$ diagonale
symétriques réelles	$\exists Q \in GL_n(\mathbb{R}) /\left\{ \begin{array}{c} QMQ^{-1}\mbox{ diagonale}\ QNQ^{-1}\mbox{ diagonale}\ \end{array} \right.$
$Sp_\mathbb{R}(M)>0$
antisymétrique	$Sp_\mathbb{R}(M)\subset \{ 0 \}$ , $Sp_\mathbb{C}(M)\subset i\mathbb{R}$
réeele	pair, symétrique
	$\exists Q \in O_n(\mathbb{R})/ Q^{-1}MQ=(0) \otimes M_k$
	matrice nulle de la taille du noyau, antisymétrique
réelle	$\exists Q \in O_n(\mathbb{R})$ $QMQ^{-1}=\otimes M_i \otimes N_i$
commutant avec	avec $M_i=({\lambda}_i)$ (matrice ) et
	$N_i=\left(\begin{array}{cc} a_i & -b_i \ b_i & a_i \ \end{array}\right)$
orthogonale (réelle)	$det M=\pm1$ , $Sp_\mathbb{R}(M) \subset \{-1,1\}$
unitaire (complexe)	$\vert det M\vert=1$ , $\vert Sp_\mathbb{C}(M)\vert=1$
hermitienne	$Sp_{\mathbb{C}}(M) \subset \mathbb{R}$ , $\exists Q\in U_n(\mathbb{C}) / Q^{-1}MQ$ diagonale
hermitiennes,	$\exists Q\in GL_n(\mathbb{C})/ QMQ^{-1}$ diagonale
$Sp_\mathbb{C}(M)>0$	et $QNQ^{-1}$ diagonale
complexe	et $^t\overline M$ simultanément diagonalisables
commute avec $^t\overline M$	dans une base orthonormale
réelle	Décomposition ALU
$\forall r \in [1,n]$	$\exists ! (L,U)/$ triang. inf.,
$det M_{[1,r]^2}\not=0$	triangulaire supérieure,
symétrique réelle	avec triangulaire inférieure
	inversible, décomposition de Cholesky
diagonalisables	Les sont simultanément diagonalisables.
commutant deux à deux
$\mathbb{K}$ alg. clos,	Les sont simultanément trigonalisables
commutant à

Réduction en dimension finie - propriétés de matrices particulières