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Fonctions holomorphes

courbe=application continue de $ [a,b]$ dans $ \mathbb{C}$
chemin=application $ C^1$ pm de $ [a,b]$ dans $ \mathbb{C}$

Hypothèses Conclusion
$ \mu$ mesure complexe (donc finie) sur $ X$, $ \Omega$ ouvert de $ \mathbb{C}$, $ \phi:X \to \mathbb{C}$ mesurable, $ \phi(X) \cap \Omega=\emptyset$
$ z\mapsto \int_X \frac{d\mu(x)}{\phi(x)-z}$ est holomorphe
$ \Gamma $ courbe, $ \Omega$ complémentaire de $ \Gamma ^*=\Gamma ([a,b])$
$ z \in \Omega \to Ind_\Gamma (z)=\frac1{2i\pi} \int_\Gamma \frac{dt}{t-z}$, $ Ind_\Gamma $ constant sur les composantes connexes de $ \Omega$, nul sur la composante connexe non bornée ( $ Ind_\Gamma (z)$ nombre de tours de $ \Gamma $ autour de $ z$)
$ \Gamma _1$ et $ \Gamma _2$ courbes, $ \vert\Gamma _1(t)-\Gamma _2(t)\vert<\vert\Gamma _2(t)\vert$.
$ Ind_{\Gamma _1}(0)=Ind_{\Gamma _2}(0)$
$ \Gamma $ chemin fermé dans $ \Omega$ ouvert, $ f \in H(\Omega)$ $ z\in \Omega$, $ z\not \in \Gamma ^*$, $ Ind_\Gamma $ nulle hors de $ \Omega$
$ f(z)Ind_\Gamma (z)=\frac{1}{2i\pi}\int_\Gamma \frac{f(t)}{t-z} dt$
$ f \in H(\Omega)$ $ D(x,r)$ disque inclus dans $ \Omega$
Théorème de Cauchy: $ f$ développable en série entière sur $ D(x,r)$ $ f=\sum a_n (z-x)^n$ Estimateurs de Cauchy: $ \vert f^{(n)}(x)\vert\leq \frac{n!\sup \vert f\vert}{r^n}$
$ f$ $ C^0$ de $ \Omega$ ouvert dans $ \mathbb{C}$ $ \int_P f$ nulle pour tout $ P$ triangle (ou sur tout $ P$ carré de côtés perpendiculaires aux axes)
$ f$ holomorphe sur $ \Omega$ (théorème de Morera)
$ f$ non constante holomorphe sur un ouvert connexe $ \Omega$
$ Z(f)=f^{-1}(0)$ n'a pas de point d'accumulation, $ \forall z \in \Omega$ on peut écrire $ \forall t \in \Omega f(t)=(t-z)^mg(t)$ avec $ g$ holomorphe non nulle en $ z$
$ \Omega$ ouvert connexe $ f \in H(\Omega\setminus \{a\})$
Trois cas:

- singularité artificielle en $ a$

- pôle d'ordre $ m\in \mathbb{N}$ en $ a$, ie $ f-\sum_{i=1}^n \frac{c_i}{(z-a)^i}$ holomorphe sur $ \Omega$; par définition $ Res(f;a)=c_1$.

- singularité essentielle en $ a$

$ f$ holomorphe sur $ \Omega$ ouvert privé des $ z_i$ en nombre fini où $ f$ admet des pôles, $ f$ chemin fermé ne passant pas par les $ z_i$, $ Ind_\Gamma (z)=0$ pour tout $ z$ dans $ \Omega^c$
$ \frac1{2i\pi} \int_\Gamma f(t)dt =\sum_i Res(f;z_i)Ind_\Gamma (z_i)$
$ f \in H(\Omega)$, $ \overline D(a,r) \subset \Omega$, $ \Gamma $ cercle orienté positivement centré sur $ a$ de rayon $ r$
Le nombre de zéros de $ f-w$ dans $ D(a,r)$, comptés avec multiplicités, est l'indice de $ w$ par rapport à la courbe $ f\circ \Gamma $
$ \Omega$ ouvert connexe $ f \in H(\Omega)$ $ f$ non constante $ x\in \Omega$ $ m$ ordre du zéro de $ f-f(x)$ en $ x$
$ f$ induit sur un certain ouvert $ V$ contenant $ x$ une application surjective de $ V$ sur un ouvert $ W$ telle que chaque point de $ W$ autre que $ f(x)$ ait exactement $ m$ antécédents dans $ V$
$ f$ et $ g$ dans $ H(\Omega)$ $ \overline D(a,r) \subset \Omega$ $ \vert f(z)-g(z)\vert<\vert g(z)\vert$ sur $ \partial D(a,r)$
$ f$ et $ g$ ont même nombre de zéros avec multiplicité dans $ D(a,r)$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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