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courbe=application continue de

dans $\mathbb{C}$
chemin=application

pm de

dans $\mathbb{C}$

Hypothèses

Conclusion

$\mu$ mesure complexe

(donc finie) sur

, $\Omega$ ouvert de $\mathbb{C}$ , $\phi:X \to \mathbb{C}$ mesurable, $\phi(X) \cap \Omega=\emptyset$

$z\mapsto \int_X \frac{d\mu(x)}{\phi(x)-z}$ est holomorphe

$\Gamma$ courbe, $\Omega$ complémentaire de $\Gamma ^*=\Gamma ([a,b])$

$z \in \Omega \to Ind_\Gamma (z)=\frac1{2i\pi} \int_\Gamma \frac{dt}{t-z}$ , $Ind_\Gamma$ constant sur les composantes connexes de $\Omega$ , nul sur la composante connexe non bornée ( $Ind_\Gamma (z)$ nombre de tours de $\Gamma$ autour de

)

$\Gamma _1$ et $\Gamma _2$ courbes, $\vert\Gamma _1(t)-\Gamma _2(t)\vert<\vert\Gamma _2(t)\vert$ .

$Ind_{\Gamma _1}(0)=Ind_{\Gamma _2}(0)$

$\Gamma$ chemin fermé dans $\Omega$ ouvert, $f \in H(\Omega)$ $z\in \Omega$ , $z\not \in \Gamma ^*$ , $Ind_\Gamma$ nulle hors de $\Omega$

$f(z)Ind_\Gamma (z)=\frac{1}{2i\pi}\int_\Gamma \frac{f(t)}{t-z} dt$

$f \in H(\Omega)$

disque inclus dans $\Omega$

Théorème de Cauchy:

développable en série entière sur

$f=\sum a_n (z-x)^n$ Estimateurs de Cauchy: $\vert f^{(n)}(x)\vert\leq \frac{n!\sup \vert f\vert}{r^n}$

de $\Omega$ ouvert dans $\mathbb{C}$ $\int_P f$ nulle pour tout

triangle (ou sur tout

carré de côtés perpendiculaires aux axes)

holomorphe sur $\Omega$ (théorème de Morera

)

non constante holomorphe sur un ouvert connexe $\Omega$

$Z(f)=f^{-1}(0)$ n'a pas de point d'accumulation, $\forall z \in \Omega$ on peut écrire $\forall t \in \Omega f(t)=(t-z)^mg(t)$ avec

holomorphe non nulle en

$\Omega$ ouvert connexe $f \in H(\Omega\setminus \{a\})$

Trois cas:

- singularité artificielle en

- pôle d'ordre $m\in \mathbb{N}$ en , ie $f-\sum_{i=1}^n \frac{c_i}{(z-a)^i}$ holomorphe sur $\Omega$ ; par définition .

- singularité essentielle en

holomorphe sur $\Omega$ ouvert privé des

en nombre fini où

admet des pôles,

chemin fermé ne passant pas par les

, $Ind_\Gamma (z)=0$ pour tout

dans $\Omega^c$

$\frac1{2i\pi} \int_\Gamma f(t)dt =\sum_i Res(f;z_i)Ind_\Gamma (z_i)$

$f \in H(\Omega)$ , $\overline D(a,r) \subset \Omega$ , $\Gamma$ cercle orienté positivement centré sur

de rayon

Le nombre de zéros de

dans

, comptés avec multiplicités, est l'indice de

par rapport à la courbe $f\circ \Gamma$

$\Omega$ ouvert connexe $f \in H(\Omega)$

non constante $x\in \Omega$

ordre du zéro de

induit sur un certain ouvert

contenant

une application surjective de

sur un ouvert

telle que chaque point de

autre que

ait exactement

antécédents dans

dans $H(\Omega)$ $\overline D(a,r) \subset \Omega$ $\vert f(z)-g(z)\vert<\vert g(z)\vert$ sur $\partial D(a,r)$

ont même nombre de zéros avec multiplicité dans

Fonctions holomorphes