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Reconnaître un groupe $ G$ d'ordre $ n$

On notera que les critères ci-dessous couvrent immédiatement les cas $ n\leq 15$, sauf $ n=12$.

Hypothèses Conclusion
$ n$ premier $ G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
tout élément $ G\simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^q$
est d'ordre $ \leq 2$  
$ n=2p$ avec $ \exists H\subset G$
$ p$ premier $ G\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times H$
  ou $ G\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\rtimes H$
  (groupe diédral $ D_p$)
Sous-groupe d'indice $ 2$ $ A_{m}$ groupe
$ S_{m}$ alterné
$ n=pq$ si $ q\not \equiv 1 (p)$
$ p$ et $ q$ premiers alors $ G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
$ p<q$ sinon deux cas:
  - $ G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
  - $ G\simeq \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\rtimes_\phi \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$
  avec $ o(\phi(1))=p$ dans $ \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$
  (un seul produit semi-direct non trivial
  possible, à isomorphisme près)
$ n=8$ $ (Z/2\mathbb{Z})^3$ ou $ \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$
abélien $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$
$ n=8$ non abélien diédral $ D_4$
  ou quaternions
$ n=p^2$, $ p$ premier $ G \simeq \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ ou $ G\simeq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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