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Anneaux

Type d'anneau Propriétés Exemples
  Formule de Newton $ L(E,F)$
  seulement pour des  
  éléments qui commutent  
Commutatif
$ a$ associé à $ b$ implique $ (a)=(b)$
$ C^\infty(\Omega,\mathbb{R})$ avec $ \Omega$ ouvert de $ \mathbb{R}^n$
Noethérien
Commutatif, tout idéal est de type fini, toute suite croissante d'idéaux est ultimement stationnaire, tout quotient est noethérien, $ A[X_1,...,X_n]$ noethérien.
 
Intègre
Commutatif, $ (0)$ est un idéal premier, $ a$ associé à $ b$ $ \iff$ $ (a)=(b)$, le quotient par la relation d'association est isomorphe pour l'ordre à l'ensemble des idéaux, $ A[X_1,\dots,X_n]$ est intègre
$ H(\Omega)$ avec $ \Omega$ ouvert connexe, quotient d'un anneau par un idéal premier
Factoriel
Intègre, irréductible $ \iff$ premier, lemme d'Euclide, th. de Gauss
 

Principal

Factoriel, noethérien, les idéaux sont $ (0)$ et les $ (p)$ avec $ p$ irréductible

$ \mathbb{K}[X]$ avec $ \mathbb{K}$ corps

Euclidien
Principal
$ \mathbb{Z}$, $ \mathbb{K}[X]$, $ \mathbb{Z}[i]$, $ \mathbb{Z}[\sqrt 2]$
Corps $ \mathbb{K}$ Seuls idéaux : $ \{0\}$ et $ \mathbb{K}$
$ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ avec $ p$ premier, $ \mathbb{Q}$, $ \mathbb{R}$, $ \mathbb{C}$, $ \mathbb{Q}(i)$, $ \mathbb{K}(X)$ avec $ K$ corps, corps des fractions d'un anneau intègre


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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