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Calcul différentiel

Rappelons qu'une dérivée ou une fonction continue (sur un intervalle de $ \mathbb{R}$!) satisfont la propriété des valeurs intermédiaires.

Hypothèse Conclusion
$ f:V\to W$

$ V$ ouvert d'un Banach $ E$

$ W$ ouvert d'un Banach $ F$

Homéomorphisme $ C^1$

$ f$ $ C^1$-difféomorphisme si et seulement si $ \forall x\in V$ $ f'(x)\in Isom(E,F)$ (isomorphisme de Banach)
Théorème d'inversion locale
$ f$ $ C^1$ de $ U$ (ouvert d'un Banach $ E$) dans $ F$ (Banach), $ f'(a)\in Isom(E,F)$
$ f$ induit un $ C^1$ difféomorphisme entre un voisinage ouvert de $ a$ et un voisinage ouvert de $ f(a)$.
Corollaire
$ f$ $ C^1$ de $ U$ (ouvert d'un Banach $ E$) dans $ F$ (Banach)
$ f$ $ C^1$-difféo de $ U$ sur son image (ouverte) si et seulement si $ f$ injective et $ \forall x  f'(x)\in Isom(E,F)$
$ [a,b]$ segment de $ \mathbb{R}$, $ b \neq a$, $ f$ de $ [a,b]$ dans un espace vectoriel normé .

Polynôme de Taylor à l'ordre $ n$ de $ f$ en $ a$:

$ P_{f,a,n}(x)=f(a)+\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k$

Formule de Taylor-Lagrange
$ f$ $ C^n$ $ n+1$ fois dérivable sur $ ]a,b[$
$ \exists c \in ]a,b[ / f(b)=P_{f,a,n}(b)+\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}$
Inégalité de Taylor-Lagrange
$ f$ $ C^n$ $ n+1$ fois dérivable sur $ ]a,b[$, $ f^{n+1}$ bornée par $ M$ sur $ ]a,b[$
$ {\parallel}f(b)-P_{f,a,n}(b) {\parallel}\leq M \frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}$
Formule de Taylor avec reste intégral
$ f$ $ C^{n+1}$ sur $ [a,b]$
$ f(b)=f(a)+P_{f,a,n}(b)+\frac{1}{n!}\int_a^b f(b-t)^n.f^{n+1}(t)dt$
Formule de Taylor-Young
$ f$ $ n$ fois dérivable en $ a$ $ f(x)-P_{f,a,n}(x)=o((x-a)^n)$

La première proposition est certes plus faible que le corollaire du théorème d'inversion locale, mais elle fait appel à de moins gros résultats, d'où son intérêt.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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