Rappelons qu'une dérivée ou une fonction continue (sur un intervalle de
!) satisfont la propriété des valeurs intermédiaires.
Hypothèse
Conclusion
ouvert d'un Banach
ouvert d'un Banach
Homéomorphisme
-difféomorphisme si et seulement si
(isomorphisme de Banach)
Théorème d'inversion locale
de (ouvert d'un Banach ) dans (Banach),
induit un difféomorphisme entre un voisinage
ouvert de et un voisinage ouvert de .
Corollaire
de (ouvert d'un Banach ) dans (Banach)
-difféo de sur son image (ouverte) si et seulement si injective
et
segment de
, , de dans un espace vectoriel normé .
Polynôme de Taylor à l'ordre de en :
Formule de Taylor-Lagrange
fois dérivable sur
Inégalité de Taylor-Lagrange
fois dérivable sur , bornée par sur
Formule de Taylor avec reste intégral
sur
Formule de Taylor-Young
fois dérivable en
La première proposition est certes plus faible que le corollaire du théorème
d'inversion locale, mais elle fait appel à de moins gros résultats, d'où son intérêt.
!) satisfont la propriété des valeurs intermédiaires
ouvert d'un Banach
ouvert d'un Banach 
(isomorphisme de Banach)
(ouvert d'un Banach 
et un voisinage ouvert de 
.
![$ [a,b]$](/a/a/y/img333.png){kind=small}
segment de
, 
de 
fois dérivable sur ![$ ]a,b[$](/a/a/y/img463.png){kind=small}
![$ \exists c \in ]a,b[ / f(b)=P_{f,a,n}(b)+\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}$](/a/a/y/img464.png){kind=small}
bornée par 
sur 
sur 
