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Equations différentielles

$ \frac{\partial x}{\partial t}=f(t,x)$, $ f$ application de $ I\times E$ dans $ E$, avec $ E$ un espace de Banach . CI: $ f(t_0)=x_0$.

Il faut savoir ramener l'étude d'une équadif d'ordre $ n$ à l'étude d'une équadif d'ordre $ 1$.

$ f$ $ C^0$ Existence d'une solution
Th. de Cauchy-Lipschitz
$ f$ localement lipschitzienne en $ x$ $ \exists !$ solution maximale $ x_{t_0,x_0}$
Dépendance aux conditions initiales
$ f$ lipschitzienne en $ x$ $ (t,x_0)\mapsto x_{t_0,x_0}(t)$ continue
Th. de Cauchy-Lipschitz, ordre $ n$
$ x^{(p)}=f(t,x,x^{(1)},\dots,x^{(n)})$
$ f$ $ C^0$ $ \Rightarrow $ Existence d'une solution maximale

$ f$ localement lipschitzienne en $ (x^{(i)})_{i\in [1,n]}$ $ \Rightarrow $ Unicité

Dépendance à un paramètre
$ \frac{\partial x}{\partial t}=f(t,x,\underbrace{{\lambda}}_{\in L})$ avec $ L$ espace topologique et $ f$ $ C^0$ et $ k$-lipschitzienne en $ x$, avec $ k$ indépendant de $ t$ et $ {\lambda}$
$ \exists ! x_{\lambda}/ x_{\lambda}(t_0)=x_0$

$ (t,{\lambda})\mapsto x_{\lambda}(t)$ $ C^0$

Equadifs linéaires d'ordre $ 1$
$ x'=a(t)x+b(t)$

$ a$ $ C^0$ de $ I$ dans $ {\cal L}(E,E)$,

$ b$ $ C^0$ de $ I$ dans $ E$

$ x=exp(\int_{t_0}^t a(u)du)x_0+x_p(t)$

avec $ x_p$ solution particulière, cherchée sous la forme $ x_p(t)={\lambda}(t)exp(\int_{t_0}^t a(u)du)$,

Divers exemples
Equation à variables séparées $ (dx/g(x))'=f(t)dt$
$ x'(t)=f(t)g(x(t))$  
Equation de Bernouilli pour se ramener à du linéaire :
$ x'(t)+p(t)x(t)+q(t)x^\alpha =0$ diviser par $ x^\alpha $
$ \alpha \in \mathbb{R}\setminus \{1\}$ et poser $ z(x)=x(x)^{1-\alpha }$
Equation homogène poser $ y(t)=t x(t)$
$ x'(t)=f(\frac{x(t)}{t})$ ou passer en coord. polaires
Equation de Lagrange Solutions affines: $ y=cx+b(c)$,
$ x(t)=a(x'(t))t+b(x'(t))$ avec $ a(c)=c$. Autres solutions:
$ a$ et $ b$ $ C^1$ poser $ y=x'$, $ t=g(x)$. On obtient
  alors l'équation linéaire
  $ \frac{dt}{dy}=\frac{a'(y)t+b'(y)}{y-a(y)}$
Equation de Riccati Trouver une solution particulière $ x_p$
$ x'(t)=a(t)x(t)^2+b(t)x(t)+c(t)$ puis poser $ x=x_p+1/y$, l'équation
  obtenue est linéaire en $ y$.

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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