et des espaces vectoriels normés , ouvert de , suite d'applications de dans différentiables.
Hypothèses
Conclusions
convergeant simplement vers , les convergeant uniformément vers une certaine application de dans
,
différentiable et Pour tout convexe borné la convergence de
vers est uniforme
Si les sont alors est .
connexe, Banach.
/ converge,
voisinage de tel que la suite des
soit de Cauchy pour la métrique définie par
(ie la suite des converge normalement sur un certain voisinage de tout point)
Alors il existe de dans tel que:
est dérivable en tout point
la suite des converge vers (simplement)
tout possède un voisinage tel que les convergences de et
restreints à soient uniformes.
Si les sont , l'est aussi.
et 
des espaces vectoriels normés , 
ouvert de 
suite d'applications de 
convergeant simplement
, les 
convergeant uniformément
de 
,
convexe
la convergence de
vers 
est uniforme
alors 
/ 
converge,
voisinage de 
tel que la suite des
soit de Cauchy pour la métrique 
définie par
tel que les convergences de 
