Démonstration L'inégalité est conséquence immédiate de la définition
de resp. . Pour montrer , il suffit de
prendre
.
Théorème [de Chasles] Soit
. Alors,
et on a la relation de Chasles :
Démonstration Pour tout
, on a évidemment
et
. Ceci entraîne
. Le même s'applique à . Ainsi
l'intégrabilité sur et implique celle sur , et
la relation de Chasles.
Réciproquement, tout
qui contient se décompose en
avec
, et on a les mêmes relations
pour les sommes de Darboux.
Pour passer à et , on peut toujours supposer
, quitte à l'ajouter, sans perte de généralité. On en déduit
le théorème. (Exercice: détailler cette démonstration.)
Définition Pour , on définit
et pour ,
.
Remarque Avec ces conventions, la relation de Chasles est valable quel que
soit l'ordre de (par exemple aussi pour ).
C'est en effet la principale motivation pour ces définitions,
ce qui laisse deviner l'utilité et importance de cette relation
dans les applications.
Il convient d'être très vigilant concernant cette généralisation
lorsqu'on utilise des inégalités (telles que celles de la
Prop. ), qui ne sont généralement valables que pour
.
Proposition est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel des fonctions de dans , et
,
est une forme linéaire sur .
Autrement dit,
et surtout
et
Démonstration Les sommes de Darboux ne sont pas linéaires (car
et ne sont pas additives). Passons donc par les sommes de
Riemann, dont la linéarité,
, est évidente, ce qui donne, par passage à la limite
, le résultat souhaité. (Exercice: détailler ceci...)
Proposition
Pour
, (), on a:
(1)
(2)
et
(3)
Démonstration (1):
et
.
(2):
.
(3): on a
, avec le (2) donc
et
.
Remarque La réciproque du (1) est évidemment fausse,
n'implique pas .
(Contre-exemple: sur
.)
Remarque Dans le cas
, , on a que
est l'aire de l'épigraphe
Théorème [de la moyenne]
Soit
(fonction continue de
). Alors
Démonstration étant continue, on a
D'après l'éq. ,
D'après le thm. des valeurs intermédiaires appliqué à (continue) entre
et , on a
(ou
) tel
que