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Propriétés de l'intégrale de Riemann

Proposition Pour $ f\in \Ri ab$, on a

$\displaystyle \forall X\in S_{a,b}:
s(f,X) \le \int_a^b f(x)\,\rd x \le S(f,X) ~.
\eqno{(sIS)}
$

En particulier, on a

$\displaystyle (b-a)\inf f([a,b]) \le \int_a^b f(x)\,\rd x \le (b-a) \sup f([a,b]) ~.
\eqno{(iIs)}
$


Démonstration L'inégalité $ (sIS)$ est conséquence immédiate de la définition de $ s_a^b$ resp. $ S_a^b$. Pour montrer $ (iIs)$, il suffit de prendre $ X=\set{a,b}$.

Théorème [de Chasles] Soit $ a\le c\le b$. Alors,

$\displaystyle f\in \Ri ab \iff \lr(){~ f\in \Ri ac \land f\in \Ri cb ~}
$

et on a la relation de Chasles :

$\displaystyle \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx ~.
$


Démonstration Pour tout $ X\in S_{a,c},~Y\in S_{c,b}$, on a évidemment $ X\cup
Y\in S_{a,b}$ et $ s(f,X\cup Y)=s(f,X)+s(f,Y)$. Ceci entraîne $ s_a^b(f)=s_a^c(f)+s_c^b(f)$. Le même s'applique à $ S_a^b(f)$. Ainsi l'intégrabilité sur $ [a,c]$ et $ [c,b]$ implique celle sur $ [a,b]$, et la relation de Chasles. Réciproquement, tout $ Z\in S_{a,b}$ qui contient $ c$ se décompose en $ X\cup Y$ avec $ X\in S_{a,c},~Y\in S_{c,b}$, et on a les mêmes relations pour les sommes de Darboux. Pour passer à $ s_a^b(f)$ et $ S_a^b(f)$, on peut toujours supposer $ c\in Z$, quitte à l'ajouter, sans perte de généralité. On en déduit le théorème. (Exercice: détailler cette démonstration.)

Définition Pour $ b<a$, on définit

$\displaystyle \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx ~,
$

et pour $ b=a$, $ \int_a^af(x)dx=0$.

Remarque Avec ces conventions, la relation de Chasles est valable quel que soit l'ordre de $ a,b,c$ (par exemple aussi pour $ a<b<c$). C'est en effet la principale motivation pour ces définitions, ce qui laisse deviner l'utilité et importance de cette relation dans les applications.
Il convient d'être très vigilant concernant cette généralisation lorsqu'on utilise des inégalités (telles que celles de la Prop. [*]), qui ne sont généralement valables que pour $ a<b$.

Proposition $ \Ri ab$ est un sous-espace vectoriel du $ \R$-espace vectoriel $ \R^{[a,b]}$ des fonctions de $ [a,b]$ dans $ \R$, et $ I: \Ri ab\to\R$, $ f\mapsto\int_a^bf(x)dx$ est une forme linéaire sur $ \Ri ab$. Autrement dit, $ o\in \Ri ab$ et surtout

$\displaystyle \forall f,g\in \Ri ab,\, \forall \a,\b\in\R:
\a\,f + \b\,g\in \Ri ab
$

et

$\displaystyle \int_a^b\p{\a\,f(x)+\b\,g(x)}dx
= \a\int_a^b f(x)dx + \b\int_a^b g(x)dx ~.
$


Démonstration Les sommes de Darboux ne sont pas linéaires (car $ \sup$ et $ \inf$ ne sont pas additives). Passons donc par les sommes de Riemann, dont la linéarité, $ S(\a f+\b g,X,\xi)=\a S(f,X,\xi)+ \b
S(g,X,\xi)$, est évidente, ce qui donne, par passage à la limite $ \vert X\vert\to0$, le résultat souhaité. (Exercice: détailler ceci...)

Proposition Pour $ f,g\in \Ri ab$, ($ a<b$), on a:

$\displaystyle f \ge 0$ $\displaystyle \impl$ $\displaystyle \int_a^b f(x)dx \ge 0 ~,$ (1)
$\displaystyle f \le g$ $\displaystyle \impl$ $\displaystyle \int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx ~,$ (2)
$\displaystyle \vert f\vert\in \Ri ab$ et $\displaystyle \lr\vert\vert{\int_a^b f(x)dx} \le \int_a^b \vert f(x)\vert dx ~.$ (3)


Démonstration (1): $ f\ge0\impl s(f,X)\ge0$ et $ s(f,X)\le\int_a^b f(x)dx$.
(2): $ g\ge f\impl g-f\ge0\stackrel{(1)}\impl\int(g-f)\ge0
\stackrel{(lin)}\impl\int g\ge\int f$.

(3): on a $ -\vert f\vert\le f \le \vert f\vert$, avec le (2) donc $ \int f\le\int\vert f\vert$ et $ -\int f\le\int\vert f\vert$.

Remarque La réciproque du (1) est évidemment fausse, $ \int f\ge0$ n'implique pas $ f\ge0$. (Contre-exemple: $ \sin x$ sur $ [-\pi,\pi]$.)

Remarque Dans le cas $ \forall f\in \Ri ab$, $ f\ge0$, on a que $ \int_a^b f(x)dx$ est l'aire de l'épigraphe

% latex2html id marker 4180
$\displaystyle E = \set{\, (x,y)\in\R^2 \mid
x\in[a,b] \text{ et } 0\le y\le f(x) \,} ~.
$

Théorème [de la moyenne] Soit $ f\in \CC([a,b])$ (fonction continue de $ [a,b]\to\R$). Alors

% latex2html id marker 4186
$\displaystyle \exists c\in[a,b]:\underbrace{ \frac1{b-a}\int_a^b f(x)dx
}_{\text{moyenne de $f$ sur $[a,b]$}} = f(c)
$

Démonstration $ f$ étant continue, on a

% latex2html id marker 4190
$\displaystyle \exists x_i,x_s\in[a,b]:
f(x_i)=\inf f([a,b]), f(x_s)=\sup f([a,b]) ~.
$

D'après l'éq. $ (iIs)$,

$\displaystyle f(x_i) \le \frac1{b-a} \int_a^b f(x)dx \le f(x_s) ~.
$

D'après le thm. des valeurs intermédiaires appliqué à $ f$ (continue) entre $ x_i$ et $ x_s$, on a % latex2html id marker 4202
$ \exists c\in\lr][{x_i,x_s}$ (ou $ \lr][{x_s,x_i}$) tel que

$\displaystyle f(c) = \frac1{b-a} \int_a^b f(x)dx ~.
$


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Maximilian_F.Hasler
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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