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Intégrale de Riemann et primitives

En principe il est possible de calculer des intégrales en utilisant simplement la définition en terme des sommes de Darboux. Or, ceci est généralement assez lourd et difficile. De plus, ayant fait le calcul de l'intégrale sur un intervalle, il faut le refaire pour chaque autre intervalle à laquelle on s'intéresse (à moins de pouvoir faire un changement de variables plus ou moins compliqué).

Exemple Calculer $ J_k=\int_0^1 x^kdx$ pour $ k=1$ et $ k=2$, en utilisant des subdivisions équidistantes de $ [0,1]$.

Solution Comme $ x^k$ est une fonction croissante sur $ \R_+$, elle est intégrable et les sommes de Darboux coïncident avec les sommes de Riemann

$\displaystyle s_n=\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1} \frac1n\lr(){\frac in}^k} ~;~~
S_n=s_n+\frac1n
=\frac1{n^{k+1}} \SUM i1n i^k ~.
$

Pour $ k=1$, cette somme est bien connue: $ \SUM i1ni=\frac12n(n+1)$, et donc

$\displaystyle S_n=\frac12(1+\frac1n) ~,~~ J_1=\lim_{n\to\infty}S_n = \frac12
$

Pour $ k=2$, il faut utiliser $ \SUM i1n i²=\frac16n(n+1)(2n+1)$, d'où

$\displaystyle S_n=\frac16\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{n^3} ~\impl~ J_2 = \frac13 ~.
$

(Pour trouver la valeur de $ \sum i²$, on peut utiliser $ \sum i²=\sum
i(i-1)+\sum i$, et observer que la pemière expression est la valeur de $ \sum (x^i)''$ en $ x=1$. En permutant somme et dérivées, on calcule alors la $ 2^e$ dérivée de la somme géométrique égale à $ (1-x^{n+1})/(1-x)$, puis sa limite en $ x=1$.)

On voit que la méthode se généralise à n'importe quel $ k\in\N$, mais pour $ k\in\R$ les choses se compliquent. Aussi, pour calculer $ \int_a^bx^kdx$ avec $ [a,b]\ne[0,1]$, il faut faire des changements de variables pour se ramener au cas ci-dessus.

L'objet de ce chapitre est d'introduire la notion de primitive d'une fonction, qui permettra d'éviter ce genre de calcul, en utilisant les conclusions du présent et les méthodes des suivants chapitres.

Primitive d'une fonction continue

Soit $ D\subset\R$ et $ f:D\to\R$ une fonction numérique définie sur $ D$.

Définition Une fonction $ F:D\to\R$ est une primitive de $ f$ dans $ D$ ssi
$ \bullet$ $ F$ est dérivable sur $ D$, et
$ \bullet$ $ F' = f$ dans $ D$.

Proposition Si $ F$ et $ G$ sont deux primitives de $ f$, alors $ F-G$ est une constante sur tout intervalle $ I\subset D$.

Démonstration Soit $ a,x\in I$. On applique le théorème des accroissements finis à la fonction $ h=F-G$, dérivable sur $ [a,x]\subset I$ comme somme de fonctions dérivables. On a donc

% latex2html id marker 4415
$\displaystyle \exists c\in\lr][{a,x} : (F-G)(x) - (F-G)(a)
= (x-a)\,\underbrace{ (F-G)'(c) }_{=f(c)-f(c)=0}
$

Donc $ F(x)-G(x)=F(a)-G(a)$, ce qui est une constante, indépendante de $ x$ qui peut parcourir l'ensemble des points de $ I$.

Remarque Le mot «intervalle» est essentiel dans cette proposition: si $ D$ est réunion d'intervalles (ouverts) disjoints, $ F-G$ peut être différent sur chacun des intervalles.

Existence d'une primitive

Théorème Toute fonction continue $ f:[a,b]\to\R$ possède une primitive, donnée par $ F(x)=\int_a^xf(t)dt$.

Démonstration Vérifions que la fonction $ F(x)=\int_a^xf(t)dt$ convient.
D'abord, cette intégrale existe pour tout $ x\in[a,b]$ car $ f$ continue sur $ [a,b]$ donc $ f\in \Ri ab$. Calculons

$\displaystyle \lim_{h\to0} \frac{F(x+h)-F(x)}h$ $\displaystyle = \frac1h\lr[]{ \int_a^{x+h}f(t)dt - \int_a^{x}f(t)dt }$    
  $\displaystyle = \frac1h \int_x^{x+h} f(t)dt$    (relation de Chasles)    

D'après le thm. de la moyenne, % latex2html id marker 4466
$ \exists\xi\in[x,x+h]$ tel que

$\displaystyle \frac1h \int_x^{x+h} f(t)\,\rd t = f(\xi) ~.
$

Donc

$\displaystyle \lim_{h\to0} \frac{F(x+h)-F(x)}h
= \lim_{\xi\to x} f(\xi) = f(x) ~.
$

(NB: Si $ x=a$ ou $ x=b$ on ne peut considérer que la limite à gauche ou à droite, tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_inline4476# ou $ h<0$.)

Remarque Ce résultat permet d'identifier l'intégration comme une anti-différentiation (à une constante près), puisque $ F' = f$ pour $ F(x)=\int_a^xf(x)dx$.

Intérêt de la primitive

D'après le thm précédent, $ F(x)=\int_a^xf(t)dt$ est une primitive de $ f$, et d'après la proposition [*], toute primitive de $ f$ est égale à $ F$, à une constante près. Donc, si $ \tilde F$ est une primitive quelconque de $ f$, alors $ \tilde F=F+c$, et

$\displaystyle \tilde F(b)-\tilde F(a)=F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)dx ~,
$

en utilisant la relation de Chasles.

Ainsi, la connaissance d'une primitive quelconque $ F$ d'une fonction $ f$ sur un ensemble $ D$ permet de calculer l'intégrale de $ f$ sur n'importe quel intervalle $ [a,b]\subset D$, en appliquant la formule

$\displaystyle \int_a^b f(x)dx = \Big[\,F(x)\,\Big]_a^b \equiv F(b) - F(a) ~.
$

Ainsi, bien que cela soit possible, on n'utilise dans la pratique quasiment jamais la définition de l'intégrale de Riemann en terme de sommes de Darboux, pour la calculer. Sauf exceptions, on cherchera toujours une primitive de $ f$ par les méthodes qui seront développées dans la suite, pour appliquer la formule ci-dessus.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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