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Pratique du Calcul intégral

Nous allons ici aborder quelques méthodes pour calculer des primitives d'une large classe de fonctions.

Intégrale indéfinie

Soit $ f:D\to\R$ continue. On note $ \int f(x)dx$ l'une quelconque des primitives de $ f$, définie à une constante près que l'on ajoute toujours explicitement.

Exemple $ \int\frac1x dx = \ln\vert x\vert + C$. Ici, $ D_f=\R\setminus\set0$, on peut donc avoir des constantes différentes sur $ \lr][{-\infty,0}$ et sur $ \lr][{0,\infty}$. Autrement dit, $ \C$ est une fonction constante sur chaque sous-intervalle de $ D$.

On dit que $ \int f(x)dx$ est l'intégrale indéfinie de $ f$, alors que $ \int_a^b f(x)dx$ s'appelle intégrale définie.

Remarque On utilise la notion d'intégrale indéfinie comme synonyme de primitive. On pourrait faire une distinction plus rigoureuse en définissant l'intégrale indéfinie $ \int f(x)dx$ comme l'une quelconque des fonctions de la forme $ \int_a^xf(x)dx$, ou $ a\in D$ n'est pas spécifié.  (C'est ainsi qu'on la détermine et qu'on l'utilise, dans l'esprit du sous-chapitre qui précède.)  Les deux définitions sont équivalentes au détail près qu'on n'obtient alors pas toutes les primitives par les intégrales indéfinies: en effet, en changeant la borne inférieure $ a$ on ne peut pas obtenir toutes les constantes, si $ D$ est borné ou si les primitives de $ f$ sont bornées, si $ \lim_{x\to\pm\infty}\int_a^xf(x)dx$ est finie.

Primitives des fonctions usuelles

Par dérivation, on vérifie aisément la validité des relations données dans le tableau [*]. De même, on vérifie par dérivation (règle de chaîne!) que

$\displaystyle \int u'(x) \, f(u(x)) dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F(u(x))$  
avec    $\displaystyle F(t) = \int f(t) dt ~.$  


Tableau: Primitives des fonctions usuelles
\begin{table}
% latex2html id marker 815
\hrule\begin{eqnarray*}
\int x^\a dx &...
...\rm Arsh}\,x + C
~=~ \ln(x+\sqrt{1+x^2}) + C_2
\end{eqnarray*}\hrule\end{table}


Cette formule sera étudiée plus en détail dans le paragraphe [*]. Elle permet d'utiliser les formules élémentaires ci-dessus pour toute une classe de fonctions élémentaires «composées». Son application notamment au cas $ u(x)=a\,x+b$ (et donc $ u'=a$) est immédiate et donne:

$\displaystyle \int f(a\,x+b) dx = \frac 1a\, F(a\,x+b)
$

Exercice Généraliser le formulaire précédent, en remplaçant $ x$ dans l'intégrand par $ a\,x+b$.


Intégration par parties

Proposition Pour $ f,g\in\CC^1(I\to\R)$, on a

$\displaystyle \int f'(x)\,g(x)dx = f(x)\,g(x) - \int f(x)\,g'(x)dx
$

ou encore, avec $ I=[a,b]$ et en utilisant les intégrales définies:

$\displaystyle \int_a^b f'(x)\,g(x)dx
= \Big[ f(x)\,g(x) \Big]_a^b - \int_a^b f(x)\,g'(x)dx
$


Démonstration On a

$\displaystyle f(x)\,g(x)~(+C) =\int (fg)'(x)dx$ $\displaystyle = \int [f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)]dx$    
  $\displaystyle = \int f'(x)\,g(x)dx + \int f(x)\,g'(x)dx~,$    

D'où (en absorbant la constante d'intégration dans les intégrales indéfinies) la première partie de la proposition. La deuxième partie s'obtient en prenant la valeur en $ b$ moins la valeur en $ a$.

Remarque Cette relation est souvent utilisé pour diminuer successivement le degré d'un polynôme $ g(x)$ qui multiplie une fonction $ f'(x)$ que l'on sait intégrer.
Elle sert aussi pour l'intégration des expressions faisant intervenir les fonctions trigonometriques, où l'on retombe sur la fonction d'origine après deux intégrations.

Exemple Calculons la primitive $ \int x^2 e^xdx$. On posera deux fois successivement $ f=e^x=f'$:

$\displaystyle \int x^2 e^xdx$ $\displaystyle = x^2 e^x - \int 2\,x\,e^xdx$    
  $\displaystyle = x^2 e^x - 2\,x\,e^x + 2\int e^xdx$    
  $\displaystyle = x^2 e^x - 2\,x\,e^x + 2\, e^x + C$    

Exemple Calculons la primitive $ \int \sin x\, e^xdx$. On posera successivement $ f=\sin x$, puis $ f=\cos x$:

$\displaystyle \int \sin x\, e^xdx$ $\displaystyle = \sin x\, e^x - \int \cos x\,e^xdx$    
  $\displaystyle = \sin x\, e^x - \lr[]{ \cos x\,e^x - \int (-\sin x)\,e^xdx }$    
  $\displaystyle = (\sin x-\cos x)\, e^x - \int \sin x\,e^x dx$    

On met tous les $ \int$ dans le membre de gauche et obtient après division par 2:

$\displaystyle \int \sin x\, e^xdx = \frac12\,(\sin x-\cos x)\, e^x ~~~({}+C \,)$    


Formule de Taylor avec reste intégral

Comme application importante de l'intégration par parties, démontrons le
Théorème [formule de Taylor avec reste intégral] 
Pour $ a,x\in\R$ et $ f\in\CC^{n+1}([a,x])$, on a

% latex2html id marker 4752
$\displaystyle f(x) = f(a)+ f'(a)\,(x-a)+{\text...}+\frac1{n!}\,f^{(n)}(a)\,(x-a)^n +\frac1{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t)\,(x-t)^n dt ~.$ (4)


(Rappel: on note $ \CC^k(I)$ les fonctions $ k$ fois continûment dérivables sur $ I$.)

Cette formule de Taylor avec reste intégral est historiquement la première parmi les différentes formules de Taylor (cf. chap. [*], page [*]), trouvée par Monsieur Brook Taylor (1685-1731).

Elle sert pour le calcul de développements limités qui seront étudiés au chapitre suivant. Elle donne une approximation polynômiale de la fonction $ f$ au voisinage de $ a$: en effet, si $ x$ est proche de $ a$, alors les termes de la forme $ (x-a)^k$ deviennent très petits, d'autant plus que $ k$ est élevé. Le dernier terme, appelé «reste intégral» du développement, tend encore plus vite vers zéro que $ (x-a)^n$ (comme on le démontre au chapitre [*]).

Démonstration Pour $ n=0$, la formule est vraie: en effet, elle s'écrit dans ce cas

$\displaystyle f(x)-f(a)=\int_a^x f'(t)dt ~,
$

ce qui exprime simplement le fait que $ f$ est une primitive de $ f'$, lorsque $ f\in\CC^1([a,x])$.

Supposons maintenant ([*]) vraie pour un certain $ n\in\N$, et que $ f^{(n+1)}$ admette une dérivée $ f^{(n+2)}$ continue sur $ [a,x]$. Ainsi, les deux facteurs dans le reste intégral vérifient les conditions suffisantes pour pouvoir faire une intégration par partie, avec $ u=f^{(n+1)}\impl u'=f^{(n+2)}$ et $ v'(t)=(x-t)^n\impl v(t)=\frac{-1}{n+1}(x-t)^{n+1}$. Alors

$\displaystyle {
\int_a^x f^{(n+1)}(t)\,(x-t)^ndt
}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \lr[]{ f^{(n+1)}(t)\,\tfrac{-1}{n+1}(x-t)^{n+1}}_a^x
- \tfrac{-1}{n+1} \int_a^x f^{(n+2)}(t)\,(x-t)^{n+1} dt ~.$  

La borne supérieure du crochet donne zéro et pour la borne inférieure les signes $ (-)$ se compensent, on a donc
$\displaystyle {
\int_a^x f^{(n+1)}(t)\,(x-t)^ndt
}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \tfrac{1}{n+1}\,f^{(n+1)}(a)\,(x-a)^{n+1}
+ \tfrac{1}{n+1} \int_a^x f^{(n+2)}(t)\,(x-t)^{n+1} dt ~$  

et en reportant ceci dans ([*]), on trouve la formule au rang $ n+1$.


Changement de variable d'intégration

Proposition Soit $ f: I\to\R $ continue et $ \vp: J\to I$ un difféomorphisme, une bijection telle que $ \vp$ et $ \vp^{-1}$ soient continûment dérivables. Dans ce cas,

$\displaystyle \int f(x) dx = F(\vp^{-1}(x))$     avec  $\displaystyle F(t) = \int f(\vp(t))\,\vp'(t)dt ~~({}+C\,)~.
$

Autrement dit, $ F\circ\vp^{-1}$ est une primitive de $ f$. En terme d'intégrales définis, on a

$\displaystyle \int_{\vp(a)}^{\vp(b)} f(x) dx
= \int_a^b f(\vp(t))\,\vp'(t)dt ~.
$


Démonstration Il faut et il suffit de montrer que $ F\circ\vp^{-1}$ a comme dérivée $ f$. Or, d'après la règle de chaîne, on a

$\displaystyle (F\circ\vp^{-1})'=F'\circ\vp^{-1}\cdot(\vp^{-1})'
$

Or, $ F'=f\circ\vp\cdot\vp'$ et $ (\vp^{-1})'=1/(\vp'\circ\vp^{-1})$ (ce qui se montre en dérivant $ \vp(\vp^{-1}(x))=x$). Donc

$\displaystyle (F\circ\vp^{-1})'
= f\cdot\vp'\circ\vp^{-1}\cdot1/(\vp'\circ\vp^{-1}) = f ~.
$

Pour une intégrale définie, on a donc

$\displaystyle \int_\a^\b f(x)dx$ $\displaystyle = F(\vp^{-1}(\b)) - F(\vp^{-1}(\a))$    
  $\displaystyle = \int_{\vp^{-1}(\a)}^{\vp^{-1}(\b)} f(\vp(t))\,\vp'(t)dt$    

ce qui revient au même que la formule donnée dans l'énoncé avec $ a= \vp^{-1}(\a)$ et $ b=\vp^{-1}(\beta)$.


Applications -- Disposition pratique:

Ce théorème permet de calculer $ \int f$ si l'on sait calculer $ \int f\circ\vp\cdot\vp'$, ou réciproquement. Il est à la base de tout «l'art de l'intégration », qui consiste à trouver les bons changements de variables $ x=\vp(t)$.

Dans la pratique, on écrit alors

$\displaystyle x$ $\displaystyle = \vp(t) \impl \frac{\rd x}{\rd t} = \vp'(t) ~.$    

On écrit symboliquement $ \rd x = \vp'(t)dt$, et on substitue ces deux équations dans l'intégrale en question:

$\displaystyle \int f(x)dx = \int f(\underbrace{\vp(t)}_{=x})\,
\underbrace{\vp'(t)dt}_{=\rd x}
$

Puis, ayant trouvé la primitive $ F(t)$ du membre de droite, on retourne à la variable $ x$ en substituant $ t=\vp^{-1}(x)$.

Exemple Calculons la primitive $ \int \sin x \cos x dx $ sur l'intervalle $ \lr][{-1,1}$. Posons $ \sin x=t \impl \cos xdx=\rd t$. C'est justifié car $ \sin$ est une bijection différentiable de $ [-\frac\pi2,\frac\pi2]$ sur $ [-1,1]$, et la fonction réciproque $ x=\arcsin t$ est également dérivable à l'interieur de cette intervalle. D'où

$\displaystyle \int \underbrace{\sin x}_{=t} \underbrace{\cos x dx}_{=\rd t}
= \int tdt = \frac12\,t^2 + C
= \frac12 (\sin x)^2 + C ~.
$

N.B.: En terme des définitions de la proposition, on a travaillé avec $ \vp^{-1}$ plutôt qu'avec $ \vp$ ; c'est souvent plus ainsi qu'on procède dans la pratique.

Remarque Il faut s'assurer que la fonction $ \vp$ est effectivement une bijection, généralement en considérant ses propriétés de monotonie. Dans le cas echéant, il faut découper l'intervalle d'intégration en des sous-intervalles sur lesquels $ \vp$ est monotone.


Formule de la moyenne généralisée.

Comme application intéressante des changements de variable, considérons le

Théorème [de la moyenne, généralisé.] Soient $ f,g\in\CC([a,b])$ et $ g>0$ sur ][a,b. Alors,

% latex2html id marker 4993
$\displaystyle \exists\xi\in[a,b]:
\int_a^b f(x)\,g(x) dx = f(\xi)\int_a^bg(x)dx ~.
$


Exercice Démontrer ce théorème, en étudiant la fonction $ G(x)=\int_a^x g(t)dt$ pour justifier le changement de variable % latex2html id marker 4997
$ u(x)=a+G(x){\text ·}(b-a)/G(b)$.

Solution: La fonction $ G$ est bien définie ($ g$ intégrable car continue) et dérivable sur $ [a,b]$, avec $ G'=g>0$ sur $ \lr][{a,b}$. Donc $ G$ est strictement croissante sur ][a,b, et idem pour $ u$, qui est donc bijection de $ [a,b]$ sur $ [u(a),u(b)]=[a,b]$. $ u$ est dérivable et % latex2html id marker 5019
$ u'=g{\text .}(b-a)/G(b)$. Ainsi on peut faire le changement de variable pour passer de $ x$ à $ u$:

% latex2html id marker 5025
$\displaystyle \int_a^bf(x)\,g(x)dx=\int_a^bf(x(u))du{\text .}{G(b)\over b-a} ~.
$

En utilisant le théorème de la moyenne pour $ u\mapsto f(x(u))$,

% latex2html id marker 5029
$\displaystyle \exists \wt u\in[a,b]:\int_a^bf(x(u))du=(b-a)\,f(x(\wt u))~,
$

on a le résultat cherché, avec $ \xi=x(\wt u)$  (puisque $ G(b)=\int_a^bg(t)dt$).


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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