Soit continue. On note
l'une quelconque des
primitives de , définie à une constante près que l'on ajoute toujours
explicitement.
Exemple. Ici,
, on peut
donc avoir des constantes différentes sur
et sur
. Autrement dit, est une fonction
constante sur chaque sous-intervalle de .
On dit que
est l'intégrale indéfinie de ,
alors que
s'appelle intégrale définie.
Remarque On utilise la notion d'intégrale indéfinie comme synonyme de primitive.
On pourrait faire une distinction plus rigoureuse en définissant
l'intégrale indéfinie
comme l'une quelconque des fonctions
de la forme
, ou n'est pas spécifié.
(C'est ainsi qu'on la détermine et qu'on l'utilise, dans l'esprit du
sous-chapitre qui précède.)
Les deux définitions sont équivalentes au détail près qu'on n'obtient
alors pas toutes les primitives par les intégrales indéfinies:
en effet, en changeant la borne inférieure on ne peut pas obtenir
toutes les constantes, si est borné ou si les primitives de
sont bornées, si
est finie.
Par dérivation, on vérifie aisément la validité des relations données dans
le tableau .
De même, on vérifie par dérivation (règle de chaîne!) que
avec
Tableau:
Primitives des fonctions usuelles
Cette formule sera étudiée plus en détail dans le
paragraphe .
Elle permet d'utiliser les formules élémentaires ci-dessus pour toute
une classe de fonctions élémentaires «composées».
Son application notamment au cas
(et donc )
est immédiate et donne:
Exercice Généraliser le formulaire précédent, en remplaçant dans l'intégrand
par .
Intégration par parties
Proposition Pour
, on a
ou encore, avec et en utilisant les intégrales définies:
Démonstration On a
D'où (en absorbant la constante d'intégration dans les intégrales indéfinies)
la première partie de la proposition. La deuxième partie s'obtient en
prenant la valeur en moins la valeur en .
Remarque Cette relation est souvent utilisé pour diminuer successivement
le degré d'un polynôme qui multiplie une fonction que
l'on sait intégrer.
Elle sert aussi pour l'intégration des expressions faisant intervenir
les fonctions trigonometriques, où l'on retombe sur la fonction
d'origine après deux intégrations.
Exemple Calculons la primitive
.
On posera deux fois successivement :
Exemple Calculons la primitive
.
On posera successivement , puis :
On met tous les dans le membre de gauche et obtient après
division par 2:
Formule de Taylor avec reste intégral
Comme application importante de l'intégration par parties, démontrons le
Théorème [formule de Taylor avec reste intégral]
Pour et
, on a
(4)
(Rappel: on note les fonctions fois continûment dérivables sur .)
Cette formule de Taylor avec reste intégral est historiquement la
première parmi les différentes formules de Taylor (cf.
chap. , page ),
trouvée par Monsieur Brook Taylor (1685-1731).
Elle sert pour le calcul de développements limités qui seront
étudiés au chapitre suivant. Elle donne une approximation
polynômiale de la fonction au voisinage de : en effet, si
est proche de , alors les termes de la forme deviennent
très petits, d'autant plus que est élevé.
Le dernier terme, appelé «reste intégral» du développement,
tend encore plus vite vers zéro que (comme on le démontre
au chapitre ).
Démonstration Pour , la formule est vraie: en effet, elle s'écrit dans ce cas
ce qui exprime simplement le fait que est une primitive de ,
lorsque
.
Supposons maintenant () vraie pour un certain ,
et que admette une dérivée continue sur .
Ainsi, les deux facteurs dans le reste intégral vérifient les conditions
suffisantes pour pouvoir faire une intégration par partie, avec
et
. Alors
La borne supérieure du crochet donne zéro et pour la borne inférieure
les signes se compensent, on a donc
et en reportant ceci dans (), on trouve la formule au
rang .
Changement de variable d'intégration
Proposition Soit continue et
un difféomorphisme,
une bijection telle que et soient continûment
dérivables. Dans ce cas,
avec
Autrement dit,
est une primitive de .
En terme d'intégrales définis, on a
Démonstration Il faut et il suffit de montrer que
a comme
dérivée . Or, d'après la règle de chaîne, on a
Or,
et
(ce qui se montre en dérivant
). Donc
Pour une intégrale définie, on a donc
ce qui revient au même que la formule donnée dans l'énoncé
avec
et
.
Applications -- Disposition pratique:
Ce théorème permet de calculer si l'on sait calculer
, ou réciproquement. Il est à la base de
tout «l'art de l'intégration », qui consiste à trouver les
bons changements de variables .
Dans la pratique, on écrit alors
On écrit symboliquement
, et on substitue
ces deux équations dans l'intégrale en question:
Puis, ayant trouvé la primitive du membre de droite,
on retourne à la variable en substituant
.
Exemple Calculons la primitive
sur l'intervalle
. Posons
.
C'est justifié car est une bijection différentiable de
sur , et la fonction réciproque
est également dérivable à l'interieur de cette
intervalle.
D'où
N.B.: En terme des définitions de la proposition, on a travaillé avec
plutôt qu'avec ; c'est souvent plus ainsi qu'on procède
dans la pratique.
Remarque Il faut s'assurer que la fonction est effectivement une
bijection, généralement en considérant ses propriétés de monotonie.
Dans le cas echéant, il faut découper l'intervalle d'intégration
en des sous-intervalles sur lesquels est monotone.
Formule de la moyenne généralisée.
Comme application intéressante des changements de variable, considérons le
Théorème [de la moyenne, généralisé.]
Soient
et sur ][a,b. Alors,
Exercice Démontrer ce théorème, en étudiant la fonction
pour justifier le changement de variable.
Solution:
La fonction est bien définie ( intégrable car continue) et dérivable
sur , avec sur
.
Donc est strictement croissante sur
][a,b, et idem pour , qui est donc bijection de sur
. est dérivable et
. Ainsi on
peut faire le changement de variable pour passer de à :