Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive
pour toute fraction rationnelle
, où
sont de polynômes. On procède par étapes, en illustrant la théorie à
l'aide de l'exemple
La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique: nous citons
et utilisons ici plusieurs théorèmes importants d'algèbre sans
démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse.
2 étape: On considère donc dorénavant une fraction rationnelle
telle que
.
Pour procéder, on pose
Définition Les polynômes irréductibles (sur ) sont les polynômes
de degré 1 et les polynômes de degré 2 sans racine réelle (
avec
).
Un polynôme est unitaire ssi le coefficient du terme de
plus haut degré est 1.
On se servira du
Théorème Tout polynôme de se décompose de manière unique en un
produit de la forme
c'est à dire d'une constante qui est le coefficient du terme de
plus haut degré de , et de polynômes irréductibles unitaires:
sont les racines (distinctes) de , leurs multiplicités,
et les facteurs de degré 2 sont sans racine réelle ( avec
).
On utilise cette décomposition pour le polynôme au dénominateur
de la fraction rationnelle. On suppose de plus que le numérateur
n'a pas de facteur commun avec le dénominateur, sinon on simplifie
par ce facteur commun.
Exemple Pour trouver la factorisation , on commence par chercher des
racines ``évidentes'' en tâtonnant (i.e. en essayant pour les valeurs
0, ,...). On trouve que et , donc
divise .
On effectue la division euclidienne
Or,
, par conséquent,
En effet, est un trinôme du 2 degré à discriminant négatif.
Définition On dit que
, est une
fraction rationnelle irréductible ssi les polynômes et sont
sans facteur commun.
On appelle pôles de la fraction rationnelle irréductible les racines du
polynôme .
Soit
la décomposition irréductible de .
On appelle éléments simples de espèce relatifs aux pôles ,
les fonctions rationnelles du type
où les sont des constantes réelles.
On appelle éléments simples de espèce relatifs aux polynômes
irréductibles
,
les fonctions rationnelles du type
où les sont des constantes réelles.
Exemple Décrire les éléments simples de
éléments simples de espèce :
· le pôle de multiplicité 2 2 éléments simples :
· pôle de multiplicité 1 1 éléments simple :
.
éléments simples de espèce :
· 1 seul, associé au facteur irreductible :
.
Attention : il faut toujours d'abord s'assurer de la décomposition
complète du dénominateur! Par exemple, aurait pu être écrit
comme
; ce qui ne permet pas de voir immédiatement
les éléments simples.
Théorème Soit
une fct. rationnelle irréductible. Alors
Si ,
(div.euclidienne de par ),
on a
dans .
se décompose de manière unique comme somme de tous
les éléments simples relatifs à :
Exercice Donner la structure de la décomposition en éléments simples de
.
On a
(*)
NB: quand on ne demande que la structure de la décomposition,
on peut laisser les
indéterminées.
On multiplie l'éq. (des) par , et on prend : dans le
membre de droite ne survit que , dont la valeur est donné par le
membre de gauche,
avec
(simplifié).
Par exemple, appliquons ceci au calcul de :
En multipliant (*) par , on a
et en posant ,
(b) : LES COEFF. DES PÔLES DE MULTIPLICITÉ
Pour trouver le coefficient qui correspond à un pôle
d'ordre , on multiplie par
, puis on prend :
de manière analogue à ce qui précède, on trouve le coeff. recherché.
Dans notre exemple, on détermine ainsi en multipliant
par :
et en prenant ,
.
(c) : LES COEFF.
DES FACTEURS QUADRATIQUES
On peut appliquer
la même méthode, mais avec les racines
complexes de ces facteurs
.
Pour celà,
on multiplie par le facteur
, puis on prend
égal à une des racines complexes du facteur, pour trouver (avec la
partie réelle et imaginaire) les coeff. et :
Dans notre cas,
les racines sont donc les 2 racines 3 non-triviales de l'unité,
.
(En effet, il convient de vérifier que est vraiment un pôle en
calculant
.)
En multipliant (*) par
et en prenant , on trouve ainsi
ce qui donne (partie réelle et imaginaire) les coefficients et
après un petit calcul.
Cependant, ici ce calcul de nombres complexes est un peu lourd et
on utilisera plutôt une autre méthode, par exemple celle des limites.
(d) : LES AUTRES COEFF. DES PÔLES DE MULTIPLICITÉ
Ces coefficients peuvent aussi se calculer par la méthode du
changement de variable. Ceci nous ramène à un pôle en
. Pour calculer les coefficients associés à ce pôle, on fait la
division par les autres facteurs de suivant les puissances
croissantes en , à l'ordre ; on s'arrête lorsque le reste
ne contient que des termes de degré supérieur ou égale à ,
de façon à pouvoir mettre en facteur .
Le quotient donne alors tous les coefficients associés au pôle .
Exemple Dans notre exemple, le changement de variable est
, donc
On divise alors
par
suivant les puissances croissantes,
à l'ordre 1:
D'où:
En divisant par
, on a donc
et on déduit du premier terme que et .
NB: cette méthode est surtout intéressante s'il y a un pôle
de multiplicité élevée () et peu d'autres facteurs dans ,
ou alors s'il s'agit dès le début d'un pôle en
(ce qui évite le changement de variable).
(e) : MÉTHODES GÉNÉRALES POUR LES COEFF. RESTANTS
(i) : méthode des limites
Cette méthode consiste à multiplier d'abord par la plus basse puissance
qui intervient dans la décomposition en éléments simples, et de prendre
la limite
(où il suffit de garder les
puissances les plus élevées). Ainsi, on a dans le membre de droite la somme
des coefficients qui correspondent à cette puissance,
qui permet de déterminer un coefficient en terme des autres.
Exemple Dans notre exemple, on multiplie par , la limite donne alors
et donc
.
(ii) : méthode des valeurs particulières
Une autre méthode consiste à simplement prendre des valeurs
particulières pour (différents des pôles) et ainsi d'avoir un
système d'équations qui permettra de déterminer les coefficients
manquants.
Exemple Dans notre exemple, prenons :
et donc
.
Remarque: dans le cas général, il faut ainsi créer un système
d'autant d'équations (indépendantes) qu'il reste de coefficients à
déterminer.
(iii) : par identification
La méthode générique qui marche toujours mais qui n'est pas toujours
pas la plus rapide, consiste à réécrire la somme des éléments simples
sur le dénominateur commun qui est , et d'identifier les
coeff. des mêmes puissances de du membre de gauche (coefficients
de ) et du membre de droite (les multipliés par une
partie des facteurs de ).
Ainsi on obtient un système d'équations linéaires dont la solution
donne les coefficients (manquants).
Avec la technique étudiée dans ce chapitre, on peut intégrer toute
fonction rationnelle
. En effet, on commence
par simplifier par les facteurs irréductibles de pour
désormais pouvoir supposer irréductible. Ensuite, au cas ou
, on effectue la division euclidienne pour avoir
avec
Enfin, on décompose
en éléments simples. On n'a donc
plus qu'à trouver les primitives pour les deux types d'éléments simples,
et
La première intégrale ne pose pas de problème, sa primitive est
si et si
Considérons donc le 2e type d'intégrale. On l'écrit d'abord sous la forme
avec
et
. Ainsi, le premier terme est
de la forme
, avec la primitive
(resp. pour ).
Tout ce qui reste donc à calculer est la primitive
().
Pour ce faire, on se ramène par un changement de variable à
cette intégrale avec et avec ,
en posant successivement
,
puis
).
Pour calculer
, on pose
,
,
.
[justifier ce chgt de variable !]
Alors
(rappel:
).
Pour , une primitive est
.
Sinon, on fait une intégration par partie d'un facteur
pour diminuer l'exposant de 2:
où la dernière ligne est obtenue en faisant passer toutes les
dans le membre de gauche puis en divisant par
le coefficient .
Avec
et
, on a
enfin
ce qui permet, avec
, de calculer pour tout .
Remarque Dans la pratique, on effectue le changement de variables pour passer
de
à
en une seule fois.