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Fonctions négligeables

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Fonctions négligeables

Dans ce qui suit, on considère des fonctions à valeurs dans $\R$ , définis sur un voisinage pointé d'un point $a\in\overline\R=\R\cup\set{\pm\infty}$ , au voisinage de sauf eventuellement en ce point même. (On rappelle que $\set{\lr][{M,\infty}; M\in\R}$ constitue une base de voisinages de $a=\infty$ ).

Pour ne pas trop alourdir les notations, on convient qu'une égalité entre fonctions sous-entend la restriction à l'intersection des domaines de définition.

Définition La fonction est dite négligeable devant au voisinage de , ss'il existe un voisinage pointé de et une fonction $\e:V\to\R$ de limite nulle en , telle que $% latex2html id marker 2171 $ f=\e{\text ·}g$$ (dans ). On écrit

$% latex2html id marker 2175 $\displaystyle f \underset a\ll g \iff f\underset{(a)}=o(g) \overset{def}\iff \exists\e:V\to\R$$ t.q. $\displaystyle f=\e\cdot g$ et $\displaystyle \lim_a \e=0,$

On appelle

la notation de Landau et $f\ll g$ la notation de Hardy.

Exemple On a $f=o(1) \iff \lim f=0$ .

Exemple La fonction nulle $o:x\mapsto0$ est négligeable devant toute fonction en tout point (prendre $\e=0$ ). D'autre part, $% latex2html id marker 2191 $ f=o(f)\impl f=\e{\text ·}f\iff(1-\e)f=o\impl f=o$$ (car $\lim\e=0\impl(1-\e)\ne0$ ) dans un voisinage de .

Remarque Alors que la notation de Hardy paraît plus «logique», on utilise dans la pratique plus souvent celle de Landau, car elle permet l'abus de notation très pratique qui consiste à écrire

$\displaystyle f(x)=g(x)+o(h(x)) ~(x\to a)$ au lieu de $\displaystyle f-g\underset{(a)}=o(h)~.$

Lorsqu'on utilise cette notation, chaque terme

représente une fonction quelconque de

, négligeable devant

, mais à priori inconnue et différente d'un éventuel autre terme

.
On prendra aussi garde de toujours préciser le point auquel la relation de négligence s'applique. Ainsi on peut avoir $f\underset a\ll g$ mais $g\underset b\ll f$ pour

différents.

Exemple Si est bornée et tend vers l'infini, alors .

Exemple On a $x^m\underset{(\infty)}=o(x^n)$ ssi (car alors $\e=x^{m-n}\to0$ ), et l'opposé au voisinage de 0.

Exemple On a $x^\a\underset{(\infty)}=o(e^{\beta x})$ et $(\ln x)^\a\underset{(\infty)}=o(x^\beta)~(x\to\infty)$ pour tout $\a,\beta>0$ . (Exercice: pourquoi?)

La proposition suivante permet de trouver autant d'exemples que l'on souhaite:

Proposition Si la fonction est définie dans un voisinage pointé de , alors $f\underset a=o(g)\iff\lim_a f/g = 0$ .

Démonstration Exercice. (Il suffit d'utiliser $\e=f/g$ ).

Remarque Le seul cas ou n'est pas défini dans un voisinage de est celui ou a une infinité de zéros dans chaque voisinage ( aussi près que l'on veut) de , par exemple pour $% latex2html id marker 2249 $ g(x)=h(x){\text .}\sin\frac1{x-a}$$ .

Proposition La relation $\ll$ est transitive,

$\displaystyle f\underset a\ll g,~ g\underset a\ll h \impl f\underset a\ll h ~,$

et compatible avec la multiplication,

$% latex2html id marker 2255 $\displaystyle f\underset a\ll g \impl f{\text .}h\u... ...\underset a\ll g, h\underset a\ll k\impl f{\text .}h\underset a\ll g{\text .}k $$

pour toutes fonctions $f,g,h,k:V\to\R$ .

Démonstration Exercice. (Il suffit de substituer $% latex2html id marker 2259 $ f=\e_1{\text .}g$$ , $% latex2html id marker 2261 $ g=\e_2{\text .}h$$ , etc.)

Remarque Attention: la relation $\ll$ n'est pas compatible avec l'addition! Par exemple, $x\underset\infty\ll x^3$ et $x^2\underset\infty\ll-x^2$ , mais $x+x^2\not\ll x^3+(-x^2)=o$ .

Remarque Dans la pratique, on utilise donc la notation (voire ) pour représenter une fonction quelconque, à priori inconnue, telle que $f\ll g$ . On écrit ainsi par exemple $x^no(x^m)=o(x^{n+m})$ , $o(x^n)+o(x^m)=o(x^{\max(m,n)})~(x\to\infty)$ ...

Attention: Il convient de garder en mémoire que le symbole $% latex2html id marker 2283 $ o({\text .})$$ correspond, chaque fois qu'il apparaît, à une nouvelle (autre) fonction $\e$ . On a ainsi par exemple $o(\l f(x))=o(f(x))~~\forall\l\in\R$ , mais $o(f(x))=o(\l f(x))$ seulement $\forall\l\in\R^*$ .
Noter aussi que pour , ( $x\to\infty$ ), mais malgré cette «égalité», $o(x^m)\ne o(x^n)$ !