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Fonctions négligeables

Dans ce qui suit, on considère des fonctions $ f,g,...$ à valeurs dans $ \R$, définis sur un voisinage pointé $ V$ d'un point $ a\in\overline\R=\R\cup\set{\pm\infty}$, au voisinage de $ a$ sauf eventuellement en ce point même.  (On rappelle que $ \set{\lr][{M,\infty}; M\in\R}$ constitue une base de voisinages de $ a=\infty$).

Pour ne pas trop alourdir les notations, on convient qu'une égalité entre fonctions sous-entend la restriction à l'intersection des domaines de définition.

Définition La fonction $ f$ est dite négligeable devant $ g$ au voisinage de $ a$, ss'il existe un voisinage pointé $ V$ de $ a$ et une fonction $ \e:V\to\R$ de limite nulle en $ a$, telle que % latex2html id marker 2171
$ f=\e{\text ·}g$ (dans $ V$). On écrit

% latex2html id marker 2175
$\displaystyle f \underset a\ll g
\iff
f\underset{(a)}=o(g)
\overset{def}\iff
\exists\e:V\to\R$     t.q. $\displaystyle f=\e\cdot g$    et $\displaystyle \lim_a \e=0,
$

On appelle $ f=o(g)$ la notation de Landau et $ f\ll g$ la notation de Hardy.

Exemple On a $ f=o(1) \iff \lim f=0$.

Exemple La fonction nulle $ o:x\mapsto0$ est négligeable devant toute fonction en tout point $ a$ (prendre $ \e=0$). D'autre part, % latex2html id marker 2191
$ f=o(f)\impl
f=\e{\text ·}f\iff(1-\e)f=o\impl f=o$ (car $ \lim\e=0\impl(1-\e)\ne0$) dans un voisinage de $ a$.

Remarque Alors que la notation de Hardy paraît plus «logique», on utilise dans la pratique plus souvent celle de Landau, car elle permet l'abus de notation très pratique qui consiste à écrire

$\displaystyle f(x)=g(x)+o(h(x)) ~(x\to a)$     au lieu de  $\displaystyle f-g\underset{(a)}=o(h)~.
$

Lorsqu'on utilise cette notation, chaque terme $ o(h(x))$ représente une fonction quelconque de $ x$, négligeable devant $ h$, mais à priori inconnue et différente d'un éventuel autre terme $ o(h(x))$.
On prendra aussi garde de toujours préciser le point auquel la relation de négligence s'applique. Ainsi on peut avoir $ f\underset a\ll g$ mais $ g\underset b\ll f$ pour $ a,b$ différents.

Exemple Si $ f$ est bornée et $ g$ tend vers l'infini, alors $ f=o(g)$.

Exemple On a $ x^m\underset{(\infty)}=o(x^n)$ ssi $ m<n$ (car alors $ \e=x^{m-n}\to0$), et l'opposé au voisinage de 0.

Exemple On a $ x^\a\underset{(\infty)}=o(e^{\beta x})$ et $ (\ln x)^\a\underset{(\infty)}=o(x^\beta)~(x\to\infty)$ pour tout $ \a,\beta>0$. (Exercice: pourquoi?)

La proposition suivante permet de trouver autant d'exemples que l'on souhaite:

Proposition Si la fonction $ f/g$ est définie dans un voisinage pointé de $ a$, alors $ f\underset a=o(g)\iff\lim_a f/g = 0$.

Démonstration Exercice. (Il suffit d'utiliser $ \e=f/g$).

Remarque Le seul cas ou $ f/g$ n'est pas défini dans un voisinage de $ a$ est celui ou $ g$ a une infinité de zéros dans chaque voisinage ( aussi près que l'on veut) de $ a$, par exemple pour % latex2html id marker 2249
$ g(x)=h(x){\text .}\sin\frac1{x-a}$.

Proposition La relation $ \ll$ est transitive,

$\displaystyle f\underset a\ll g,~ g\underset a\ll h \impl f\underset a\ll h ~,
$

et compatible avec la multiplication,

% latex2html id marker 2255
$\displaystyle f\underset a\ll g \impl f{\text .}h\u...
...\underset a\ll g, h\underset a\ll k\impl f{\text .}h\underset a\ll g{\text .}k
$

pour toutes fonctions $ f,g,h,k:V\to\R$.

Démonstration Exercice. (Il suffit de substituer % latex2html id marker 2259
$ f=\e_1{\text .}g$, % latex2html id marker 2261
$ g=\e_2{\text .}h$, etc.)

Remarque Attention: la relation $ \ll$ n'est pas compatible avec l'addition! Par exemple, $ x\underset\infty\ll x^3$ et $ x^2\underset\infty\ll-x^2$, mais $ x+x^2\not\ll x^3+(-x^2)=o$.

Remarque Dans la pratique, on utilise donc la notation $ o(g)$ (voire $ o(g(x))$) pour représenter une fonction $ f$ quelconque, à priori inconnue, telle que $ f\ll g$. On écrit ainsi par exemple $ x^no(x^m)=o(x^{n+m})$, $ o(x^n)+o(x^m)=o(x^{\max(m,n)})~(x\to\infty)$...

Attention: Il convient de garder en mémoire que le symbole % latex2html id marker 2283
$ o({\text .})$ correspond, chaque fois qu'il apparaît, à une nouvelle (autre) fonction $ \e$. On a ainsi par exemple $ o(\l f(x))=o(f(x))~~\forall\l\in\R$, mais $ o(f(x))=o(\l f(x))$ seulement $ \forall\l\in\R^*$.
Noter aussi que pour $ m>n$, $ o(x^n)=o(x^m)$ ( $ x\to\infty$), mais malgré cette «égalité», $ o(x^m)\ne o(x^n)$!


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Maximilian_F.Hasler
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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