Dans ce qui suit, on considère des fonctions à valeurs dans
, définis sur un voisinage pointé d'un point
, au voisinage de
sauf eventuellement en ce point même.
(On rappelle que
constitue une base de voisinages de ).
Pour ne pas trop alourdir les notations, on convient qu'une égalité
entre fonctions sous-entend la restriction à l'intersection des
domaines de définition.
Définition La fonction est dite négligeable devant au voisinage
de , ss'il existe un voisinage pointé de et une fonction
de limite nulle en , telle que
(dans ).
On écrit
t.q. et
On appelle la notation de Landau et la notation de Hardy.
Exemple On a
.
Exemple La fonction nulle
est négligeable devant toute
fonction en tout point (prendre ). D'autre part,
(car
)
dans un voisinage de .
Remarque Alors que la notation de Hardy paraît plus «logique», on utilise
dans la pratique plus souvent celle de Landau, car elle permet
l'abus de notation très pratique qui consiste à écrire
au lieu de
Lorsqu'on utilise cette notation, chaque terme représente
une fonction quelconque de , négligeable devant , mais à priori
inconnue et différente d'un éventuel autre terme .
On prendra aussi garde de toujours préciser le point auquel la relation
de négligence s'applique. Ainsi on peut avoir
mais
pour différents.
Exemple Si est bornée et tend vers l'infini, alors .
Exemple On a
ssi (car alors
),
et l'opposé au voisinage de 0.
Exemple On a
et
pour tout
.
(Exercice: pourquoi?)
La proposition suivante permet de trouver autant d'exemples que l'on souhaite:
Proposition Si la fonction est définie dans un voisinage
pointé de , alors.
Démonstration Exercice. (Il suffit d'utiliser ).
RemarqueLe seul cas ou n'est pas défini dans un
voisinage de est celui ou a une infinité de zéros dans chaque
voisinage ( aussi près que l'on veut) de , par exemple pour
.
Proposition La relation est transitive,
et compatible avec la multiplication,
pour toutes fonctions
.
Démonstration Exercice. (Il suffit de substituer
,
, etc.)
Remarque Attention: la relation n'est pas compatible avec l'addition! Par exemple,
et
, mais
.
Remarque Dans la pratique, on utilise donc la notation (voire )
pour représenter une fonction quelconque, à priori inconnue, telle
que . On écrit ainsi par exemple
,
...
Attention:
Il convient de garder en mémoire que le symbole
correspond,
chaque fois qu'il apparaît, à une nouvelle (autre) fonction .
On a ainsi par exemple
, mais
seulement
.
Noter aussi que pour ,
(
),
mais malgré cette «égalité»,
!