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Fonctions équivalentes

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Fonctions équivalentes

Définition On dit que est équivalent à au voisinage de ssi est négligeable devant ; on écrit

$\displaystyle f\underset a\sim g \iff f-g \underset a\ll g ~.$

Proposition Si est défini dans un voisinage pointé de , alors $f\sim g\iff\lim f/g = 1$ .

Démonstration Exercice (utiliser la déf. pour m.q. $f=(1+\e)g$ ).

Remarque La présente définition de fonctions équivalentes est donc plus générale que celle en terme de limite, car elle s'applique aussi dans les cas ou n'est pas bien défini, voir Rem. .

Proposition La relation $\sim$ est une relation d'équivalence, elle est reflexive ( $f\sim f$ ), symétrique ( $f\sim g\impl g\sim f$ ) et transitive:

$\displaystyle f\sim g$ et $\displaystyle g\sim h ~\impl~ f\sim h~.$

Démonstration Exercice (encore avec $f=(1+\e)g$ etc.).

Proposition [limites] Si $f\sim g$ , alors $\lim g$ existe ssi $\lim f$ existe, et si elles existent, ces deux limites sont égales.

Proposition [produit, quotient, puissance] On peut prendre le produit, quotient (lorsqu'il est défini) et une puissance quelconque d'équivalences .

Démonstration Exercice (avec $f=(1+\e)g$ etc.).

Remarque Dans le cas général, on ne peut additionner des équivalences: $f(x)=x^2-x\EQUIV 0 -x, g(x)=x\EQUIV 0 x$ mais $f+g\not\sim 0$ .

Proposition [composée] Soit $f\EQUIV a g$ et $\vp:I\to\R$ t.q. $\lim_b\vp=a$ alors $f\circ\vp \EQUIV b g\circ\vp$ .

Démonstration exercice (comme avant, on trouve $\tilde\e=\e\circ\vp\to0$ ).

Proposition [comment trouver des équivalents]
i) $f(x)-f(a)\sim f'(a)(x-a)$ si $f'(a)\ne 0$
ii) $f\sim g> 0 \impl \int_a^x f(t)dt\sim\int_a^x g(t)dt$ , pour continue dans un voisinage (pointé) de .

Démonstration D'après la définition, si $\lim f=c\in\R\setminus0$ , alors , donc $f\sim c$ . Utilisons ceci avec la définition de la dérivée: $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\sim f'(a)$ , et en multipliant cette équivalence par , il vient le (i).
Le (ii) est équivalent à $f-g=o(g)\impl \int_a^x(f-g)=o(\int_a^xg)$ . Montrons que $h=o(g)\impl \int_a^x h=o(\int_a^xg)$ . Soit donc $h=\veps g$ ; on a $% latex2html id marker 2456 $ \frac{\vert\int\veps g\vert}{\int g}\le\frac{\max\vert\veps\vert{\text .}\int g}{\int g}$$ . Or, $\veps\to0\impl\max_{[a,x]}\vert\veps\vert\to0$ , donc $\frac{\vert\int\veps g\vert}{\int g}\to0$ et $\int_a^x h=o(\int_a^xg)$ .