Définition On dit que est équivalent à au voisinage de ssi
est négligeable devant ; on écrit
Proposition Si est défini dans un voisinage pointé de , alors.
Démonstration Exercice (utiliser la déf. pour m.q. ).
Remarque La présente définition de fonctions équivalentes est donc plus
générale que celle en terme de limite, car elle s'applique aussi dans
les cas ou n'est pas bien défini, voir Rem. .
Proposition La relation est une relation d'équivalence, elle est
reflexive (), symétrique (
) et transitive:
et
Démonstration Exercice (encore avec etc.).
Proposition [limites] Si , alors existe ssi existe,
et si elles existent, ces deux limites sont égales.
Proposition [produit, quotient, puissance] On peut prendre le produit, quotient
(lorsqu'il est défini) et une puissance quelconque d'équivalences .
Démonstration Exercice (avec etc.).
Remarque Dans le cas général, on ne peut additionner des équivalences:
mais
.
Proposition [composée] Soit
et
t.q.
alors
.
Démonstration exercice (comme avant, on trouve
).
Proposition [comment trouver des équivalents]
i)
si
ii)
,
pour continue dans un voisinage (pointé) de .
Démonstration D'après la définition, si
, alors
, donc . Utilisons ceci avec la définition
de la dérivée:
, et en multipliant
cette équivalence par , il vient le (i).
Le (ii) est équivalent à
.
Montrons que
. Soit donc ;
on a
.
Or,
, donc
et
.