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Fonctions équivalentes

Définition On dit que $ f$ est équivalent à $ g$ au voisinage de $ a$ ssi $ f-g$ est négligeable devant $ g$; on écrit

$\displaystyle f\underset a\sim g \iff f-g \underset a\ll g ~.
$


Proposition Si $ f/g$ est défini dans un voisinage pointé de $ a$, alors $ f\sim g\iff\lim f/g = 1$.

Démonstration Exercice (utiliser la déf. pour m.q. $ f=(1+\e)g$).

Remarque La présente définition de fonctions équivalentes est donc plus générale que celle en terme de limite, car elle s'applique aussi dans les cas ou $ f/g$ n'est pas bien défini, voir Rem. [*].

Proposition La relation $ \sim$ est une relation d'équivalence, elle est reflexive ($ f\sim f$), symétrique ( $ f\sim g\impl g\sim f$) et transitive:

$\displaystyle f\sim g$     et $\displaystyle g\sim h ~\impl~ f\sim h~.
$


Démonstration Exercice (encore avec $ f=(1+\e)g$ etc.).

Proposition [limites] Si $ f\sim g$ , alors $ \lim g$ existe ssi $ \lim f$ existe, et si elles existent, ces deux limites sont égales.

Proposition [produit, quotient, puissance] On peut prendre le produit, quotient (lorsqu'il est défini) et une puissance quelconque d'équivalences .

Démonstration Exercice (avec $ f=(1+\e)g$ etc.).

Remarque Dans le cas général, on ne peut additionner des équivalences: $ f(x)=x^2-x\EQUIV 0 -x, g(x)=x\EQUIV 0 x$ mais $ f+g\not\sim 0$.

Proposition [composée] Soit $ f\EQUIV a g $ et $ \vp:I\to\R$ t.q. $ \lim_b\vp=a$ alors $ f\circ\vp \EQUIV b g\circ\vp$.

Démonstration exercice (comme avant, on trouve $ \tilde\e=\e\circ\vp\to0$).

Proposition [comment trouver des équivalents]  
i) $ f(x)-f(a)\sim f'(a)(x-a)$ si $ f'(a)\ne 0$
ii) $ f\sim g> 0 \impl \int_a^x f(t)dt\sim\int_a^x g(t)dt$, pour $ g$ continue dans un voisinage (pointé) de $ a$.

Démonstration D'après la définition, si $ \lim f=c\in\R\setminus0$, alors $ f-c=o(1)=o(c)$, donc $ f\sim c$. Utilisons ceci avec la définition de la dérivée: $ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\sim f'(a)$, et en multipliant cette équivalence par $ x-a$, il vient le (i).
Le (ii) est équivalent à $ f-g=o(g)\impl \int_a^x(f-g)=o(\int_a^xg)$. Montrons que $ h=o(g)\impl \int_a^x h=o(\int_a^xg)$. Soit donc $ h=\veps g$; on a % latex2html id marker 2456
$ \frac{\vert\int\veps g\vert}{\int g}\le\frac{\max\vert\veps\vert{\text .}\int g}{\int g}$. Or, $ \veps\to0\impl\max_{[a,x]}\vert\veps\vert\to0$, donc $ \frac{\vert\int\veps g\vert}{\int g}\to0$ et $ \int_a^x h=o(\int_a^xg)$.


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Maximilian_F.Hasler
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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