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Opérations sur les D.L.

Combinaison linéaire, produit et quotient de D.L.

Proposition Si $ f,g$ admettent des $ DL_n(x_0)$ de partie régulière $ P$ resp. $ Q$, alors $ \l f+\mu g$ et $ f\cdot g$ admettent des $ DL_n(x_0)$ de partie régulière $ \l P + \mu Q$ resp. des termes de degré $ \le n$ de $ P\cdot Q$.

Si $ Q(0)\ne 0$, $ f/g$ admet un $ DL_n(x_0)$ de partie régulière obtenue par division $ P/Q$ selon les puissances croissantes, à l'ordre $ n$.

Démonstration Il suffit de remplacer $ f,g$ par leur D.L. et de développer les expressions. (Exercice: détailler ceci!)

Exemple Obtenir le $ DL_5(0)$ de $ \tan(x)$ par division des $ DL_5(0)$ de $ \sin$ et $ \cos$.

Solution: on trouve $ (x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5):(1-\frac12x^2+\frac1{24}x^4)=x+\frac13x^3+\frac2{15}x^5+o(x^5)=\tan x$.

Intégration d'un D.L.

Proposition Si $ f$ est dérivable et $ f'$ admet un $ DL_n(x_0)$, de partie régulière % latex2html id marker 3177
$ a_0+a_1X+{\text ...}+a_nX^n$, alors $ f$ admet un $ DL_{n+1}(x_0)$ de partie régulière % latex2html id marker 3183
$ P = f(x_0) + a_0\,X + {\text ...} + \frac{a_n}{n+1}\,X^{n+1}$.

Remarque On ne peut en général dériver un DL, même si $ f$ dérivable. Ex: $ f(x)=x^2\sin\frac1x$ admet $ DL_1(0)$ mais $ f'$ n'a pas de limite en 0 donc pas de DL à aucun ordre.

Composée de D.L.

Proposition Si $ f$ admet un $ DL_n(x_0)$ de partie régulière $ P$ et $ g$ admet un $ DL_n(P(0))$ de partie régulière $ Q$, alors $ g\circ f$ admet un $ DL_n(x_0)$ de partie régulière obtenue par les termes de degré $ \le n$ de $ Q(P)$ (polynôme composé).

Exemple $ \varphi(x) = (1+x)^x = f\circ g(x)$ avec % latex2html id marker 3231
$ f(x)=\exp x, g(x)=x\ln(1+x)$.


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Maximilian_F.Hasler
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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