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Nains magiques

Opérations sur les D.L.

suivant: Application des D.L. : monter: Fonctions négligeables et équivalentes précédent: Développements limités : définition

Sous-sections

Opérations sur les D.L.

Combinaison linéaire, produit et quotient de D.L.

Proposition Si admettent des de partie régulière resp. , alors $\l f+\mu g$ et $f\cdot g$ admettent des de partie régulière $\l P + \mu Q$ resp. des termes de degré $\le n$ de $P\cdot Q$ .

Si $Q(0)\ne 0$ , admet un de partie régulière obtenue par division selon les puissances croissantes, à l'ordre .

Démonstration Il suffit de remplacer par leur D.L. et de développer les expressions. (Exercice: détailler ceci!)

Exemple Obtenir le de $\tan(x)$ par division des de $\sin$ et $\cos$ .

Solution: on trouve $(x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5):(1-\frac12x^2+\frac1{24}x^4)=x+\frac13x^3+\frac2{15}x^5+o(x^5)=\tan x$ .

Proposition Si est dérivable et admet un , de partie régulière $% latex2html id marker 3177 $ a_0+a_1X+{\text ...}+a_nX^n$$ , alors admet un $DL_{n+1}(x_0)$ de partie régulière $% latex2html id marker 3183 $ P = f(x_0) + a_0\,X + {\text ...} + \frac{a_n}{n+1}\,X^{n+1}$$ .

Remarque On ne peut en général dériver un DL, même si dérivable. Ex: $f(x)=x^2\sin\frac1x$ admet mais n'a pas de limite en 0 donc pas de DL à aucun ordre.

Composée de D.L.

Proposition Si admet un de partie régulière et admet un de partie régulière , alors $g\circ f$ admet un de partie régulière obtenue par les termes de degré $\le n$ de (polynôme composé).