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Application des D.L. : Etude locale d'une courbe

On considère $ f$ définie sur $ I=\left]x_0-\a,x_0+\a\right[$ admettant un $ DL_p(x_0)$ de partie régulière $ P=a_0+a_1 X + a_p X^p$, $ p\ge 2$ t.q. $ a_p\ne0$.

Alors la tangente $ t$ à la courbe $ C_f$ de $ f$ a pour équation $ y=a_0 + a_1(x-x_0)$, et la position de $ C_f$ par rapport à $ t$ est donnée par le signe de $ a_p(x-x_0)^p$:

$ 1^{er}$ cas: $ p$ pair.
le point $ P=(x_0,f(x_0))$ est dit ordinaire
$ a_p>0 \impl C_f$ au dessus de $ t$, $ a_p<0 \impl C_f$ en-dessous de $ t$,
Si $ a_1=0 \impl$ extremum; dans ce cas: $ a_p>0 \impl$ minimum et $ f$ convexe, et $ a_p<0 \impl$ maximum et $ f$ concave au voisinage de $ x_0$.

$ 2^e$ cas: $ p$ impair.
$ P=(x_0,f(x_0))$ est un pt. d'inflexion, $ C_f$ traverse $ t$ en $ P$.

Convexité et concavité à droite et à gauche de $ P$ selon le signe de $ a_p(x-x_0)^p$ (cf. ci-dessus).

Exercice Faire un dessin représentatif pour chacun des 4 cas possibles ($ p$ pair/impair, $ a_p>0$ et $ a_p<0$)



Maximilian_F.Hasler
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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