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D.L. en $ \pm\infty$

Définition On dit que $ f:I\to\R$, $ I=\left]\a,\infty\right[$ (resp. $ I=\left]-\infty,\a\right[$), admet un $ DL_n(\infty)$ (resp. $ DL_n(-\infty)$) ssi % latex2html id marker 3351
$ \exists P\in\R_n[X]$ t.q.

$\displaystyle \forall x\in I: f(x)=P(\frac 1x) + o(1/x^n) ~~(x\to\pm\infty)
$

(avec toujours $ o(1/x^n)$ une fonction de la forme $ \e(x)/x^n$, $ \e\to0$).

Donc $ f$ admet un $ DL_n(\pm\infty)$ ssi $ g(t)=f(1/t)$ admet un $ DL_n(\pm0)$; c'est ainsi qu'on détermine dans la pratique les $ DL(\pm\infty)$ (même si on n'écrit pas explicitement le changement de variables $ t=1/x$).

Corollaire Si $ f$ admet un $ DL(\pm\infty)$, alors $ f$ admet une limite finie en $ \pm\infty$ (comme dans le cas d'un $ DL(a),~a\in\R$).

Remarque Si $ f$ s'écrit comme différence de deux fonctions qui n'admettent pas une limite finie, $ f$ peut quand même admettre un $ DL(\infty)$ lorsque ces deux fonctions sont équivalentes en l'infini. Pour le trouver, on met en facteur une fonction équivalente (généralement une puissance de $ x$), pour pouvoir faire un D.L. de l'autre facteur (différence de deux DL). Si suffissament de termes des deux DL s'anullent, il est possible que le produit soit un D.L. au sens strict (sinon c'est un D.L. généralisé).

Exemple $ DL_2(\pm\infty)$ de $ f(x)=\sqrt{x²-1}-\sqrt{x²-x}$: Séparément les deux racines n'admettent pas de $ DL(\infty)$. Or, % latex2html id marker 3397
$ f(x)=\vert x\vert{\text .}(\sqrt{1-1/x²}-\sqrt{1-1/x})$, et en utilisant

$\displaystyle \sqrt{1-1/x}=1+\frac12(-1/x)-\frac18(-1/x)²+o(1/x)²~,
$

on a % latex2html id marker 3401
$ f(x)=\vert x\vert·(1+\frac12(-1/x²)+o(1/x²)-1+\fra...
...18\frac1{x²})
=\vert x\vert{\text .} (\frac12\frac1x-\frac38\frac1{x²}+o(1/x²))$, En développant, on a $ f(x)=sgn(x)(\frac12-\frac38\frac1x+o(1/x))$, d'où le résultat cherché.

Application : étude d'une branche infinie en $ \pm\infty$

Pour trouver l'asymptote (si elle existe) à la courbe $ \CC$ d'une fonction $ f$, on cherche un $ DL_1(\infty)$ de la fonction $ g:=x\mapsto\frac1xf(x)$. Si $ g(x)=a+b/x+o(1/x)$, alors % latex2html id marker 3445
$ f(x)=x\,g(x)=a{\text .}x+b+o(1)~~(x\to\infty)$, donc la droite $ \Delta$ d'équation $ y=ax+b$ est asymptote à $ \CC$.

Remarque On peut renoncer à l'introduction de la fonction $ g$, et faire le « $ DL(\infty)$» directement à partir de la fonction $ f$. Cependant, l'expression % latex2html id marker 3459
$ f(x)=a{\text .}x+b+o(1)~~(x\to\infty)$ n'est pas un $ DL(\infty)$ au sens strict de la définition, à cause du premier terme qui n'est pas un polynôme en $ 1/x$.

La position de $ \CC$ par rapport à $ \Delta$ au voisinage de l'infini se déduit du signe de $ f(x)-(a\,x+b)$. Pour le connaître, on peut chercher le prochain terme non-nul dans le $ DL(\infty)$ de $ g$. Si $ g(x)=a+b/x+a_p/x^p+o(1/x^p)$ avec $ a_p\ne0$, alors on a $ f(x)=a·x+b+a_p/x^{p-1}+o(1/x^{p-1})$. Le signe de $ a_p$ indique donc la position de $ \CC$ par rapport à $ \Delta$: pour $ a_p>0$, $ \CC$ est au-dessus de $ \Delta$ au voisinage de $ +\infty$, sinon en-dessous. Le même raisonnement s'applique au voisinage de $ -\infty$, en tenant compte du signe de $ x^{p-1}$: ici c'est % latex2html id marker 3499
$ \sgn a_p{\text .}(-1)^{p-1}$ qui indique si $ \CC$ est au-dessus ou en-dessous de $ \Delta$.

Si la courbe $ \CC$ a une convexité ou concavité définie au voisinage de $ \pm\infty$, est convexe ssi elle est au-dessus de $ \Delta$, sinon concave; c'est tout à fait analogue à l'étude locale en un point $ a\in\R$, sauf que l'asymptote joue le rôle de la tangente.

Notons que $ \frac1xf$ peut ne pas admettre de $ DL_p$ avec $ p$ assez grand pour déterminer la position par rapport à $ \Delta$, comme c'est le cas pour $ f=x\mapsto x+\frac1x\sin^2x$; ici on peut toutefois affirmer que $ f$ est au-dessus de $ \Delta:y=x$.


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Maximilian_F.Hasler
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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