Définition On dit que ,
(resp.
), admet un
(resp.
) ssi
t.q.
(avec toujours une fonction de la forme , ).
Donc admet un
ssi
admet un
;
c'est ainsi qu'on détermine dans la pratique les
(même si on n'écrit pas explicitement le changement de variables ).
Corollaire Si admet un
, alors admet une limite finie
en (comme dans le cas d'un
).
Remarque Si s'écrit comme différence de deux fonctions qui n'admettent
pas une limite finie, peut quand même admettre un
lorsque ces deux fonctions sont équivalentes en l'infini.
Pour le trouver, on met en facteur une fonction équivalente
(généralement une puissance de ), pour pouvoir faire un D.L. de
l'autre facteur (différence de deux DL). Si suffissament de termes
des deux DL s'anullent, il est possible que le produit soit un D.L.
au sens strict (sinon c'est un D.L. généralisé).
Exemple de
:
Séparément les deux racines n'admettent pas de
.
Or,
, et en utilisant
on a
,
En développant, on a
, d'où
le résultat cherché.
Pour trouver l'asymptote (si elle existe) à la courbe d'une
fonction , on cherche un
de la fonction
. Si
, alors
, donc la droite
d'équation est asymptote à .
Remarque On peut renoncer à l'introduction de la fonction ,
et faire le «
» directement à partir de la fonction .
Cependant, l'expression
n'est pas un
au sens strict de la définition, à cause du premier terme qui n'est pas
un polynôme en .
La position de par rapport à au voisinage de l'infini
se déduit du signe de
. Pour le connaître, on peut chercher
le prochain terme non-nul dans le
de .
Si
avec ,
alors on a
. Le signe de
indique donc la position de par rapport à : pour
, est au-dessus de au voisinage de ,
sinon en-dessous.
Le même raisonnement s'applique au voisinage de , en tenant compte
du signe de : ici c'est
qui indique si
est au-dessus ou en-dessous de .
Si la courbe a une convexité ou concavité définie au voisinage
de , est convexe ssi elle est au-dessus de , sinon
concave; c'est tout à fait analogue à l'étude locale en un point
, sauf que l'asymptote joue le rôle de la tangente.
Notons que peut ne pas admettre de avec assez grand
pour déterminer la position par rapport à , comme c'est le cas pour
; ici on peut toutefois affirmer que est
au-dessus de
.
,
![$ I=\left]\a,\infty\right[$](/a/d/b/img293.png){kind=small}
(resp.
![$ I=\left]-\infty,\a\right[$](/a/d/b/img294.png){kind=small}
), admet un
(resp.
) ssi
![% latex2html id marker 3351
$ \exists P\in\R_n[X]$](/a/d/b/img297.png){kind=small}
t.q.
une fonction de la forme 
, 
).
admet un
ssi
admet un
;
c'est ainsi qu'on détermine dans la pratique les
(même si on n'écrit pas explicitement le changement de variables 
).
).
lorsque ces deux fonctions sont équivalentes en l'infini.
Pour le trouver, on met en facteur une fonction équivalente
(généralement une puissance de 
), pour pouvoir faire un D.L. de
l'autre facteur (différence de deux DL). Si suffissament de termes
des deux DL s'anullent, il est possible que le produit soit un D.L.
au sens strict (sinon c'est un D.L. généralisé).
de
:
Séparément les deux racines n'admettent pas de
, et en utilisant
,
En développant, on a
, d'où
le résultat cherché.
d'une
fonction 
de la fonction
. Si
, alors
, donc la droite 
d'équation 
est asymptote à 
,
et faire le «
n'est pas un
.
. Pour le connaître, on peut chercher
le prochain terme non-nul dans le
avec 
,
alors on a
. Le signe de 
indique donc la position de 
, 
,
sinon en-dessous.
Le même raisonnement s'applique au voisinage de 
, en tenant compte
du signe de 
: ici c'est
qui indique si
, sauf que l'asymptote joue le rôle de la tangente.
peut ne pas admettre de 
avec 
assez grand
pour déterminer la position par rapport à 
; ici on peut toutefois affirmer que 
.
