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Introduction -- définitions générales

Une équation différentielle (ED) d'ordre $ n$ est une équation faisant intervenir une fonction $ y$ ainsi que ses dérivées $ y^{(k)}$ jusqu'à l'ordre $ n$. Par exemple, une telle équation pourrait être

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$\displaystyle y'(t) = 2{\text .}y(t) \text{ ~ ou ~ } y = \frac12\,x^2\,y'' - 5\,x ~.
$

Dans le 2e exemple, il est sous-entendu que $ y$ est fonction de $ x$, ou plutôt que $ x$ signifie l'application $ \id=(x\mapsto x)$: c'est en effet une égalité entre fonctions.

Définition L'équation différentielle d'ordre $ n$ la plus générale peut toujours s'écrire sous la forme

$\displaystyle F(x,y,y',...,y^{(n)}) = 0 ~. \eqno{(ED)}
$

ou $ F$ est une fonction de $ (n+2)$ variables. Nous ne considérons que le cas ou $ x$ et $ y$ sont à valeurs dans $ \R$. Une solution à une telle équation différentielle sur l'intervalle $ I\subset\R$ est une fonction $ y\in C^n(I;\R)$ (une fonction $ y:I\to\R$ qui est $ n$ fois continûment dérivable) telle que pour tout $ x\in I$, on ait $ F(x,y(x),y'(x),...,y^{(n)}(x)) = 0$.

Exercice Vérifier que

  • $ y(t)=C\,e^{2\,t}$ est une solution à la 1e équation sur tout $ \R$, pour tout $ C\in\R$ fixé;
  • $ y(x)=m\,x²-5x$ est une solution à la 2e équation, sur $ \R$, pour tout $ m\in\R$.

Remarque Pour des raisons qui seront développés dans la suite, on dit aussi ``intégrer l'ED'' au lieu de ``trouver une solution à l'ED''.

Dans ce chapitre, on donnera des méthodes pour trouver l'ensemble de toutes les solutions à une certaine classe d'équations différentielles.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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