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Sous-sections

Equations différentielles du $1^{er}$ ordre

Définition Une équation différentielle est du 1er ordre si elle ne fait intervenir que la première dérivée .

Eq.diff. à variables séparées

Définition Une équation différentielle de 1er ordre est dite à variables séparées si elle peut s'écrire sous la forme

$% latex2html id marker 2023 $\displaystyle f(y){\text .}y' = g(x) \eqno{(vs)} $$

Une telle équation différentielle peut s'intégrer facilement: En effet, on écrit $y'=\frac{\rd y}{\rd x}$ , puis, symboliquement,

$% latex2html id marker 2027 $\displaystyle f(y){\text .}\rd y = g(x){\text .}\rd x \iff \int f(y){\text .}\rd y = \int g(x){\text .}\rd x + C ~. $$

(On écrit ici explicitement la constante d'intégration arbitraire $C\in\R$ (qui est déjà implicitement présente dans les l'intégrales indéfinies) pour ne pas l'oublier.)

Il s'agit donc d'abord de trouver des primitives et de et de , et ensuite d'exprimer en terme de (et de ):

$\displaystyle F(y) = G(x) + C \iff y=F^{-1}(G(x)+C) ~.$

C'est pour cette raison que l'on dit aussi «intégrer» pour «résoudre» une équation différentielle.

Exemple Résoudre sur $I=\lr][{1,\infty}$ l'équation différentielle $xy'\ln x=(3\ln x +1)y$ . On peut «séparer les variables» ( et ) en divisant par $yx\ln x$ , ce qui est permis ssi $y\ne0$ (car $x\ln x>0$ d'après l'énoncé). On a

$\displaystyle \frac{y'}y=\frac{3\ln x +1}{x\ln x} \iff \int \frac1y\,\rd y = \int\frac{3\ln x +1}{x\ln x}\,\rd x + C$

avec $C\in\R$ , soit ( $\frac{3\ln x +1}{x\ln x}=\frac3x+\frac1{x\ln x}$ )

$\displaystyle \ln\vert y\vert=3\ln\vert x\vert+\ln\vert\ln x\vert+C' = \ln \lr\vert\vert{x^3\,\ln x} + C' ~.$

(On a simplifié $\ln\vert...\vert=\ln(...)$ en utilisant que $x\in I\iff x>1$ .)
En prenant l'exponentielle de cette equation, on a finalement

$\displaystyle y = C_2\,x^3\,\ln x$

avec $C_2\in\R$ : en effet, le signe de $C_2(=\pm e^{C'})$ tient compte des deux possibilités pour $\vert y\vert$ , et on vérifie que $C_2=0 ~\impl~ y=0$ est aussi solution (mais pour laquelle le calcul précédent, à partir de la division par

, n'est pas valable.)

Détermination de la cte. d'intégration

La constante d'intégration est fixée lorsqu'on demande que pour un donnée, on ait une valeur donnée de . (On parle d'un problème aux valeurs initiales.)
On arrive au même résultat en travaillant dès l'intégration de l'équation différentielle avec des intégrales définis:

$% latex2html id marker 2095 $\displaystyle f(y){\text .}y' = g(x)\land y(x_0)=y... ...f \int_{y_0}^y f(\eta){\text .}\rd\eta = \int_{x_0}^x g(\xi){\text .}\rd\xi ~. $$