suivant: Equations différentielles linéaires
monter: Equations différentielles
précédent: Introduction définitions
Sous-sections
Définition Une équation différentielle est du 1er ordre si elle ne fait intervenir que la
première dérivée .
Définition Une équation différentielle de 1er ordre est dite à variables séparées si elle peut
s'écrire sous la forme
Une telle équation différentielle peut s'intégrer facilement: En effet, on écrit
, puis, symboliquement,
(On écrit ici explicitement la constante d'intégration
arbitraire (qui est déjà implicitement présente dans les
l'intégrales indéfinies) pour ne pas l'oublier.)
Il s'agit donc d'abord de trouver des primitives et de et
de , et ensuite d'exprimer en terme de (et de ):
C'est pour cette raison que l'on dit aussi «intégrer» pour
«résoudre» une équation différentielle.
Exemple Résoudre sur
l'équation différentielle
.
On peut «séparer les variables» ( et ) en divisant par ,
ce qui est permis ssi (car d'après l'énoncé).
On a
avec , soit (
)
(On a simplifié
en utilisant que
.)
En prenant l'exponentielle de cette equation, on a finalement
avec : en effet, le signe de
tient compte
des deux possibilités pour , et on vérifie que
est aussi solution (mais pour laquelle le calcul précédent, à partir de
la division par , n'est pas valable.)
La constante d'intégration est fixée lorsqu'on demande que pour
un donnée, on ait une valeur donnée de
.
(On parle d'un problème aux valeurs initiales.)
On arrive au même résultat en travaillant dès l'intégration de l'équation différentielle
avec des intégrales définis:
La fonction ainsi obtenue est directement telle que
,
sans passer par la détermination de la constante d'intégration.
suivant: Equations différentielles linéaires
monter: Equations différentielles
précédent: Introduction définitions
Maximilian_F_Hasler
|