Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
178 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
next up previous
suivant: Equations différentielles linéaires monter: Equations différentielles précédent: Introduction définitions

Sous-sections

Equations différentielles du $ 1^{er}$ ordre

Définition Une équation différentielle est du 1er ordre si elle ne fait intervenir que la première dérivée $ y'$.

Eq.diff. à variables séparées

Définition Une équation différentielle de 1er ordre est dite à variables séparées si elle peut s'écrire sous la forme

% latex2html id marker 2023
$\displaystyle f(y){\text .}y' = g(x) \eqno{(vs)}
$


Une telle équation différentielle peut s'intégrer facilement: En effet, on écrit $ y'=\frac{\rd y}{\rd x}$, puis, symboliquement,

% latex2html id marker 2027
$\displaystyle f(y){\text .}\rd y = g(x){\text .}\rd x
\iff
\int f(y){\text .}\rd y = \int g(x){\text .}\rd x + C ~.
$

(On écrit ici explicitement la constante d'intégration arbitraire $ C\in\R$ (qui est déjà implicitement présente dans les l'intégrales indéfinies) pour ne pas l'oublier.)

Il s'agit donc d'abord de trouver des primitives $ F$ et $ G$ de $ f$ et de $ g$, et ensuite d'exprimer $ y$ en terme de $ x$ (et de $ C$):

$\displaystyle F(y) = G(x) + C \iff y=F^{-1}(G(x)+C) ~.
$

C'est pour cette raison que l'on dit aussi «intégrer» pour «résoudre» une équation différentielle.

Exemple Résoudre sur $ I=\lr][{1,\infty}$ l'équation différentielle $ xy'\ln x=(3\ln x +1)y$. On peut «séparer les variables» ($ x$ et $ y$) en divisant par $ yx\ln x$, ce qui est permis ssi $ y\ne0$ (car $ x\ln x>0$ d'après l'énoncé). On a

$\displaystyle \frac{y'}y=\frac{3\ln x +1}{x\ln x}
\iff
\int \frac1y\,\rd y = \int\frac{3\ln x +1}{x\ln x}\,\rd x + C
$

avec $ C\in\R$, soit ( $ \frac{3\ln x +1}{x\ln x}=\frac3x+\frac1{x\ln x}$)

$\displaystyle \ln\vert y\vert=3\ln\vert x\vert+\ln\vert\ln x\vert+C' = \ln \lr\vert\vert{x^3\,\ln x} + C' ~.
$

(On a simplifié $ \ln\vert...\vert=\ln(...)$ en utilisant que $ x\in I\iff x>1$.)
En prenant l'exponentielle de cette equation, on a finalement

$\displaystyle y = C_2\,x^3\,\ln x
$

avec $ C_2\in\R$: en effet, le signe de $ C_2(=\pm e^{C'})$ tient compte des deux possibilités pour $ \vert y\vert$, et on vérifie que $ C_2=0 ~\impl~ y=0$ est aussi solution (mais pour laquelle le calcul précédent, à partir de la division par $ y$, n'est pas valable.)

Détermination de la cte. d'intégration

La constante d'intégration $ C$ est fixée lorsqu'on demande que pour un $ x=x_0$ donnée, on ait une valeur donnée de $ y(x)=y(x_0)=y_0$. (On parle d'un problème aux valeurs initiales.)
On arrive au même résultat en travaillant dès l'intégration de l'équation différentielle avec des intégrales définis:

% latex2html id marker 2095
$\displaystyle f(y){\text .}y' = g(x)\land y(x_0)=y...
...f
\int_{y_0}^y f(\eta){\text .}\rd\eta = \int_{x_0}^x g(\xi){\text .}\rd\xi ~.
$

La fonction $ y$ ainsi obtenue est directement telle que $ y(x_0)=y_0$, sans passer par la détermination de la constante d'intégration.


next up previous
suivant: Equations différentielles linéaires monter: Equations différentielles précédent: Introduction définitions
Maximilian_F_Hasler
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page