suivant: Equations différentielles linéaires du
monter: Equations différentielles
précédent: Equations différentielles du ordre
Sous-sections
Définition Une équation différentielle d'ordre  est linéaire ssi elle est de la forme
avec
Proposition L'application
qui à la fonction associe la
nouvelle fonction  , est une application linéaire .
Démonstration En effet,
et pour tout ,
Définition L'équation différentielle
s'appelle équation homogène associée à .
Proposition L'ensemble des solutions à est le noyau de l'application
linéaire , c'est donc un sous-espace vectoriel de .
L'ensemble des solutions à est donné par
 avec
les solutions sont de la forme , ou est une
solution particulière de  , et parcourt toutes les
solutions de l'équation homogène .
Démonstration La première partie est évidente. En ce qui concerne la
partie, d'une part toute fonction de la fome est solution de
: en effet,
. D'autre
part, soient et solutions à , alors on peut voir
comme la solution particulière et toute autre solution
vérifie
, donc la
différence
est bien une solution à , donc un
élément de .
Si
, une solution particulière est donnée par
, où est une solution à
(pour
).
C'est une conséquence directe (voire la définition) de la linéarité
de l'opérateur  .
On reviendra sur ce principe très important (voire fondamental
notamment en ce qui concerne les lois de la nature) dans
les cas particuliers des équations différentielles linéaires du 1er et du 2nd ordre.
suivant: Equations différentielles linéaires du
monter: Equations différentielles
précédent: Equations différentielles du ordre
Maximilian_F_Hasler
|