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Définition Une équation différentielle linéaire (EDL) du 1er ordre est une équation différentielle qui peut s'écrire
sous la forme
ou sont des fonctions continues sur un même intervalle
, et on demandera
.
A cette équation différentielle on peut associer la même équation avec :
C'est l'équation homogène associée à (EDL),
ou équation sans second membre.
(On la note aussi ou .)
Proposition L'ensemble des solutions à  est un sev. des fonctions
. L'ensemble des solutions à (E) est obtenu en ajoutant à
toutes les solutions de une solution particulière quelconque
de .
Démonstration On vérifie que la fonction nulle et fois une solution à
sont toujours des solutions à , donc c'est un s.e.v.
On vérifie que si on a deux solutions et à , alors
leur différence est solution à . Donc réciproquement on obtient
tous les en ajoutant à un quelconque tous les
En effet, est une équation différentielle à var.séparées , en l'écrivant
. En l'intégrant, on obtient
et avec
On cherche la solution particulière sous la forme
,
avec une fonction à déterminer (``variation de la constante'').
On trouve que est solution ssi
(on peut intéger car c'est une composée de fct.continues , et on peut
oublier la constante car elle correspond à une solution de ).
Une solution particulière est donc
et la solution générale est donc
Exemple Résoudre sur
l'équation différentielle
Solution: Résolvons d'abord sur l'équation homogène
On obtient
La solution générale de est donc
(avec pour tenir compte des valeurs absolues, et étant
solution aussi).
Cherchons ensuite une solution particulière de sous la forme
(tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_inline2302# est ici une fonction continûment dérivable sur ).
On a alors
ce qui donne dans (E):
et comme dans la théorie générale (et c'est toujours ainsi par construction),
il ne reste que le terme en , soit:
On intègre par partie, en posant
ce qui donne
Sur , ; une solution particulière est donc obtenue
pour ,
et la solution générale de est donné par
Remarque Si et sont deux solutions particulières à , alors
est solution de , et la solution générale à
est
 arbitraire
De façon générale, pour résoudre une équation différentielle du 1er ordre, il faut
trouver un moyen d'arriver à une équation différentielle à variables séparées .
La méthode de la variation de la constante est en effet un
moyen de passer de l'équation différentielle linéaire inhomogène (qui n'est pas
à var.séparées) à une équation pour la nouvelle fonction
(où , solution homogène, est une fonction
connue, lorsqu'on a résolu ) qui est en effet à variables séparées.
C'est donc en fait un changement de variable qui fait passer de
l'équation pour à une équation plus simple pour , que l'on sait intégrer,
et dont la solution permet de remonter à .
De façon analogue, il existe souvent un changement de variable
qui permet de passer d'une équation différentielle quelconque pour à une équation différentielle
linéaire pour une nouvelle fonction , que l'on sait résoudre,
et qui permet ensuite de trouver .
Exemple L'équation de Bernoulli
devient une
équation linéaire (
) pour
.
L'équation de Ricatti
admet la solution évidente ,
et on trouve les autres solutions en posant
; ce qui
donne en effet une équation linéaire ( ) pour .
(Exercice: resoudre ces deux équations différentielles.)
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Maximilian_F_Hasler
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