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Equations différentielles linéaires du $ 1^{er}$ ordre

Définition Une équation différentielle linéaire (EDL) du 1er ordre est une équation différentielle qui peut s'écrire sous la forme

$\displaystyle a(x)\,y' + b(x)\,y = c(x) \eqno(E)
$

ou $ a,b,c$ sont des fonctions continues sur un même intervalle $ I\subset\R$, et on demandera $ \forall x\in I:a(x)\ne0$.

A cette équation différentielle on peut associer la même équation avec $ c=0$:

$\displaystyle a(x)\,y'+b(x)\,y=0 \eqno(E_0)
$

C'est l'équation homogène associée à (EDL), ou équation sans second membre. (On la note aussi $ (E_h)$ ou $ (E.H.)$.)

Structure de l'ens. de solutions

Proposition L'ensemble des solutions $ S_0$ à $ (E_0)$ est un sev. des fonctions $ C^1(I)$. L'ensemble des solutions $ S$ à (E) est obtenu en ajoutant à toutes les solutions de $ (E_0)$ une solution particulière quelconque de $ (E)$.

Démonstration On vérifie que la fonction nulle et $ \l +\mu$ fois une solution à $ (E_0)$ sont toujours des solutions à $ (E_0)$, donc c'est un s.e.v.

On vérifie que si on a deux solutions $ y_1$ et $ y_2$ à $ (E)$, alors leur différence est solution à $ (E_0)$. Donc réciproquement on obtient tous les $ y_2\in S$ en ajoutant à un quelconque $ y_1\in S$ tous les $ y_0\in\S_0$

Résolution de l'équation homogène associée

En effet, $ (E.H.)$ est une équation différentielle à var.séparées, en l'écrivant $ \frac{y'}y=-\frac{b(x)}{a(x)}$. En l'intégrant, on obtient

$\displaystyle \ln\vert y\vert=\int-\frac{b(x)}{a(x)}\rd x +C
$

et avec $ K\in\set{\pm e^C,0}$

$\displaystyle y=K\,e^{F(x)} ~,~~ K\in\R ~,~~ F(x) = \int-\frac{b(x)}{a(x)}\,\rd x ~.
$

Solution particulière par variation de la constante

On cherche la solution particulière sous la forme $ y=K(x)\,e^{F(x)}$, avec $ K$ une fonction à déterminer (``variation de la constante''). On trouve que $ y$ est solution ssi

$\displaystyle K'(x) = \frac{c(x)}{a(x)}\,e^{-F(x)}
\iff
K(x) = \int\frac{c(x)}{a(x)}\,e^{-F(x)}\,\rd x ~.
$

(on peut intéger car c'est une composée de fct.continues, et on peut oublier la constante car elle correspond à une solution de $ (E.H.)$).
Une solution particulière est donc

$\displaystyle y=e^{F(x)} \int\frac{c(x)}{a(x)}\,e^{-F(x)}\,\rd x ~,
$

et la solution générale est donc

$\displaystyle y=e^{F(x)} \lr(){K+\int\frac{c(x)}{a(x)}\,e^{-F(x)}\,\rd x}
~,~~ K\in\R ~,~~ F(x) = \int-\frac{b(x)}{a(x)}\,\rd x
$

Exemple Résoudre sur $ I=\lr][{0,\frac\pi2}$ l'équation différentielle

$\displaystyle (\sin x)\,y'-(\cos x)\,y = x~.\eqno(E)$

Solution: Résolvons d'abord sur $ I$ l'équation homogène

$\displaystyle (\sin x)\,y'-(\cos x)\,y = 0~.\eqno(EH)$

On obtient

$\displaystyle \frac{y'}y=\frac{\cos x}{\sin x} \impl \ln\vert y\vert = \ln\vert\sin x\vert+k ~,~~ k\in\R$

La solution générale de $ (EH)$ est donc

$\displaystyle y=K\,\sin x ~,~~K\in\R $

(avec $ K=\pm e^k$ pour tenir compte des valeurs absolues, et $ K=0$ étant solution aussi).
Cherchons ensuite une solution particulière de $ (E)$ sous la forme

$\displaystyle y=K(x)\,\sin x ~,~~ K\in C^1(I)
$

(tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_inline2302# est ici une fonction continûment dérivable sur $ I$).
On a alors $ y'(x)=K'(x)\,\sin x+K(x)\,\cos x$ ce qui donne dans (E):

$\displaystyle (\sin x)\,[K'(x)\,\sin x+K(x)\,\cos x]-(\cos x)\,K(x)\,\sin x=x$

et comme dans la théorie générale (et c'est toujours ainsi par construction), il ne reste que le terme en $ K'(x)$, soit:

$\displaystyle \forall x\in I: K'(x) \sin²x = x \iff K'(x)=\frac{x}{\sin²x}
\iff K(x)=\int\frac x{\sin²x}dx ~.$

On intègre par partie, en posant

$\displaystyle u(x) = x,~ v'(x)=\frac1{\sin²x} ~~et~~ u'(x)=1,~ v(x)=-\frac1{\tan x} ~,$

ce qui donne

$\displaystyle K(x)=\frac{-x}{\tan x}+\int\frac1{\tan x}dx
=\frac{-x}{\tan x}+\int\frac{\cos x}{\sin x}dx
=\frac{-x}{\tan x}+\ln\vert\sin x\vert+C ~.
$

Sur $ I$, $ \sin x>0$; une solution particulière est donc obtenue pour $ C=0$,

$\displaystyle y = -x\cos x + (\sin x)\ln\sin x
$

et la solution générale de $ (E)$ est donné par

$\displaystyle y= -x\cos x + (K+\ln\sin x)\sin x ~,~~ K\in\R ~.
$

Remarque Si $ y_1$ et $ y_2$ sont deux solutions particulières à $ (*)$, alors $ y_1-y_2$ est solution de $ (E.H.)$, et la solution générale à $ (*)$ est

$\displaystyle y = y_1 + c(y_1-y_2) ~,~~ c\in\R$    arbitraire$\displaystyle .
$

Changement de variable

De façon générale, pour résoudre une équation différentielle du 1er ordre, il faut trouver un moyen d'arriver à une équation différentielle à variables séparées. La méthode de la variation de la constante est en effet un moyen de passer de l'équation différentielle linéaire inhomogène (qui n'est pas à var.séparées) à une équation pour la nouvelle fonction $ k(x)=y(x)/y_h(x)$ (où $ y_h$, solution homogène, est une fonction connue, lorsqu'on a résolu $ (EH)$) qui est en effet à variables séparées.

C'est donc en fait un changement de variable qui fait passer de l'équation pour $ y$ à une équation plus simple pour $ k$, que l'on sait intégrer, et dont la solution permet de remonter à $ y$.

De façon analogue, il existe souvent un changement de variable qui permet de passer d'une équation différentielle quelconque pour $ y$ à une équation différentielle linéaire pour une nouvelle fonction $ u$, que l'on sait résoudre, et qui permet ensuite de trouver $ y$.

Exemple L'équation de Bernoulli $ y'\cos x+y\sin x+y^3=0$ devient une équation linéaire ( $ u'-2\,u\tan x=2/\cos x$) pour $ u=\frac1{y^2}$.
L'équation de Ricatti $ y'=(y-1)(xy-y-x)$ admet la solution évidente $ y=1$, et on trouve les autres solutions en posant $ y=1+\frac1u$; ce qui donne en effet une équation linéaire ($ u'-u=1-x$) pour $ u$.
(Exercice: resoudre ces deux équations différentielles.)


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Maximilian_F_Hasler
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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