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Sous-sections

Equations différentielles linéaires du $1^{er}$ ordre

Définition Une équation différentielle linéaire (EDL) du 1er ordre est une équation différentielle qui peut s'écrire sous la forme

$\displaystyle a(x)\,y' + b(x)\,y = c(x) \eqno(E)$

sont des fonctions continues sur un même intervalle $I\subset\R$ , et on demandera $\forall x\in I:a(x)\ne0$ .

A cette équation différentielle on peut associer la même équation avec :

$\displaystyle a(x)\,y'+b(x)\,y=0 \eqno(E_0)$

C'est l'équation homogène associée à (EDL), ou équation sans second membre. (On la note aussi

Structure de l'ens. de solutions

Proposition L'ensemble des solutions à est un sev. des fonctions . L'ensemble des solutions à (E) est obtenu en ajoutant à toutes les solutions de une solution particulière quelconque de .

Démonstration On vérifie que la fonction nulle et $\l +\mu$ fois une solution à sont toujours des solutions à , donc c'est un s.e.v.

On vérifie que si on a deux solutions et à , alors leur différence est solution à . Donc réciproquement on obtient tous les $y_2\in S$ en ajoutant à un quelconque $y_1\in S$ tous les $y_0\in\S_0$

Résolution de l'équation homogène associée

En effet, est une équation différentielle à var.séparées, en l'écrivant $\frac{y'}y=-\frac{b(x)}{a(x)}$ . En l'intégrant, on obtient

$\displaystyle \ln\vert y\vert=\int-\frac{b(x)}{a(x)}\rd x +C$

et avec $K\in\set{\pm e^C,0}$

$\displaystyle y=K\,e^{F(x)} ~,~~ K\in\R ~,~~ F(x) = \int-\frac{b(x)}{a(x)}\,\rd x ~.$

Solution particulière par variation de la constante

On cherche la solution particulière sous la forme $y=K(x)\,e^{F(x)}$ , avec une fonction à déterminer (``variation de la constante''). On trouve que est solution ssi

$\displaystyle K'(x) = \frac{c(x)}{a(x)}\,e^{-F(x)} \iff K(x) = \int\frac{c(x)}{a(x)}\,e^{-F(x)}\,\rd x ~.$

(on peut intéger car c'est une composée de fct.continues

, et on peut oublier la constante car elle correspond à une solution de

).
Une solution particulière est donc

$\displaystyle y=e^{F(x)} \int\frac{c(x)}{a(x)}\,e^{-F(x)}\,\rd x ~,$

et la solution générale est donc

$\displaystyle y=e^{F(x)} \lr(){K+\int\frac{c(x)}{a(x)}\,e^{-F(x)}\,\rd x} ~,~~ K\in\R ~,~~ F(x) = \int-\frac{b(x)}{a(x)}\,\rd x$

Exemple Résoudre sur $I=\lr][{0,\frac\pi2}$ l'équation différentielle

$\displaystyle (\sin x)\,y'-(\cos x)\,y = x~.\eqno(E)$

Solution: Résolvons d'abord sur

l'équation homogène

$\displaystyle (\sin x)\,y'-(\cos x)\,y = 0~.\eqno(EH)$

On obtient

$\displaystyle \frac{y'}y=\frac{\cos x}{\sin x} \impl \ln\vert y\vert = \ln\vert\sin x\vert+k ~,~~ k\in\R$

La solution générale de

est donc

$\displaystyle y=K\,\sin x ~,~~K\in\R$

(avec $K=\pm e^k$ pour tenir compte des valeurs absolues, et

étant solution aussi).
Cherchons ensuite une solution particulière de

sous la forme

$\displaystyle y=K(x)\,\sin x ~,~~ K\in C^1(I)$

(tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_inline2302# est ici une fonction continûment dérivable sur

).
On a alors $y'(x)=K'(x)\,\sin x+K(x)\,\cos x$ ce qui donne dans (E):

$\displaystyle (\sin x)\,[K'(x)\,\sin x+K(x)\,\cos x]-(\cos x)\,K(x)\,\sin x=x$

et comme dans la théorie générale (et c'est toujours ainsi par construction), il ne reste que le terme en

, soit:

$\displaystyle \forall x\in I: K'(x) \sin²x = x \iff K'(x)=\frac{x}{\sin²x} \iff K(x)=\int\frac x{\sin²x}dx ~.$

On intègre par partie, en posant

$\displaystyle u(x) = x,~ v'(x)=\frac1{\sin²x} ~~et~~ u'(x)=1,~ v(x)=-\frac1{\tan x} ~,$

ce qui donne

$\displaystyle K(x)=\frac{-x}{\tan x}+\int\frac1{\tan x}dx =\frac{-x}{\tan x}+\int\frac{\cos x}{\sin x}dx =\frac{-x}{\tan x}+\ln\vert\sin x\vert+C ~.$

Sur

, $\sin x>0$ ; une solution particulière est donc obtenue pour

$\displaystyle y = -x\cos x + (\sin x)\ln\sin x$

et la solution générale de

est donné par

$\displaystyle y= -x\cos x + (K+\ln\sin x)\sin x ~,~~ K\in\R ~.$

Remarque Si et sont deux solutions particulières à , alors est solution de , et la solution générale à est

$\displaystyle y = y_1 + c(y_1-y_2) ~,~~ c\in\R$ arbitraire $\displaystyle .$

Changement de variable

De façon générale, pour résoudre une équation différentielle du 1er ordre, il faut trouver un moyen d'arriver à une équation différentielle à variables séparées. La méthode de la variation de la constante est en effet un moyen de passer de l'équation différentielle linéaire inhomogène (qui n'est pas à var.séparées) à une équation pour la nouvelle fonction (où , solution homogène, est une fonction connue, lorsqu'on a résolu ) qui est en effet à variables séparées.

C'est donc en fait un changement de variable qui fait passer de l'équation pour à une équation plus simple pour , que l'on sait intégrer, et dont la solution permet de remonter à .

De façon analogue, il existe souvent un changement de variable qui permet de passer d'une équation différentielle quelconque pour à une équation différentielle linéaire pour une nouvelle fonction , que l'on sait résoudre, et qui permet ensuite de trouver .

Exemple L'équation de Bernoulli $y'\cos x+y\sin x+y^3=0$ devient une équation linéaire ( $u'-2\,u\tan x=2/\cos x$ ) pour $u=\frac1{y^2}$ .
L'équation de Ricatti admet la solution évidente , et on trouve les autres solutions en posant $y=1+\frac1u$ ; ce qui donne en effet une équation linéaire () pour .
(Exercice: resoudre ces deux équations différentielles.)