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Sous-sections
On s'intéresse mainenant aux équations différentielles du 2e ordre, mais seules aux EDL ou
les coefficients
sont des constantes réelles.
Définition Une EDL du ordre à coeff. constants est une équation différentielle de la forme
ou
( ), et
( ouvert de ).
L'équation homogène (ou sans second membre) associée est
D'après les résultats généraux on sait que l'ensemble des solutions
à est un e.v., et que la solution générale à est de la
forme (...).
Nous admettons les résultats supplémentaires:
Proposition
- Pour tout
et
,  admet une unique
solution telle que ,
.
- Les solutions à
sur forment un e.v. de dimension 2
(sur ), noté .
- Si
sont deux solutions indépendantes de
(
libre dans ), alors
est
une base de , c'est à dire
.
- Pour
, on définit le wronskien ,
Si
pour un , alors pour tout ,
et c'est une CNS pour que
soit linéairement indépendant
et donc une base de .
On cherche la solution sous la forme , . On a donc
et
, donc devient
.
Définition L'équation
se nomme équation caractéristique de  .
Proposition le signe de
, on a les résultats suivants:
:
 admet 2 racines réelles distinctes
,
et
est une base de
.
:
admet 1 racine double ,
et
est une base de
.
:
admet 2 racines complexes conjuguées
et
(
, ), et
est une base de .
Dans chacun des cas, la solution générale à est donc
avec .
Démonstration
:
- Il est clair que
sont solutions à .
Leur wronskien est égal à
donc sont indépendants et base de .
:
- On vérifie que
est solution
de :
,
et donc
car en effet (comme ).
Le wronskien est égal à
donc sont indépendants et base de .
:
- On a
et donc
les coefficients étant la partie réelle et imaginaire de
.
Le calcul est identique pour .
Le wronskien est égal à
car , donc sont indépendants et base de .
Ainsi, on a dans tous les cas possibles.
On distingue encore 2 cas particuliers et une méthode générale:
-

- ou
et (un polynôme).
On cherche la solution sous la forme
, ou est un polynôme.
dont on peut préciser le degré:
- si n'est pas racine de , alors
;
- si est l'une des deux racines de , alors
;
- si est racine double de , alors
.
Remarques:
i) Cette méthode s'applique notamment pour , c-à-d. .
ii) On peut aussi chercher une solution sous la forme
,
où est une fonction à déterminer; en remplaçant ceci dans , on
obtient une équation différentielle pour , de laquelle on tire (qui doit être
égal à , modulo les ctes d'intégration qui correspondent à une
solution homogène). Ce procédé est en fait équivalent à la méthode de la
variation de la constante.
-

- où
.
On distingue encore une fois deux cas :
i) n'est pas racine de : Dans ce cas, les fonctions
,
ne sont pas solutions
de . Une solution particulière de sera de la forme
, où les constantes se
déterminent par identification.
ii) est racine de , donc les fonctions
,
sont solutions
de . Une solution particulière de sera de la forme
, où les constantes se
déterminent par identification.
- principe de superposition:
- Si
, une solution
particulière est donnée par , où est une solution à
(pour ).
(Conséquence de la linéarité de
.)
Exemple Résoudre
sur .
a) équation homogène: L'équation caractéristique est .
La solution générale de est donc
.
b) solution particulière à : convient.
c) solution particulière à
:
En remplaçant
dans l'équation, on trouve
, donc
et .
d) conclusion: la solution générale est
.
- méthode de variation des constantes.
- Soient
et deux solutions indépendantes de .
On cherche une solution particulière de sous la forme
,
où et sont des fonctions vérifiant
.
Ainsi,
, et devient
(car
pour ).
Donc, sont solutions du système
Ce système se résoud aisément, ce qui donne , puis par
intégration.
Exemple Résolvons
.
La solution de est
,
(cf. exemple précédent)
Cherchons une solution particulière. Les solutions
,
sont indépendantes, en effet leur wronskien vaut .
Cherchons une solution sous la forme
, avec
. sont solutions à
donc
avec les primitives
On a donc la solution particulière
et la solution générale en ajoutant
.
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Maximilian_F_Hasler
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