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Equations différentielles linéaires du $2^e$ ordre à coefficients constants

On s'intéresse mainenant aux équations différentielles du 2e ordre, mais seules aux EDL ou les coefficients $a_0,a_1,a_2$ sont des constantes réelles.

Définitions

Définition Une EDL du $2^{nd}$ ordre à coeff. constants est une équation différentielle de la forme

$$a\,y''+b\,y'+c\,y = f(x) ~, \eqno(E)$$

ou $a,b,c\in\R$ ($a\ne0$), et $f\in\CC^0(I)$ ($I$ ouvert de $\R$). L'équation homogène (ou sans second membre) associée est

$$a\,y''+b\,y'+c\,y = 0 ~, \eqno(E.H.)$$

D'après les résultats généraux on sait que l'ensemble des solutions à $(E.H.)$ est un e.v., et que la solution générale à $(E)$ est de la forme $y=y_p+y_h$ (...).

Nous admettons les résultats supplémentaires:

Proposition

1. Pour tout $x_0\in I$ et $(\a,\beta)\in\R^2$, $(E)$ admet une unique solution $y$ telle que $y(x_0)=\a$, $y'(x_0)=\beta$.

2. Les solutions à $(E.H.)$ sur $I$ forment un e.v. de dimension 2 (sur $\R$), noté $S_2(I)$.

3. Si $y_1,y_2$ sont deux solutions indépendantes de $(E.H.)$ ( $\set{y_1,y_2}$ libre dans $S_2(I)$), alors $\set{y_1,y_2}$ est une base de $S_2(I)$, c'est à dire $S_2(I)=\set{\a\,y_1+\beta\,y_2;\a,\beta\in\R}$.

4. Pour $y_1,y_2\in S_2(I)$, on définit le wronskien $w:I\to\R$,
   $$x\mapsto w(x) = \DET { y_1(x) & y_2(x) \\ y'_1(x) & y'_2(x) } \equiv y_1(x)\,y'_2(x) - y'_1(x) \, y_2(x) ~.$$
   Si $w(x_0)\ne0$ pour un $x_0\in I$, alors $w(x)\ne0$ pour tout $x\in I$, et c'est une CNS pour que $\set{y_1,y_2}$ soit linéairement indépendant et donc une base de $S_2(I)$.

Résolution de l'équation homogène associée $(E.H.)$

On cherche la solution sous la forme $y=e^{rx}$, $r\in\R$. On a donc $y'=r\,y$ et $y''=r^2\,y$, donc $(E)$ devient $y(a\,r^2+b\,r+c) =0$.

Définition L'équation

$$a\,r^2+b\,r+c =0 \eqno(EC)$$

se nomme équation caractéristique de $(E.H.)$.

Proposition le signe de $\Delta=b^2-4ac$, on a les résultats suivants:

$\Delta>0$:

$(EC)$ admet 2 racines réelles distinctes $r_1\ne r_2$, et est une base de $S_2(I)$.

$\Delta=0$:

$(EC)$ admet 1 racine double $r\in\R$, et est une base de $S_2(I)$.

$\Delta<0$:

$(EC)$ admet 2 racines complexes conjuguées $r_1=\a+i\,\beta$ et $r_2=\a-i\,\beta$ ( $\a,\beta\in\R$, $\beta\ne0$), et est une base de $S_2(I)$.

Dans chacun des cas, la solution générale à $(E.H.)$ est donc $y=A\,y_1+B\,y_2$ avec $A,B\in\R$.

Démonstration

$\Delta>0$:

Il est clair que $y_1, y_2(x)$ sont solutions à $(E.H.)$. Leur wronskien est égal à

$$\DET { e^{r_1\,x} & e^{r_2\,x} \\ r_1\,e^{r_1\,x} & r_2\,e^{r_2\, x} } = (r_2-r_1) e^{(r_1+r_2)\,x}\ne0 ~,$$

donc $y_1,y_2$ sont indépendants et base de $S_2(I)$.

$\Delta=0$:

On vérifie que $y_2(x)=x\,e^{r\, x}$ est solution de $(E.H.)$: $y_2'(x)=(r\,x+1)\,e^{r\, x}$, $y_2''(x)=(r^2x+2r)\,e^{r_2\, x}$ et donc $a\,y_2''(x)+b\,y_2'(x)+c\,y_2(x)=e^{r\, x}[(ar^2+br+c)x+2ar+b]=0$ car en effet $r=-b/2a$ (comme $\Delta=0$).

Le wronskien est égal à

$$\DET { e^{r\,x} & x\,e^{r\,x} \\ r\,e^{r\,x} & (rx+1)\,,e^{r\,x}} = (rx+1-rx) e^{2\,r\,x}\ne0~,$$

donc $y_1,y_2$ sont indépendants et base de $S_2(I)$.

$\Delta<0$:

On a

$$y_1'(x) =e^{\a\,x}(\a\cos\beta x-\beta\sin\beta x)$$

$$y_1''(x) = e^{\a\,x}(\a^2\cos\beta x-2\alpha\beta\sin\beta x-\beta^2\cos\beta x)$$

et donc

$$a\,y_1''(x)+b\,y_1'(x)+c\,y_1(x)$$

$$=e^{\a\, x}[ (a[\a^2-\beta^2]+b\a+c)\cos\b +(-2a\a\beta-b\beta)\sin\beta]=0$$

les coefficients étant la partie réelle et imaginaire de $ar^2+br+c=0$. Le calcul est identique pour $y_2$.

Le wronskien est égal à

$$\DET { e^{\a\,x}\cos\beta x & e^{\a\,x}\sin\beta x \\ e^{\a\,x}(\a\cos\beta x-\beta\sin\beta x) & e^{\a\,x}(\a\sin\beta x+\beta\cos\beta x) }$$

$$= e^{2\,\a\,x} (\b[\cos^2\beta+\sin^2\beta]+[\a-\a]\sin\cos\beta x)\ne0$$

car $\beta\ne0$, donc $y_1,y_2$ sont indépendants et base de $S_2(I)$.

Ainsi, on a $S_2(I)$ dans tous les cas possibles.

Solution particulière à $(E)$

On distingue encore 2 cas particuliers et une méthode générale:

$f(x)=e^{\a x}P(x)$

ou $\a\in\C$ et $P\in\C[X]$ (un polynôme).

On cherche la solution sous la forme $y=e^{\a x}Q(x)$, ou $Q$ est un polynôme. dont on peut préciser le degré:
- si $\a$ n'est pas racine de $(EC)$, alors $\deg Q=\deg P$;
- si $\a$ est l'une des deux racines de $(EC)$, alors $\deg Q=\deg P+1$;
- si $\a$ est racine double de $(EC)$, alors $\deg Q=\deg P+2$.

Remarques:
i) Cette méthode s'applique notamment pour $\a=0$, c-à-d. $f(x)=P(x)$.
ii) On peut aussi chercher une solution sous la forme $y(x)=z(x)\,e^{\a x}$, où $z$ est une fonction à déterminer; en remplaçant ceci dans $(E)$, on obtient une équation différentielle pour $z$, de laquelle on tire $z$ (qui doit être égal à $Q$, modulo les ctes d'intégration qui correspondent à une solution homogène). Ce procédé est en fait équivalent à la méthode de la variation de la constante.

$f(x)=M\cos\omega x+N\sin\omega x$

où $\omega,M,N\in\R$.

On distingue encore une fois deux cas :

i) $i\omega$ n'est pas racine de $(EC)$: Dans ce cas, les fonctions $x\mapsto\cos\omega x$, $x\mapsto\sin\omega x$ ne sont pas solutions de $(E.H.)$. Une solution particulière de $(E)$ sera de la forme $y=A\cos\omega x+B\sin\omega x$, où les constantes $A,B\in\R$ se déterminent par identification.

ii) $i\omega$ est racine de $(EC)$, donc les fonctions $x\mapsto\cos\omega x$, $x\mapsto\sin\omega x$ sont solutions de $(E.H.)$. Une solution particulière de $(E)$ sera de la forme $y=x(A\cos\omega x+B\sin\omega x)$, où les constantes $A,B\in\R$ se déterminent par identification.

principe de superposition:

Si $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$, une solution particulière est donnée par $y=y_1+y_2$, où $y_i$ est une solution à $a\,y_i''+b\,y_i'+c\,y_i=f_i(x)$ (pour $i=1,2$). (Conséquence de la linéarité de $L:y\mapsto a\,y''+b\,y'+c\,y$.)

Exemple Résoudre $y''+y=x+\cos3x$ sur $I=\R$.
a) équation homogène: L'équation caractéristique est $r^2+1=0$. La solution générale de $(E.H.)$ est donc $y=A\cos x+B\sin x$.
b) solution particulière à $y''+y=x$: $y=x$ convient.
c) solution particulière à $y''+y=\cos 3x$: En remplaçant $y=A\cos3x+B\sin3x$ dans l'équation, on trouve $(A-9A)\cos3x+(B-9B)\sin3x=\cos3x$, donc $A=-\frac18$ et $B=0$.
d) conclusion: la solution générale est $y=x-\frac18\cos3x+A\cos x+B\sin x$.

méthode de variation des constantes.

Soient $y_1$ et $y_2$ deux solutions indépendantes de $(E.H.)$. On cherche une solution particulière de $(E)$ sous la forme $y=A\,y_1+B\,y_2$, où $A$ et $B$ sont des fonctions vérifiant $A'\,y_1+B'\,y_2=0$. Ainsi, $y'=A\,y_1'+B\,y_2'$, et $(E)$ devient $a(A'\,y_1'+B'\,y_2'=f(x)$ (car $a\,y_i''+b\,y_i'+c\,y_i=0$ pour $i=1,2$).

Donc, $A',B'$ sont solutions du système

$$\CASES{ A'y_1+B'y_2=0 \\ A'y_1'+B'y_2'=\frac1a f(x) }$$

Ce système se résoud aisément, ce qui donne $A',B'$, puis $A,B$ par intégration.

Exemple Résolvons $y''+y=\frac1{\sin^3x}$. La solution de $(E.H.)$ est $y_h=A\cos x+B\sin x$, $A,B\in\R$ (cf. exemple précédent)

Cherchons une solution particulière. Les solutions $y_1=\sin x$, $y_2=\cos x$ sont indépendantes, en effet leur wronskien vaut $w(x)=-1$. Cherchons une solution sous la forme $y_p=A(x)\cos x+B(x)\sin x$, avec $A'y_1+B'y_2=0$. $A',B'$ sont solutions à

$$\CASES{ A'\sin x+B'\cos x=0 \\ A'\cos x-B'\sin x=\frac1{\sin^3x} }$$

donc

$$A'=\frac1{w(x)}\DET { 0&\cos x \\ \frac1{\sin^3x}&-\sin x} =\frac{\cos x}{\sin^3x} ~,$$

$$B'=\frac1{w(x)}\DET { \sin x & 0 \\ \cos x&\frac1{\sin^3x}} =\frac{-1}{\sin^2x} ~.$$

avec les primitives

$$A=\frac{-1}{2\sin^2x} ~,~~ B=\frac{\cos x}{\sin x} ~.$$

On a donc la solution particulière

$$y_p = \frac{-1}{2\sin x} + \frac{\cos^2x}{\sin x} =\frac{\cos2x}{2\sin x} ~,$$

et la solution générale en ajoutant $y_h=A\cos x+B\sin x$.

©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001

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