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Equations différentielles linéaires du $ 2^e$ ordre à coefficients constants

On s'intéresse mainenant aux équations différentielles du 2e ordre, mais seules aux EDL ou les coefficients $ a_0,a_1,a_2$ sont des constantes réelles.

Définitions

Définition Une EDL du $ 2^{nd}$ ordre à coeff. constants est une équation différentielle de la forme

$\displaystyle a\,y''+b\,y'+c\,y = f(x) ~, \eqno(E)
$

ou $ a,b,c\in\R$ ($ a\ne0$), et $ f\in\CC^0(I)$ ($ I$ ouvert de $ \R$). L'équation homogène (ou sans second membre) associée est

$\displaystyle a\,y''+b\,y'+c\,y = 0 ~, \eqno(E.H.)
$


D'après les résultats généraux on sait que l'ensemble des solutions à $ (E.H.)$ est un e.v., et que la solution générale à $ (E)$ est de la forme $ y=y_p+y_h$ (...).

Nous admettons les résultats supplémentaires:

Proposition

  1. Pour tout $ x_0\in I$ et $ (\a,\beta)\in\R^2$, $ (E)$ admet une unique solution $ y$ telle que $ y(x_0)=\a$, $ y'(x_0)=\beta$.

  2. Les solutions à $ (E.H.)$ sur $ I$ forment un e.v. de dimension 2 (sur $ \R$), noté $ S_2(I)$.

  3. Si $ y_1,y_2$ sont deux solutions indépendantes de $ (E.H.)$ ( $ \set{y_1,y_2}$ libre dans $ S_2(I)$), alors $ \set{y_1,y_2}$ est une base de $ S_2(I)$, c'est à dire $ S_2(I)=\set{\a\,y_1+\beta\,y_2;\a,\beta\in\R}$.

  4. Pour $ y_1,y_2\in S_2(I)$, on définit le wronskien $ w:I\to\R$,

    $\displaystyle x\mapsto w(x) = \DET { y_1(x) & y_2(x) \\ y'_1(x) & y'_2(x) }
\equiv y_1(x)\,y'_2(x) - y'_1(x) \, y_2(x) ~.
$

    Si $ w(x_0)\ne0$ pour un $ x_0\in I$, alors $ w(x)\ne0$ pour tout $ x\in I$, et c'est une CNS pour que $ \set{y_1,y_2}$ soit linéairement indépendant et donc une base de $ S_2(I)$.


Résolution de l'équation homogène associée $ (E.H.)$

On cherche la solution sous la forme $ y=e^{rx}$, $ r\in\R$. On a donc $ y'=r\,y$ et $ y''=r^2\,y$, donc $ (E)$ devient $ y(a\,r^2+b\,r+c) =0$.

Définition L'équation

$\displaystyle a\,r^2+b\,r+c =0 \eqno(EC)
$

se nomme équation caractéristique de $ (E.H.)$.

Proposition le signe de $ \Delta=b^2-4ac$, on a les résultats suivants:

$ \Delta>0$:
$ (EC)$ admet 2 racines réelles distinctes $ r_1\ne r_2$, et % latex2html id marker 1868
\fbox{$ y_1(x)=e^{r_1\,x} $, $ y_2(x)=e^{r_2\, x} $} est une base de $ S_2(I)$.

$ \Delta=0$:
$ (EC)$ admet 1 racine double $ r\in\R$, et % latex2html id marker 1872
\fbox{$ y_1(x)=e^{r\,x} $, $ y_2(x)=x\,e^{r\,x} $} est une base de $ S_2(I)$.

$ \Delta<0$:
$ (EC)$ admet 2 racines complexes conjuguées $ r_1=\a+i\,\beta$ et $ r_2=\a-i\,\beta$ ( $ \a,\beta\in\R$, $ \beta\ne0$), et % latex2html id marker 1876
\fbox{$y_1(x)=e^{\a\,x}\cos\beta x$, $y_2(x)=e^{\a\,x}\sin\beta y$} est une base de $ S_2(I)$.

Dans chacun des cas, la solution générale à $ (E.H.)$ est donc $ y=A\,y_1+B\,y_2$ avec $ A,B\in\R$.

Démonstration

$ \Delta>0$:
Il est clair que $ y_1, y_2(x)$ sont solutions à $ (E.H.)$. Leur wronskien est égal à

$\displaystyle \DET { e^{r_1\,x} & e^{r_2\,x} \\ r_1\,e^{r_1\,x} & r_2\,e^{r_2\, x} }
= (r_2-r_1) e^{(r_1+r_2)\,x}\ne0 ~,
$

donc $ y_1,y_2$ sont indépendants et base de $ S_2(I)$.

$ \Delta=0$:
On vérifie que $ y_2(x)=x\,e^{r\, x} $ est solution de $ (E.H.)$: $ y_2'(x)=(r\,x+1)\,e^{r\, x} $, $ y_2''(x)=(r^2x+2r)\,e^{r_2\, x} $ et donc $ a\,y_2''(x)+b\,y_2'(x)+c\,y_2(x)=e^{r\, x}[(ar^2+br+c)x+2ar+b]=0$ car en effet $ r=-b/2a$ (comme $ \Delta=0$).

Le wronskien est égal à

$\displaystyle \DET { e^{r\,x} & x\,e^{r\,x} \\ r\,e^{r\,x} & (rx+1)\,,e^{r\,x}}
= (rx+1-rx) e^{2\,r\,x}\ne0~,
$

donc $ y_1,y_2$ sont indépendants et base de $ S_2(I)$.

$ \Delta<0$:
On a

$\displaystyle y_1'(x)$ $\displaystyle =e^{\a\,x}(\a\cos\beta x-\beta\sin\beta x)$    
$\displaystyle y_1''(x)$ $\displaystyle = e^{\a\,x}(\a^2\cos\beta x-2\alpha\beta\sin\beta x-\beta^2\cos\beta x)$    

et donc

$\displaystyle a\,y_1''(x)+b\,y_1'(x)+c\,y_1(x)$

$\displaystyle =e^{\a\, x}[
(a[\a^2-\beta^2]+b\a+c)\cos\b +(-2a\a\beta-b\beta)\sin\beta]=0
$

les coefficients étant la partie réelle et imaginaire de $ ar^2+br+c=0$. Le calcul est identique pour $ y_2$.

Le wronskien est égal à

$\displaystyle \DET { e^{\a\,x}\cos\beta x & e^{\a\,x}\sin\beta x \\
e^{\a\,x}(\a\cos\beta x-\beta\sin\beta x) &
e^{\a\,x}(\a\sin\beta x+\beta\cos\beta x) }$

$\displaystyle = e^{2\,\a\,x} (\b[\cos^2\beta+\sin^2\beta]+[\a-\a]\sin\cos\beta x)\ne0
$

car $ \beta\ne0$, donc $ y_1,y_2$ sont indépendants et base de $ S_2(I)$.
Ainsi, on a $ S_2(I)$ dans tous les cas possibles.

Solution particulière à $ (E)$

On distingue encore 2 cas particuliers et une méthode générale:

$ f(x)=e^{\a x}P(x)$
ou $ \a\in\C$ et $ P\in\C[X]$ (un polynôme).

On cherche la solution sous la forme $ y=e^{\a x}Q(x)$, ou $ Q$ est un polynôme. dont on peut préciser le degré:
- si $ \a$ n'est pas racine de $ (EC)$, alors $ \deg Q=\deg P$;
- si $ \a$ est l'une des deux racines de $ (EC)$, alors $ \deg Q=\deg P+1$;
- si $ \a$ est racine double de $ (EC)$, alors $ \deg Q=\deg P+2$.

Remarques:
i) Cette méthode s'applique notamment pour $ \a=0$, c-à-d. $ f(x)=P(x)$.
ii) On peut aussi chercher une solution sous la forme $ y(x)=z(x)\,e^{\a x}$, où $ z$ est une fonction à déterminer; en remplaçant ceci dans $ (E)$, on obtient une équation différentielle pour $ z$, de laquelle on tire $ z$ (qui doit être égal à $ Q$, modulo les ctes d'intégration qui correspondent à une solution homogène). Ce procédé est en fait équivalent à la méthode de la variation de la constante.

$ f(x)=M\cos\omega x+N\sin\omega x$
$ \omega,M,N\in\R$.

On distingue encore une fois deux cas :

i) $ i\omega$ n'est pas racine de $ (EC)$: Dans ce cas, les fonctions $ x\mapsto\cos\omega x$, $ x\mapsto\sin\omega x$ ne sont pas solutions de $ (E.H.)$. Une solution particulière de $ (E)$ sera de la forme $ y=A\cos\omega x+B\sin\omega x$, où les constantes $ A,B\in\R$ se déterminent par identification.

ii) $ i\omega$ est racine de $ (EC)$, donc les fonctions $ x\mapsto\cos\omega x$, $ x\mapsto\sin\omega x$ sont solutions de $ (E.H.)$. Une solution particulière de $ (E)$ sera de la forme $ y=x(A\cos\omega x+B\sin\omega x)$, où les constantes $ A,B\in\R$ se déterminent par identification.

principe de superposition:
Si $ f(x)=f_1(x)+f_2(x)$, une solution particulière est donnée par $ y=y_1+y_2$, où $ y_i$ est une solution à $ a\,y_i''+b\,y_i'+c\,y_i=f_i(x)$ (pour $ i=1,2$). (Conséquence de la linéarité de $ L:y\mapsto a\,y''+b\,y'+c\,y$.)

Exemple Résoudre $ y''+y=x+\cos3x$ sur $ I=\R$.
a) équation homogène: L'équation caractéristique est $ r^2+1=0$. La solution générale de $ (E.H.)$ est donc $ y=A\cos x+B\sin x$.
b) solution particulière à $ y''+y=x$: $ y=x$ convient.
c) solution particulière à $ y''+y=\cos 3x$: En remplaçant $ y=A\cos3x+B\sin3x$ dans l'équation, on trouve $ (A-9A)\cos3x+(B-9B)\sin3x=\cos3x$, donc $ A=-\frac18$ et $ B=0$.
d) conclusion: la solution générale est $ y=x-\frac18\cos3x+A\cos x+B\sin x$.

méthode de variation des constantes.
Soient $ y_1$ et $ y_2$ deux solutions indépendantes de $ (E.H.)$. On cherche une solution particulière de $ (E)$ sous la forme $ y=A\,y_1+B\,y_2$, où $ A$ et $ B$ sont des fonctions vérifiant $ A'\,y_1+B'\,y_2=0$. Ainsi, $ y'=A\,y_1'+B\,y_2'$, et $ (E)$ devient $ a(A'\,y_1'+B'\,y_2'=f(x)$ (car $ a\,y_i''+b\,y_i'+c\,y_i=0$ pour $ i=1,2$).

Donc, $ A',B'$ sont solutions du système

$\displaystyle \CASES{ A'y_1+B'y_2=0 \\ A'y_1'+B'y_2'=\frac1a f(x) }
$

Ce système se résoud aisément, ce qui donne $ A',B'$, puis $ A,B$ par intégration.

Exemple Résolvons $ y''+y=\frac1{\sin^3x}$. La solution de $ (E.H.)$ est $ y_h=A\cos x+B\sin x$, $ A,B\in\R$ (cf. exemple précédent)

Cherchons une solution particulière. Les solutions $ y_1=\sin x$, $ y_2=\cos
x$ sont indépendantes, en effet leur wronskien vaut $ w(x)=-1$. Cherchons une solution sous la forme $ y_p=A(x)\cos x+B(x)\sin x$, avec $ A'y_1+B'y_2=0$. $ A',B'$ sont solutions à

$\displaystyle \CASES{ A'\sin x+B'\cos x=0 \\ A'\cos x-B'\sin x=\frac1{\sin^3x} }
$

donc

$\displaystyle A'=\frac1{w(x)}\DET { 0&\cos x \\ \frac1{\sin^3x}&-\sin x}
=\frac{\cos x}{\sin^3x} ~,
$

$\displaystyle B'=\frac1{w(x)}\DET { \sin x & 0 \\ \cos x&\frac1{\sin^3x}}
=\frac{-1}{\sin^2x} ~.
$

avec les primitives

$\displaystyle A=\frac{-1}{2\sin^2x} ~,~~ B=\frac{\cos x}{\sin x} ~.
$

On a donc la solution particulière

$\displaystyle y_p = \frac{-1}{2\sin x} + \frac{\cos^2x}{\sin x}
=\frac{\cos2x}{2\sin x} ~,
$

et la solution générale en ajoutant $ y_h=A\cos x+B\sin x$.


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Maximilian_F_Hasler
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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