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Plan d'étude d'une courbe parametrée

On procède en 6 étapes, précisées ci-dessous:

1) Préciser le domaine de définition $ \D$
c'est à dire l'ensemble des points en lesquel les deux applications composantes $ x$ et $ y$ sont définis.
2) Recherche de périodes et symétries
 
  1. Si % latex2html id marker 1737
$ \exists T>0:\forall t\in\D, x(t)=x(t+T)$ et $ y(t+T)=y(t)$, la fonction est $ t$-périodique: on peut alors restreindre l'étude à l'intersection de $ \D$ avec un intervalle de longueur $ T$, et on obtient ainsi toute la courbe.

  2. Si $ \D$ est symétrique et on a une des symétries suivantes:
    (i) $ \forall t\in\D: x(-t)=x(t)$ et $ y(-t)=y(t)$ ($ x$ et $ y$ fcts paires de $ t$),
    (ii) $ \forall t\in\D: x(-t)=-x(t)$ et $ y(-t)=y(t)$ ($ x$ impaire et $ y$ paire),
    (iii) $ \forall t\in\D: x(-t)=x(t)$ et $ y(-t)=-y(t)$ ($ x$ paire et $ y$ impaire),
    (iv) $ \forall t\in\D: x(-t)=-x(t)$ et $ y(-t)=-y(t)$ ($ x$ et $ y$ impaires),

    alors on restreint l'étude à $ t\in\D\cap\R_+$, et on obtient toute la courbe
    (i) qui est parcourue 2 fois
    (ii) en complétant l'arc par une symétrie par rapport à l'axe $ y$
    (iii) en complétant l'arc par une symétrie par rapport à l'axe $ x$
    (iv) en complétant l'arc par une symétrie par rapport à l'origine $ O$.

3) Rechercher les eventuelles branches infinies:
voir chapitre [*]

4) Faire un tableau de variations
pour $ x$ et $ y$, en étudiant les signes de $ x'$ et $ y'$.

5) Etudier les points particuliers
tels que points stationnaires (= singuliers), points doubles: voir chapitre [*]

6) Tracer la courbe
en s'aidant des résultats précédants, notamment en reportant aussi les points singuliers, tangentes et asymptotes.


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Maximilian_F.Hasler
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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