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Etude des branches infinies

Définition La courbe $ \CC$ présente une branche infinie (ou: un arc infini), si au moins une des coordonnées tend vers l'infini, pour $ t\to t_0$, avec $ t_0\in\R\cup\set{\pm\infty}$.

Les cas suivants sont possibles:

  1. $ \lto x(t)=\ell\in\R$ et $ \lto y(t)=\pm\infty$: $ \CC$ admet la droite $ \Delta$ d'équation $ x=\ell$ comme asymptote verticale

  2. $ \lto x(t)=\pm\infty$ et $ \lto y(t)=\ell\in\R$: $ \CC$ admet la droite $ \Delta$ d'équation $ y=\ell$ comme asymptote horizontale

  3. $ \lto x(t)=\pm\infty$ et $ \lto y(t)=\pm\infty$: On étudie $ \lto y(t)/x(t)$:
    1. Si $ \lto \frac{y(t)}{x(t)}=\pm\infty$, alors $ \CC$ admet une branche parabolique dans la direction $ 0y$

    2. Si $ \lto \frac{y(t)}{x(t)}=0$, alors $ \CC$ admet une branche parabolique dans la direction $ 0x$

    3. Si $ \lto \frac{y(t)}{x(t)}=a\ne0$, on étudie la fonction % latex2html id marker 1878
$ y-a{\text .}x$:
      • Si % latex2html id marker 1880
$ \lto (y(t)-a{\text .}x(t))=b\in\R$ alors $ \CC$ admet la droite $ \Delta$ d'équation % latex2html id marker 1886
$ y=a{\text .}x+b$ comme asymptote, et la position de $ \CC/\Delta$ dépend du signe de % latex2html id marker 1890
$ y-a{\text .}x-b$. (On peut utiliser un $ DL(t_0)$ pour le trouver.)

      • Si % latex2html id marker 1894
$ \lto (y(t)-a{\text .}x(t))=\pm\infty$ alors $ \CC$ admet une branche parabolique dans la direction de la droite d'équation % latex2html id marker 1898
$ y=a{\text .}x$.

      • Si % latex2html id marker 1900
$ y-a{\text .}x$ n'admet pas de limite, on ne sait pas conclure.

    4. Si $ \lto \frac{y(t)}{x(t)}$ n'admet pas de limite, on ne peut conclure sur la nature de l'arc infini.


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Maximilian_F.Hasler
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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