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Etude de points particuliers

Définition On suppose que $ x:t\mapsto x(t)$ et $ y:t\mapsto y(t)$ sont dérivables en $ t_0$. Le vecteur $ \vec V'(t_0)=(x'(t_0),y'(t))$ est appelé le vecteur dérivée de $ f$ en $ t_0$. On note aussi $ \vec
V'(t_0)$ par $ \frac{\rm d}{{\rm d} t}\overrightarrow{OM}(t_0)$.

$ \bullet$ Si $ \vec V'(t_0)\ne\vec o$, c'est à dire $ (x'(t_0),y'(t_0))\ne(0,0)$, le point $ M(t_0)$ est dit point ordinaire. La droite $ (T)$ de vecteur directeur $ \vec
V'(t_0)$ et passant par $ M(t_0)$ est appelée tangente à $ \CC$ en $ M(t_0)$.
Une représentation paramétrique de $ T$ est donc donnée par

% latex2html id marker 1952
$\displaystyle T:\CASES{
x=x(t_0)+x'(t_0){\text .}(t-t_0)\\
y=y(t_0)+y'(t_0){\text .}(t-t_0)
} t\in\D ~.
$

et on peut en déduire facilement une équation de la forme $ y=m\,x+b$ (ou $ x=x(t_0)$ si $ x'(t_0)=0$) en exprimant $ (t-t_0)$ dans la deuxième équation en terme de $ x$ à l'aide de la première équation:

$\displaystyle y=y(t_0)+\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}(x-x(t_0)) ~.
$

$ \bullet$ Si $ \vec V'(t_0)=\vec o$, c'est à dire $ x'(t_0)=y'(t_0)=0$, alors le point $ M(t_0)$ est dit stationnaire ou singulier.

Etude en un point stationnaire $ M(t_0)$.

On suppose que les fonctions $ x$ et $ y$ sont au plusieurs fois dérivables.

  1. Si $ x'(t_0)=y'(t_0)=0$ et $ (x''(t_0),y''(t_0))\ne(0,0)$: Dans ce cas, la tangente $ (T)$ à $ \CC$ en $ M(t_0)$ est la droite qui passe par $ M(t_0)$ de vecteur directeur le vecteur $ \vec V''(t_0)=\frac{\rm d^2}{{\rm d}t^2}M(t_0)$ de composantes $ (x''(t_0),y''(t_0))$.

  2. Si $ \vec V'(t_0)=\vec V''(t_0)=...=\vec o$, $ \vec
V^{(p)}(t_0)\ne\vec o$: On généralise le cas précédent. La tangente $ T$ à $ \CC$ en $ M(t_0)$ est la droite qui passe par $ M(t_0)$ et qui a comme vecteur directeur $ \vec V^{(p)}(t_0)=(x^{(p)}(t_0),y^{(p)}(t_0))$.

Position de $ \CC$ par rapport à $ T$ en un point $ M(t_0)$

On designe par $ p$ le premier entier $ \ge0$ tel que $ (x^{(p)}(t_0),y^{(p)}(t_0))\ne(0,0)$:

$\displaystyle p=\min\set{ p\in\N^*\mid \vec V^{(p)}\ne\vec o}
$

et par $ q$ le premier entier strictement supérieur à $ p$ tel que les vecteurs $ \vec V^{(p)}$ et $ \vec V^{(q)}$ ne soient pas colinéaires. (On peut écrire

$\displaystyle q=\min\set{ q\in\N^*\mid \vec V^{(q)}\ne\l\,\vec V^{(p)} ~\forall\l\in\R}
$

car pour $ q\le p$ la dernière relation n'est pas satisfaite non plus.

Ecrivons la formule de Taylor-Young à l'ordre $ q$, le $ DL_q(t_0)$:

$\displaystyle (S)~\CASES{ x(t) = x(t_0)
+ \frac{(t-t_0)^p}{p!}\,x^{(p)}(t_0)
+...
...,y^{(p)}(t_0)
+...+\frac{(t-t_0)^q}{q!}\,y^{(q)}(t_0)
+(t-t_0)^q\,\veps_2(t) }
$

avec $ \lto \veps_1(t)=0$ et $ \lto \veps_2(t)=0$.
En écrivant $ (S)$ sous forme vectorielle, il vient:

$\displaystyle f(t) = f(t_0)
+ \frac{(t-t_0)^p}{p!}\,\vec V^{(p)}(t_0)
+...
+\frac{(t-t_0)^q}{q!}\,\vec V^{(q)}(t_0)
+(t-t_0)^q\,\vec\veps(t)
$

Or, $ \vec V^{(p+1)}(t_0),...,\vec V^{(q-1)}(t_0)$ sont colinéaires à $ \vec V^{(p)}(t_0)$, donc

$\displaystyle f(t) =$ $\displaystyle f(t_0) + (t-t_0)^p\lr[]{\frac1{p!} +\l _{p+1}\,\frac{t-t_0}{(p+1)!} + ... +\l _{q-1}\,\frac{(t-t_0)^{q-p-1}}{(q-1)!} }\,\vec V^{(p)}(t_0)$    
  $\displaystyle +\frac{(t-t_0)^q}{q!}\,\vec V^{(q)}(t_0) +(t-t_0)^q\,\vec\veps(t)$    

Etudions le vecteur $ \overrightarrow{M(t_0)\,M(t)}$ dans le repère $ (M(t_0),\vec V^{(p)}(t_0),\vec V^{(q)}(t_0))$. Si $ x_1(t)$ et $ y_1(t)$ designent ses composantes dans cette base, on a les équivalences (au voisinage de $ t_0$)

$\displaystyle x_1(t)\underset{(t_0)}
\sim\frac{(t-t_0)^p}{p!}$     et  $\displaystyle y_1(t)\underset{(t_0)}
\sim\frac{(t-t_0)^q}{q!}
$

Selon la parité de $ p$ et de $ q$, on a les résultats suivants:

\begin{figure}
% latex2html id marker 693
\epsfxsize\textwidth
\noindent
\epsfbox{A4c.eps}\par\end{figure}

Définition

  1. $ p$ pair et $ q$ impair: au voisinage de $ t_0$, $ x_1(t)\ge0$ et $ y_1(t)$ a le signe de $ (t-t_0)$: $ \CC$ traverse la tangente $ T$ en $ M(t_0)$, qui est un point de rebroussement de $ 1^e$ espèce.

  2. $ p$ pair et $ q$ pair: au voisinage de $ t_0$, $ x_1(t)\ge0$ et $ y_1(t)\ge0$, indépendamment du signe de $ (t-t_0)$: $ \CC$ ne traverse pas la tangente $ T$; $ M(t_0)$ est un point de rebroussement de $ 2^e$ espèce.

  3. $ p$ impair et $ q$ pair: au voisinage de $ t_0$, $ x_1(t)$ change de signe et $ y_1(t)\ge0$: $ \CC$ touche la tangente $ T$; $ M(t_0)$ est appele ``méplat''.

  4. $ p$ impair et $ q$ impair: au voisinage de $ t_0$, $ x_1(t)$ et $ y_1(t)$ changent de signe: $ \CC$ traverse la tangente $ T$ en $ M(t_0)$, qui est appelé point d'inflexion.


Points doubles (ou multiples)

Définition S'il existe $ t'\ne t$ tels que $ M(t')=M(t)$, on dit que $ M(t)$ est un point double (ou multiple).

Pour trouver les points doubles, il faut donc résoudre le système

$\displaystyle \CASES{ x(t')=x(t)\\ y(t')=y(t)}
$

avec $ t'\ne t$. (C'est en général un calcul assez lourd...!)


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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