Topologie de la convergence simple

Soit X un ensemble et (Y, $\cal O$ ) un espace topologique

.
Définition Soit $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ une suite de fonctions de X dans Y et

une fonction de X dans Y. On dit que $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge simplement vers f pour la topologie de Y quand n tend vers l' infini si $\forall x \in X , f_n (x)$ tend vers

quand n tend vers l'infini

.
Définition Ceci permet de définir une topologie

sur $\cal F$ (X,Y): l'ensemble des fonctions de X dans Y. Cette topologie sur $\cal F$ (X,Y) est la topologie de la convergence simple:

On définit tout d'abord les "fermés" par la propriété suivante:
`` $F\subset F$ (X,Y) est un fermé $\Leftrightarrow$ F est vide ou alors toute suite $(f_n)_{n\in {\rm I\!N }}$ d'éléments de F qui converge simplement vers un élément de $\cal F$ (X,Y) a sa limite dans F''.
Autremement dit, F est fermé si et seulement si F est vide ou alors si pour tout élément de $\cal F$ (X,Y) qui est limite simple d'une suite d'éléments de F, est élément de F.
On définit naturellement les éléments de notre topologie en affirmant que les ouverts de $\cal F$ (X,Y) sont les complémentaires des fermés de $\cal F$ (X,Y).

Remarque les "" utilisés autour du mot fermé dans la définition précédente sont là pour préciser l'idée qu'il nous faut montrer que les ensembles ainsi définis vérifient bien les axiomes d'une topologie

et sont donc bien des fermés.
Démonstration

Il est clair que l'ensemble vide et $\cal F$ (X,Y) tout entier sont des "fermés" de $\cal F$ (X,Y).
Soit $(F_i)_{\scriptsize {i =1..n}}$ une famille finie de fermés de $\cal F$ (X,Y). Montrons que F, la réunion des éléments de cette famille, est encore un fermé de $\cal F$ (X,Y). Soit donc $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ une suite convergente d'éléments de F et $f\in$ $\cal F$ (X,Y) la limite de cette suite. Il existe un fermé F $_{i_0}$ de notre famille de fermé qui contient une infinité de termes de la suite $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ . ( Si cette dernière affirmation était fausse, chaque F contiendrait un nombre fini d'éléments de la suite $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ , pour tout i=1..n et donc la suite $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ ne pourrait prendre qu'un nombre fini de "valeurs". Nécessairement serait une de ses "valeurs"et f serait élément de F cqfd.) En extrayant de la suite $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ la suite des éléments de $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ qui sont éléments de F $_{i_0}$ , on fabrique une sous suite de $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ incluse dans F $_{i_0}$ . Mais toute sous suite d'une suite convergente est convergente et converge vers la même limite que la suite de départ. Donc la sous suite est convergente. Mais F $_{i_0}$ étant "fermé" la limite de notre sous suite est dans F $_{i_0}$ et donc est élément de F.
Vérifions le dernier axiome de la topologie . Soit donc maintenant $(F)_{\scriptsize {i \in I}}$ une famille quelconque de "fermés" de $\cal F$ (X,Y). Montrons que F, l'intersection de tous les éléments de cette famille est encore un "fermé". Soit donc $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ une suite convergente d'éléments de F et soit $f\in$ $\cal F$ (X,Y) sa limite. Pour tout $i\in I$ , $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est incluse dans F. Mais chaque F étant "fermé", la limite de $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est élément de F. est donc élément de F pour tout $i\in I$ et est donc élément de l'intersection de tout les éléments de cette famille F.