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Topologie de la convergence uniforme

X désigne un ensemble et (Y, $\parallel  \parallel$) désigne un k-espace vectoriel normé (k=IRou IC).
On s'intéresse à $\cal B$(X,Y)= $\lbrace f:X \longrightarrow Y   / \displaystyle{\sup_{x \in X}} \parallel f(x) \parallel < \infty) \rbrace$.
Remarque On s'intéresse souvent dans la pratique à des ensembles X munis d'une topologie les rendant compacts. On considérera alors, en lieu et place de $\cal B$(X,Y) l'ensemble $\cal C$(X,Y) des fonctions continues de X dans Y ( continues pour les topologies respectives de X et Y). Dans ce cas, en raison du fait que l'application $x \longrightarrow \parallel f(x) \parallel$ est continue ( composée d'application continue), que X muni de sa topologie est compact et que toute fonction continue à valeurs réelles et définie sur un compact est bornée, on a: $\cal C$(X,Y) $\subset $ $\cal B$(X,Y).
Définition On définit sur $\cal B$(X,Y) une loi externe par .: k$\times$$\cal B$(X,Y) $\longrightarrow$$\cal B$(X,Y) ($\upsilon$,$f$) $\longrightarrow \upsilon.f$$\upsilon.f$ est l'application de X dans Y qui a x $\in X$ associe $\upsilon.f$(x).
On définit aussi sur $\cal B$(X,Y) une loi interne par +:$\cal B$(X,Y)$\times$$\cal B$(X,Y) $\longrightarrow$$\cal B$(X,Y), $(f,g)\longrightarrow f+g$, où $f+g$ désigne l'application qui à tout x de X associe l'élément f(x)+g(x). ( + désigne ici la loi interne de Y).
Proposition $\cal B$(X,Y) muni de la loi interne et de la loi externe précédemment définie est un k-espace vectoriel.
Démonstration Il suffit de remarquer que, en vue des axiomes définissant une norme, une somme de fonction bornées est bornée et le produit d'une fonction bornée par un scalaire est encore une fonction bornée. Les autres axiomes d'espace vectoriel se démontrent facilement.
Définition On suppose ici que X est muni d'une topologie qui le rend compact. On définit sur $\cal C$(X,Y) une loi externe par .: k$\times$$\cal C$(X,Y) $\longrightarrow$$\cal C$(X,Y) ($\upsilon$,$f$) $\longrightarrow \upsilon.f$$\upsilon.f$ est l'application de X dans Y qui a x $\in X$ associe $\upsilon.f$(x).
On définit aussi sur $\cal C$(X,Y) une loi interne par +:$\cal C$(X,Y)$\times$$\cal C$(X,Y) $\longrightarrow$$\cal C$(X,Y), $(f,g)\longrightarrow f+g$, où $f+g$ désigne l'application qui à tout x de X associe l'élément f(x)+g(x). ( + désigne ici la loi interne de Y).
Proposition En supposant que X est muni d'une topologie le rendant compact, $\cal C$(X,Y) est sous k-espace vectoriel de $\cal B$(X,Y) pour les loi internes et externes définis précédemment.
Démonstration La somme de deux fonctions continues définies d'un espace topologique X dans un espace vectoriel normé Y est une application continue. De même le produit d'un scalaire et d'une fonction ainsi définie est aussi une application continue.
Définition Si $f\in$ $\cal B$(X,Y) (resp. $f \in \cal C$(X,Y)), on pose:
$\Vert\vert$f$\Vert\vert$= $\displaystyle{\sup_{x\in X} }$$\Vert$f$(x)\Vert$.

Proposition L'application $\Vert\vert \vert\Vert$ précédemment définie est une norme sur $\cal B$(X,Y) (resp. $\cal C$(X,Y)).
Démonstration Choisissons f et g dans $\cal B$(X,Y) (resp. $\cal C$(X,Y)). Par définition de $\cal B$(X,Y) (resp. $\cal C$(X,Y)), $\Vert\vert \vert\Vert$ est une application bien définie sur $\cal B$(X,Y) (resp. $\cal C$(X,Y)). ( Elle est à valeur dans IRet non dans IR $\cup\lbrace\infty\rbrace$). $\Vert\vert \vert\Vert$ est même à valeur dans IR$^+$. De plus: $\Vert\vert f\vert\Vert$=0 $\Leftrightarrow$ $\displaystyle{\sup_{x\in X} }$$\Vert f(x)\Vert$=0 $\Leftrightarrow$ $\Vert f(x)\Vert$=0 $\forall x\in X\Leftrightarrow f\equiv 0$, ce qui prouve le premier axiome d'une norme.
D'autre part, si $\lambda\in k$, $\Vert\vert\lambda f\vert\Vert$= $\displaystyle{\sup_{x\in X} }$ $\Vert\lambda f(x)\Vert$ = $\displaystyle{ \sup_{x\in X} }\vert\lambda\vert$$\Vert f(x)\Vert$= $\vert\lambda\vert\displaystyle{\sup_{x\in X}}$$\Vert f(x)\Vert$=|$\lambda$|$\Vert\vert f(x)\vert\Vert$. Ce qui nous permet de valider le deuxième axiome d'une norme.
Enfin, $\Vert\vert f+g\vert\Vert$= $\displaystyle{\sup_{x\in X} }$$\Vert(f+g)(x)\Vert$ $\leq \displaystyle{\sup_{x \in X}}$ ($\Vert f\Vert$+$\Vert g\Vert$) $\leq \displaystyle{\sup_{x \in X}}$$\Vert f(x)\Vert$+ $\displaystyle{\sup_{x\in X} }$$\Vert g(x)\Vert$=$\Vert\vert f\vert\Vert$+$\Vert\vert g\vert\Vert$. Ce qui prouve l'inégalité triangulaire.
Corollaire $\cal B$(X,Y) et $\cal C$(X,Y) sont des espaces vectoriels normés.
Définition Soit $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ une suite d'applications de X dans Y. Soit f une application pareillement définie. On dit que $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge uniformément vers f si

\begin{displaymath}\forall \varepsilon>0,  \exists N(\varepsilon),  \forall x\in X \Vert f_n(x)-f(x)\Vert<\varepsilon.\end{displaymath}

$ $

Proposition Si $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est une suite de fonction sur X qui converge uniformément vers f définie sur X alors $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge simplement vers f.
Démonstration Il suffit de comparer la définition de la convergence simple et celle de la convergence uniforme pour les fonctions.
Proposition On a l'équivalence (avec les notations de la définition précédente)

  • $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge uniformément vers f sur X.
  • $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge vers f pour le norme $\Vert\vert \vert\Vert$ de $\cal B$(X,Y) (resp. $\cal C$(X,Y)).
$ $

Démonstration Supposons que $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge uniformément vers f sur X. Soit $\varepsilon>0$. $\exists {\rm I\!N }(\varepsilon)  / si  n>N(\varepsilon) \Vert\vert f_n-f\...
...\varepsilon) \forall x\in X \Vert(f_n-f)(x)\Vert<\varepsilon \Leftrightarrow $ et $\varepsilon$ étant quelconque, ceci est équivalent au fait que $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge vers f pour la norme de $\cal B$(X,Y) (resp. $\cal C$(X,Y)).
Ceci nous amène à la définition suivante:
Définition La topologie sur $\cal B$(X,Y) (resp. $\cal C$(X,Y)) héritée de la norme $\Vert\vert \vert\Vert$ est appelée topologie de la convergence uniforme.
Remarque Le fait que la convergence uniforme d'une suite de fonctions implique la convergence simple de cette suite a comme conséquence que la topologie de la convergence uniforme est plus fine que la topologie de la convergence simple.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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