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Notions de base

On considère dans tout ce chapitre un espace vectoriel réél ou complexe E. On notera k le corps de base. Donc k=IRou IC.
Définition $\Vert \Vert : E\longrightarrow {\rm I\!R }^+$ est une norme sur E si:
  • $x\in E$ $\Vert x\Vert$=0 $\Leftrightarrow x=0$.
  • $\lambda\in k,  x\in E$ $\Vert\lambda x\Vert$=|$\lambda$|$\Vert x\Vert$ où | | désigne la valeurs absolue si k=IR ou le module si k=IC.
  • $\Vert \Vert$ vérifie l'inégalité triangulaire: $x,y\in E$ $\Vert x+y\Vert$$\leq$$\Vert x\Vert$+$\Vert y\Vert$.
Proposition Si $\Vert \Vert$ est une norme sur E alors |$\Vert x\Vert$-$\Vert y\Vert$|$\leq$$\Vert x-y\Vert$.
Démonstration A écrire!
Définition Un espace vectoriel normé est la donnée d'un espace vectoriel E et d'une norme $\Vert \Vert$ sur E. On notera (E,$\Vert \Vert$) le couple formé par l'espace vectoriel et sa norme.
Proposition fondamental Un evn est un espace métrique : il suffit de poser, si x,y$\in$E, d(x,y)=$\Vert x-y\Vert$ et d ainsi définie est une métrique. Cette métrique sera appelée métrique associée à la norme $\Vert \Vert$. Les espaces vectoriels normés sont donc des espaces métriques (et à fortioris des espaces topologiques).
Exemple Quelques exemples d'evn :
  • (E=IR$^n$,$\Vert \Vert _k$) où si $x\in X $ et si $(x_i)_{i=1..n}, $désignent les coordonnées de x,

    \begin{displaymath}\Vert x\Vert _k=\displaystyle{(\sum_{i=1}^{n}\vert x_i\vert^k)^{1 \over k}}\end{displaymath}

    Si k=2, cette norme est la norme euclidienne.
  • E=IC$^n$ et si x= $(x_1,....,x_n)\in$IC$^n$:

    \begin{displaymath}\displaystyle {\Vert x\Vert _\infty=\sup_{i=1}^n \vert x_i\vert}\end{displaymath}

    Remarquons qu'en fait cette norme a pour métrique associée la métrique produit sur IC$^n$.
Définition On dira que deux normes $\Vert \Vert$$_1$ et $\Vert \Vert$$_2$ sont équivalentes si il existe $\lambda,\beta \in k  / \forall x \in E   \lambda$$\Vert x\Vert$$_1\leq$ $\Vert x\Vert$$_2\leq \beta$ $\Vert x\Vert$$_1$.
Proposition ``Etre équivalent à'' est une relation d'équivalence sur l'ensemble des normes d'un evn.
Démonstration Réflexivité, transitivité, symétrie....
Proposition Si deux normes sont équivalentes, les métriques corespondantes à ces deux normes sont aussi équivalentes.
Démonstration Ecrire!!!
Corollaire Si on a deux normes équivalentes sur un espace vectoriel donné alors les topologies inhérentes à ces deux normes sont équivalentes.
Démonstration Les normes sont équivalentes, donc les métriques associées le sont, et les topologies aussi.
Remarque fondamentale En fait c'est encore + fort que cela car la complètude est conservée par changement de normes équivalentes. Ce qui n'est pas le cas par changement de topologie équivalente. Si, par exemple, une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est de Cauchy et qu'elle converge pour une norme donnée, il en sera de même pour tout autre norme équivalente.
Proposition L'application norme $\Vert \Vert : E\longrightarrow {\rm I\!R }^+$ est continue sur E muni de la topologie induite par $\Vert \Vert$. Elle est même 1-Lipschitzienne.
Démonstration Si x et y sont éléments de E, |$\Vert x\Vert$-$\Vert y\Vert$|$\leq$$\Vert x-y\Vert$.
Proposition les homothéties vectorielles et les translations sont des applications continues sur les evn.(Ce sont des isométries!!!).
Démonstration Soit (E,$\Vert \Vert$) un evn ,soit $T$ la translation de vecteur v et $H$ l'homothétie de rapport $\lambda$. On a donc, si x et y sont des éléments de E: $\Vert T(x)-T(y)\Vert$=$\Vert x+v-y-v\Vert$=$\Vert x-y\Vert$. $T$ est donc 1-Lipschitzienne ce qui implique le résultat.
D'autre part $\Vert H(x)-H(y)\Vert$= $\Vert\lambda x- \lambda y\Vert$= $\Vert\lambda(x-y)\Vert$=|$\lambda$|$\Vert x-y\Vert$. $H$ est alors $\lambda$-Lipschitzienne.Cqfd car .
Proposition Soit (X,${\cal O)}$ un espace topologique et (F,$\Vert \Vert$) un evn. Notons $\cal C$(X,F) l'ensemble des fonctions continues de X dans F alors $\cal C$(X,F) est un espace vectoriel.
Démonstration Il suffit de montrer que $\cal C$(X,F) est un sous espace vectoriel de l'espace des fonctions de X dans F. Il est tout d'abord clair que l'application nulle est élément de $\cal C$(X,F). Soient $f$ et $g \in \cal C$(X,F), soient aussi $\alpha$ et $\beta$ dans k. Il suffit de vérifier pour tout x de X, et tout $\varepsilon>0$ il existe V$\in$$\cal{V} $(x) tel que $\forall y\in V \Rightarrow$ $\Vert\alpha f(x) + \beta g(x)-\alpha f(y) - \beta g(y)\Vert$<$\varepsilon$. Fixons donc $\varepsilon>0$ et x$\in$ X. Comme f et g sont continues en x, on peut trouver des voisinages $V_1$ et $V_2$ de x tels que $y \in V_1 \Rightarrow$ $\Vert f(x) -f(y)\Vert$< ${\varepsilon \over 2 \alpha}$ et $y \in V_2 \Rightarrow$ $\Vert g(x)-g(y)\Vert$< ${\varepsilon \over 2 \beta}$. En choisissant pour V le voisinage de x: $V_1 \cap V_2$ et en appliquant l'inégalité triangulaire à $\Vert\alpha f(x) + \beta g(x)-\alpha f(y) - \beta g(y)\Vert$, on montre l'inégalité voulue. Comme x est quelconque dans X, on a bien prouvé que $\alpha f + \beta g$ est continue sur X.
En a en particulier ici prouvé le corollaire suivant:
Corollaire
  • Une somme d'application continue est continue.
  • L'application définie comme le produit d'un scalaire et d'une fonction continue est continue.

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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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