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Applications linéaires

Soient (E,$\Vert \Vert$) et (E,$\Vert \Vert$') deux k-evn.
On note ${\cal L}$(E,F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F et ${\cal L}_c$(E,F) l'ensemble des applications linéaires continues de E dans F.
Théorème Soit $f \in {\cal L}$(E,F). Les affirmations suivantes sont équivalentes:
  • $f$ est élément de ${\cal L}_c$(E,F).
  • $f$ est continue en l'origine de E.
  • f est bornée sur la boule unitée de (E,$\Vert \Vert$).
  • f est lipschitzienne.
Démonstration Si $f$ est élément de ${\cal L}_c$(E,F), il est claire que $f$ est continue en l'origine.
Supposons que $f$ soit continue en l'origine et montrons qu'elle est bornée sur la sphère unité. La continuité en l'origine de $f$ se traduit par : $\forall \varepsilon>0  \exists \eta>0 $ $\Vert x\Vert$< $\eta \Rightarrow$ $\Vert f(x)\Vert$$<\varepsilon$. Soit encore: $\forall \varepsilon>0  \exists \eta>0 $ $\Vert{x \over \eta}\Vert$<$1 \Rightarrow$ $\Vert f({x \over \eta})\Vert$ $<{\varepsilon \over \eta}$ ce qui implique donc que si x$\in$$B(0,1)$ alors il existe un réél r tel que $\Vert f(x)\Vert$<r. Si $f$ est bornée sur la boule unité par un réél strictement positif x, pour tout élément x de E, ${x \over \Vert x\Vert}$ est élément de $B(0,1)$ et $f({x \over \Vert x\Vert})\leq m$. Autrement écrit, Si x $\in$ E, $f(x)\leq m \Vert x\Vert$ et f est bien Lipschitzienne. Si f est Lipschitzienne sur E, il est claire que f est continue. On a alors prouvé le théorème.
Proposition ${\cal L}_c$(E,F) a une structure de k-espace vectoriel.
Démonstration Il suffit de vérifier ${\cal L}_c$(E,F) est un sous espace vecoriel de ${\cal L}$(E,F). Mais sachant qu'une somme d'application continue est continue, que l'application nulle est élément de ${\cal L}_c$(E,F) et que la fonction produit d'un scalaire et d'une application continue est continue, on vérifie les axiomes qui font de ${\cal L}_c$(E,F) un sous espace vectoriel de ${\cal L}$(E,F).
Si $f \in {\cal L}_c$(E,F), on pose

\begin{displaymath}\vert\vert\vert f\vert\vert\vert=\sup_{\Vert x\Vert\leq 1}\Vert f(x)\Vert'.\end{displaymath}

Proposition $\vert\vert\vert  \vert\vert\vert$ est une norme sur ${\cal L}_c$(E,F).
Démonstration Comme les éléments de ${\cal L}_c$(E,F) sont bornés sur la sphère unité de E, il est claire que $\vert\vert\vert  \vert\vert\vert: {\cal L}_c(E,F)\longrightarrow {\rm I\!R }^+$. Si une application linéaire continue vérifie $\vert\vert\vert f\vert\vert\vert=0$ alors elle est nulle sur la boule unitée de E et donc, par homothétie, sur E tout entier. Réciproquement, l'application nulle vérifie $\vert\vert\vert\vert\vert\vert$=0. Les deux axiomes qui restent à vérifier pour montrer que $\vert\vert\vert f\vert\vert\vert$ est une norme sont validés grâce au fait, justement, que $\Vert \Vert$ est une norme sur E.
Conclusion (${\cal L}_c$(E,F),$\vert\vert\vert  \vert\vert\vert$) est un k-evn.
Proposition Si E est de dimension finie, alors toute application linéaire de E dans F est continue.
Démonstration Si E est de dimension finie, alors toutes les normes sont équivalentes sur E. Considérons alors une base $(e_i)_{\scriptsize {i =1..k}}$ de E et si x= $x_1 e_1+...+x_k e_k \in $E, la norme sur E $\Vert x\Vert$= $\vert x_1\vert+...\vert x_k\vert$. On a alors $\Vert f(x)\Vert$'= $\Vert x_1 f(e_1)+...+x_n f(e_n)\Vert$'$\leq \vert x_1\vert$$\Vert f(e_1)\Vert$'+...$\vert x_k\vert$$\Vert f(e_k)\Vert$'. Posons M= $sup \lbrace \Vert f(e_i)\Vert';i=1..k \rbrace$. Notre inégalité se réécrit:$\Vert f(x)\Vert$'$\leq$M$\Vert x\Vert$ ce qui prouve la continuité de $f$.
Terminons par une définition et un résultat supplémentaire à propos de (${\cal L}_c$(E,F),$\vert\vert\vert  \vert\vert\vert$):
Définition Un espace vectoriel normé complet pour la métrique associée à sa norme est appellé un espace de Banach.
Lemme Si $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est de Cauchy dans (${\cal L}_c$(E,F),$\vert\vert\vert  \vert\vert\vert$) alors $(\vert\vert\vert f_n\vert\vert\vert)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est bornée dans IR.
Définition Supposons que ce ne soit pas le cas. Alors pour tout n de IN, il existe $m_n$ dans INet $x_{m_n}$ dans la boule unité fermé de E tels que $\Vert f_{m_n}(x_{m_n})\Vert'>n$. Pour tout N dans INon peut alors trouver $m_k$ et $m_{k'}$ plus grands que N et tels que $\Vert f_{m_k}(x_{m_{k'}})\Vert'>1$. La suite $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ ne peut alors être de Cauchy. D'où le lemme par contradiction.
Proposition Si (F,$\Vert \Vert$') est un espace de Banach alors il en est de même pour (${\cal L}_c$(E,F),$\vert\vert\vert  \vert\vert\vert$).
Démonstration Soit $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ une suite de Cauchy de (${\cal L}_c$(E,F),$\vert\vert\vert  \vert\vert\vert$). Alors $\forall \varepsilon>0  \exists N  ; m,n>N \Rightarrow \vert\vert\vert f_n-f_m \vert\vert\vert.$ Mais si x est élément de E, on a $\Vert f_n(x)-f_m(x)\Vert$' $\leq \vert\vert\vert f_n-f_m \vert\vert\vert$$\Vert x\Vert$. Donc pour tout x de E, $(f_n(x))_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est de Cauchy. F étant complet pour sa norme, cette suite converge vers un élément $f$(x) de F. Cela nous permet de définir une application $f$ de E dans F.
Montrons que l'application $f$ est le bon candidat pour la limite de $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$. Tout d'abord , $f$ est linéaire: si x et y sont éléments de E, $\alpha$ et $\beta \in$ k alors:
$f(\alpha x+\beta y)=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(\alpha x+\beta y)}$=$\alpha$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)}$+$\beta$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(y)}$= $\alpha f(x)+\beta f(y)$. Cqfd.
Montrons aussi que $f$ est continue: si x$\in$$B_{f}(0,1)$$\subset$E alors:
$\Vert f(x)\Vert$'$\leq$ $\Vert f(x)-f_n(x)+f_n(x)\Vert$'$\leq$ $\Vert f(x)-f_n(x)\Vert$'+$\Vert f_n(x)\Vert$'$\leq$+ $\Vert f(x)-f_n(x)\Vert$+$\vert\vert\vert f_n\vert\vert\vert$.
Donc

\begin{displaymath}\displaystyle{\sup_{\Vert x\Vert \leq 1} \Vert f(x)\Vert' \le...
...}( \Vert f(x)-f_n(x)\Vert')+\vert\vert\vert f_n\vert\vert\vert}\end{displaymath}

La quantité sup $\lbrace$ $\Vert f(x)-f_n(x)\Vert$ ; $\Vert x\Vert \leq 1\rbrace$ tend vers 0 quand n tend vers l'infini et d'après le lemme, la suite $(\vert\vert\vert f_n\vert\vert\vert)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est bornée dans IR. Donc sup $\lbrace$ $\Vert f(x)\Vert$ ; $\Vert x\Vert \leq 1\rbrace$ est bornée et $f$ est continue sur E. Reste encore à montrer que $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge vers $f$ pour la norme $\vert\vert\vert  \vert\vert\vert$. Soit $\varepsilon>0$. Il existe N $\in$ INtel que si p,q>N alors $\vert\vert\vert f_p-f_q\vert\vert\vert<\varepsilon$. Fixons x dans E On a alors $\Vert f_p(x)-f_q(x)\Vert$' $\leq \vert\vert\vert f_p-f_q\vert\vert\vert$$\Vert x\Vert$ $\leq \varepsilon$$\Vert x\Vert$. Fixons p $\geq$ N et faisons tendre q vers l'infini. Cela donne: $\Vert f_p(x)-f(x)\Vert$' $\leq \varepsilon$$\Vert x\Vert$. Comme x est quelconque dans E, on peut écrire $\vert\vert\vert f_p-f\vert\vert\vert \leq \varepsilon$ pour p>N, ce qui nous assure de la convergence de $(f_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ vers $f$ pour la norme $\vert\vert\vert  \vert\vert\vert$.
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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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