Considérons un ensemble , c'est-à-dire une collection d'objets
appelés les ``éléments'', ou les ``points'', de . L'appartenance
d'un point à l'ensemble est notée , et
signifie
que le point n'appartient pas à .
Une partie de est aussi un ensemble, appelé sous-ensemble de : on
écrit
(on dit aussi que est ``inclus'' dans ) lorsque
est un sous-ensemble de .
Rappelons les opérations élémentaires sur les parties d'un ensemble:
Intersection: est l'intersection des ensembles
et , i.e. l'ensemble des points appartenant à la fois à et à
.
Réunion: est la réunion des ensembles
et , i.e. l'ensemble des points appartenant à au moins l'un de ces
deux ensembles.
Complémentaire: Si
, son complémentaire (dans )
est l'ensemble des points de n'appartenant pas à ; on le note ,
ou parfois
.
Différence symétrique: est l'ensemble des points
appartenant à l'un des deux ensembles ou , mais pas aux deux; on a
donc
.
Ensemble vide: C'est l'ensemble ne contenant aucun point; on le note
.
Ensembles disjoints: Les ensembles et sont dits disjoints si
.
La réunion et l'intersection sont des opérations commutatives et
associatives: on a
et
, et aussi
et
,
ensembles qu'on note naturellement
et
. Plus
généralement si on a une famille
d'ensembles, indexée
par un ensemble quelconque , on note
(resp.
) la réunion (resp. l'intersection) de cette famille, i.e.
l'ensemble des points appartenant à au moins l'un des (resp.
appartenant à tous les ): l'ordre d'indexation des n'a pas
d'importance.
Les ensembles suivants seront utilisés sans cesse:
= ensemble des entiers naturels:
= ensemble des entiers naturels non nuls:
= ensemble des entiers relatifs:
= ensemble des rationnels
= ensemble des réels =
= espace euclidien réel de dimension (donc
)
= ensemble des nombres complexes.
L'ensemble des points indexés par un ensemble est noté
. Si on a un nombre fini de points
, on écrit
aussi
.
On sera amené très souvent à faire des opérations faisant intervenir
(qu'on écrit souvent, de manière plus simple, ) ou
. Pour que ces opérations aient un sens précis, on fera toujours les conventions suivantes:
si
(1)
(2)
Les ensembles dénombrables:
on dit qu'un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec
, c'est-à-dire si on peut énumérer ses points en une suite
(ce qui implique notamment que
si ) :
c'est le cas de lui-même, ou de , de
, de
, ou encore des entiers pairs, ou de toute suite strictement
croissante d'entiers. Ce n'est pas le cas ni de , ni des intervalles
lorsque .
Voici quelques propriétés des ensembles dénombrables: d'abord, toute
partie d'un ensemble dénombrable est elle-même finie ou dénombrable.
La réunion d'une famille finie ou dénombrable d'ensembles
eux-mêmes finis ou dénombrables est un ensemble fini ou dénombrable.
En revanche si est n'est pas fini ou dénombrable, il en est de même de
pour tout
qui est fini ou dénombrable.
Quelques résultats utiles sur les séries: Rappelons enfin
quelques définitions et résultats sur les séries, notamment sur celles
à termes positifs. Soit
une suite numérique, et
la ``somme partielle'' à l'ordre .
(S1)
La série
est dite convergente si
converge vers une limite finie, notée aussi
(c'est
la ``somme'' de la série).
(S2)Si la série
converge, la suite tend vers 0. La réciproque est fausse: on peut avoir
sans que la série
converge.
(S3)La série
est dite absolument convergente si
la série
converge.
(S4)Si on a pour tout , la suite est croissante,
donc elle tend toujours vers une limite
. On écrit encore
, bien que la série converge au sens de (S1) si et seulement si
. Avec les conventions (1) ceci s'applique même si les
sont à valeurs dans
.
En général l'ordre dans lequel on considère les termes d'une série est
important. Il existe en effet de nombreux exemples de suites
et de bijections de dans lui-même pour lesquels
converge et
diverge, ou converge vers une somme différente.
Cela étant, il existe deux cas importants où l'ordre des termes n'a pas
d'importance:
(S5)Lorsque les sont des réels de signe quelconque et
lorsque la série est absolument convergente, on peut modifier de manière
arbitraire l'ordre des termes sans changer la propriété d'être
absolument convergente, ni la somme de la série.
(S6)Si
pour tout , la somme
(finie ou infinie: cf. (S4) ci-dessus) ne change pas si on change l'ordre de
sommation. Rappelons rapidement la démonstration de cette propriété, qui
est fondamentale pour les probabilités: soit une bijection de
dans lui-même,
et
; les
suites et sont croissantes, et on note et leur
limites respectives (dans
). Pour tout il existe un entier
tel que
dès que ; comme , on a donc
clairement
, donc en passant à la limite on obtient
. On montre de même que , donc .