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Rappels sur les ensembles

Considérons un ensemble $ E$, c'est-à-dire une collection d'objets appelés les ``éléments'', ou les ``points'', de $ E$. L'appartenance d'un point $ x$ à l'ensemble $ E$ est notée $ x\in E$, et $ x\in\!\!\!\!\!/ E$ signifie que le point $ x$ n'appartient pas à $ E$.

Une partie de $ E$ est aussi un ensemble, appelé sous-ensemble de $ E$: on écrit $ F\subset E$ (on dit aussi que $ F$ est ``inclus'' dans $ E$) lorsque $ F$ est un sous-ensemble de $ E$.

Rappelons les opérations élémentaires sur les parties d'un ensemble:

Intersection: $ A\cap B$ est l'intersection des ensembles $ A$ et $ B$, i.e. l'ensemble des points appartenant à la fois à $ A$ et à $ B$.

Réunion: $ A\cup B$ est la réunion des ensembles $ A$ et $ B$, i.e. l'ensemble des points appartenant à au moins l'un de ces deux ensembles.

Complémentaire: Si $ A\subset E$, son complémentaire (dans $ E$) est l'ensemble des points de $ E$ n'appartenant pas à $ A$; on le note $ A^c$, ou parfois $ E\backslash A$.

Différence symétrique: $ A\Delta B$ est l'ensemble des points appartenant à l'un des deux ensembles $ A$ ou $ B$, mais pas aux deux; on a donc $ A\Delta B=(A\backslash (A\cap B))\cup (B\backslash (A\cap B))$.

Ensemble vide: C'est l'ensemble ne contenant aucun point; on le note $ \emptyset $.

Ensembles disjoints: Les ensembles $ A$ et $ B$ sont dits disjoints si $ A\cap B=\emptyset $.

La réunion et l'intersection sont des opérations commutatives et associatives: on a $ A\cup B=B\cup A$ et $ A\cap B=B\cap A$, et aussi $ A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ et $ A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$, ensembles qu'on note naturellement $ A\cup B\cup C$ et $ A\cap B\cap C$. Plus généralement si on a une famille $ (A_i)_{i\in I}$ d'ensembles, indexée par un ensemble quelconque $ I$, on note $ \cup_{i\in I}A_i$ (resp. $ \cap_{i\in I}A_i$) la réunion (resp. l'intersection) de cette famille, i.e. l'ensemble des points appartenant à au moins l'un des $ A_i$ (resp. appartenant à tous les $ A_i$): l'ordre d'indexation des $ A_i$ n'a pas d'importance.

Les ensembles suivants seront utilisés sans cesse:

$ I\!\!N$ = ensemble des entiers naturels: $ 0,1,2,...$
$ I\!\!N^*$ = ensemble des entiers naturels non nuls: $ 1,2,...$
$ Z\!\!\!Z$ = ensemble des entiers relatifs: $ ...,-2,-1,0,1,2,...$
$ Q\!\!\!\!Q$ = ensemble des rationnels
$ I\!\!R$ = ensemble des réels = $ ]-\infty ,\infty [$
$ I\!\!R^d$ = espace euclidien réel de dimension $ d$ (donc $ I\!\!R^1=I\!\!R$)
$ \bar{I}\!\!\bar{R} = [-\infty ,\infty]$
$ I\!\!R_+ = [0,\infty [$
$ \bar{I}\!\!\bar{R}_+ = [0,\infty ]$
$ C\!\!\!\!C$ = ensemble des nombres complexes.
L'ensemble des points $ a_i$ indexés par un ensemble $ I$ est noté $ \{ a_i:i\in I\}$. Si on a un nombre fini de points $ a_1,...,a_n$, on écrit aussi $ \{ a_1,a_2,...,a_n\}$.

On sera amené très souvent à faire des opérations faisant intervenir $ +\infty$ (qu'on écrit souvent, de manière plus simple, $ \infty$) ou $ -\infty$. Pour que ces opérations aient un sens précis, on fera toujours les conventions suivantes:

$\displaystyle +\infty+\infty=+\infty,\quad -\infty-\infty=-\infty,\quad a+\infty=+\infty,\quad a-\infty=-\infty  $si$\displaystyle a\in I\!\!R,$ (1)

$\displaystyle 0\times\infty=0,\quad a\in]0,\infty]  \Rightarrow  a\times\infty=+\infty,\quad a\in[-\infty,0[  \Rightarrow a\times\infty=-\infty.$ (2)

Les ensembles dénombrables: on dit qu'un ensemble $ E$ est dénombrable s'il est en bijection avec $ I\!\!N$, c'est-à-dire si on peut énumérer ses points en une suite $ (x_n)_{n\in I\!\!N}$ (ce qui implique notamment que $ x_n\neq x_m$ si $ n\neq m$) : c'est le cas de $ I\!\!N$ lui-même, ou de $ I\!\!N^*$, de $ Z\!\!\!Z$, de $ Q\!\!\!\!Q$, ou encore des entiers pairs, ou de toute suite strictement croissante d'entiers. Ce n'est pas le cas ni de $ I\!\!R$, ni des intervalles $ [a,b]$ lorsque $ a<b$.

Voici quelques propriétés des ensembles dénombrables: d'abord, toute partie d'un ensemble dénombrable est elle-même finie ou dénombrable. La réunion d'une famille finie ou dénombrable d'ensembles eux-mêmes finis ou dénombrables est un ensemble fini ou dénombrable. En revanche si $ A$ est n'est pas fini ou dénombrable, il en est de même de $ A\backslash B$ pour tout $ B\subset A$ qui est fini ou dénombrable.

Quelques résultats utiles sur les séries: Rappelons enfin quelques définitions et résultats sur les séries, notamment sur celles à termes positifs. Soit $ (u_n)_{n\geq 1}$ une suite numérique, et $ S_n=u_1+...+u_n$ la ``somme partielle'' à l'ordre $ n$.

(S1) La série $ \sum_n u_n$ est dite convergente si $ S_n$ converge vers une limite finie $ S$, notée aussi $ S=\sum_n u_n$ (c'est la ``somme'' de la série).

(S2)Si la série $ \sum_n u_n$ converge, la suite $ (u_n)_{n\geq 1}$ tend vers 0. La réciproque est fausse: on peut avoir $ u_n\to 0$ sans que la série $ \sum_n u_n$ converge.

(S3)La série $ \sum_n u_n$ est dite absolument convergente si la série $ \sum_n \vert u_n\vert$ converge.

(S4)Si on a $ u_n\geq 0$ pour tout $ n$, la suite $ S_n$ est croissante, donc elle tend toujours vers une limite $ S\in\bar{I}\!\!\bar{R}_+$. On écrit encore $ S=\sum_n u_n$, bien que la série converge au sens de (S1) si et seulement si $ S<\infty$. Avec les conventions (1) ceci s'applique même si les $ u_n$ sont à valeurs dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}_+$.

En général l'ordre dans lequel on considère les termes d'une série est important. Il existe en effet de nombreux exemples de suites $ (u_n)_{n\geq 1}$ et de bijections $ v$ de $ I\!\!N^*$ dans lui-même pour lesquels $ \sum_n u_n$ converge et $ \sum_nu_{v(n)}$ diverge, ou converge vers une somme différente. Cela étant, il existe deux cas importants où l'ordre des termes n'a pas d'importance:

(S5)Lorsque les $ u_n$ sont des réels de signe quelconque et lorsque la série est absolument convergente, on peut modifier de manière arbitraire l'ordre des termes sans changer la propriété d'être absolument convergente, ni la somme de la série.

(S6)Si $ u_n\in\bar{I}\!\!\bar{R}_+$ pour tout $ n$, la somme $ \sum_n u_n$ (finie ou infinie: cf. (S4) ci-dessus) ne change pas si on change l'ordre de sommation. Rappelons rapidement la démonstration de cette propriété, qui est fondamentale pour les probabilités: soit $ v$ une bijection de $ I\!\!N^*$ dans lui-même, $ S_n=u_1+\ldots+u_n$ et $ S'_n=u_{v(1)}+\ldots+u_{v(n)}$; les suites $ (S_n)$ et $ (S'_n)$ sont croissantes, et on note $ S$ et $ S'$ leur limites respectives (dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}_+$). Pour tout $ n$ il existe un entier $ m(n)$ tel que $ v(i)\leq m(n)$ dès que $ i\leq n$; comme $ u_i\geq0$, on a donc clairement $ S'_n\leq S_{m(n)}\leq S$, donc en passant à la limite on obtient $ S'\leq S$. On montre de même que $ S\leq S'$, donc $ S=S'$.


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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