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Théorie de la mesure et théorie de l'intégration

La notion de mesure va étendre la notion usuelle de longueur pour les ensembles de $ I\!\!R$, ou de volume pour ceux de $ I\!\!R^d$, et ceci de deux manières: premièrement on veut pouvoir considérer des espaces de base plus généraux, ou plus ``abstraits'' (espaces de dimension infinie, espaces sur lesquels on définit les probabilités, etc...). Deuxièmement et surtout, on veut englober dans le même cadre mathématique d'une part les notions de longueurs, surface, volume, et d'autre part la notion de ``masses'' ou ``charges ponctuelles'' que l'on rencontre en mécanique ou en électricité, etc...

Prenons l'exemple de $ I\!\!R^3$, supposé représenter un corps matériel ayant une densité $ \rho (x)$ et une densité de charge électrique $ \varepsilon
(x)$ en chaque point $ x$. Pour une partie raisonnable (on verra ce que veut dire ``raisonnable'' plus loin: pour le moment, on peut penser à une sphère, ou à un polyèdre) $ A$ de $ I\!\!R^3$ on peut définir son volume $ V(A)$, sa masse $ M(A)=\int_A\rho (x)dx$ (intégrale de Riemann dans $ I\!\!R^3$), sa charge électrique $ E(A)=\int_A\varepsilon (x)dx$. Ces trois quantités ont a priori des propriétés ``physiques'' très différentes, mais elles partagent de manière évidente la propriété mathématique suivante (où $ \mu (A)$ désigne $ V(A)$, ou $ M(A)$, ou $ E(A)$):

(A) Additivité: On a $ \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$ dès que $ A$ et $ B$ sont disjoints. $ \Box$

Ainsi, chaque partie raisonnable $ A$ de $ I\!\!R^3$ a sa ``mesure'' (de volume, de masse, de charge) $ \mu (A)$ et la propriété (A) ci-dessus est satisfaite: quitte à remplacer $ I\!\!R^3$ par une ensemble $ E$ quelconque, on a là le contenu intuitif essentiel de la notion de mesure.

Malheureusement, la notion mathématique de mesure est un peu plus compliquée, pour deux raisons: d'abord, il faut définir ce qu'on entend par partie ``raisonnable'' de $ I\!\!R^3$ (ou plus généralement de l'espace de base $ E$ sur lequel on se place); par exemple les polyèdres, et bien d'autres parties plus compliquées, ont des volumes, mais on peut construire des parties dont la ``frontière'' est si complexe que la notion de volume n'existe pas pour elles. Ensuite, la propriété (A) se révèle insuffisante pour avoir de bonnes propriétés pour les mesures.

Passons maintenant à l'intégration. Supposons que l'espace de base soit $ E=[0,1]$.

Si $ f$ est une fonction réelle ``convenable'' sur $ E$, on sait qu'on peut définir son intégrale $ \int_0^1f(x)dx$ au sens de Riemann. Rappelons en deux mots cette construction: pour chaque subdivision $ \tau =\{
0=t_0<t_1<\ldots<t_k=1\}$ de $ [0,1]$ on pose

$\displaystyle I_+(f,\tau ) = \sum_{i=1}^k(t_i-t_{i-1})\sup (f(x):x\in [t_{i-1},t_i]),$

$\displaystyle I_-(f,\tau ) = \sum_{i=1}^k(t_i-t_{i-1})\inf (f(x):x\in [t_{i-1},t_i]).$

On a bien sûr $ I_-(f,\tau )\leq I_+(f,\tau )$, et la quantité $ \vert\tau \vert=
\sup (t_i-t_{i-1}:1\leq i\leq k)$ s'appelle le pas de la subdivision $ \tau$. On dit que $ f$ est Riemann-intégrable si, pour toute suite $ \tau_n$ de subdivisions dont les pas $ \vert\tau_n\vert$ tendent vers 0, la différence $ I_+(f,\tau_n)-I_-(f,\tau_n)$ tend vers 0. Dans ce cas $ I_+(f,\tau_n)$ et $ I_-(f,\tau_n)$ convergent vers une limite commune et indépendante de la suite $ \tau_n$, et cette limite est l'intégrale de Riemann $ \int_0^1f(x)dx$ de $ f$.

Cette notion d'intégrale semble à première vue assez naturelle, mais elle souffre de plusieurs inconvénients majeurs: d'abord, il est assez compliqué de décrire les fonctions Riemann-intégrables, et cette classe est plutôt petite comme on le verra ci-dessous; ensuite, elle s'étend assez facilement à $ I\!\!R^d$, mais pas aux espaces de dimension infinie; mais surtout, elle est liée de manière intrinsèque à une mesure particulière sur $ [0,1]$, à savoir la mesure de longueur, ou de Lebesgue comme elle sera appelée par la suite: en effet, si $ f$ est la fonction indicatrice du sous-intervalle $ A=[a,b]$ de $ [0,1]$ (i.e. $ f(x)=1$ quand $ x\in A$ et $ f(x)=0$ quand $ x\in\!\!\!\!\!/ A$), alors $ \int_0^1f(x)dx=b-a$ est la longueur $ \lambda (A)=b-a$ de $ A$.

La théorie de l'intégration (au sens de Lebesgue) a pour but de pallier ces inconvénients: on pourra intégrer une classe de fonctions faciles à décrire, qu'on appellera les fonctions mesurables, sur un espace a-priori quelconque $ E$, et par rapport à une mesure quelconque $ \mu$. Cette construction est en principe très simple: si $ f$ est l'indicatrice d'une partie $ A$ de $ E$ (donc $ f(x)=1$ si $ x\in A$ et $ f(x)=0$ si $ x\in\!\!\!\!\!/ A$), l'intégrale de $ f$ ``par rapport à $ \mu$'' est $ \int fd\mu =\mu (A)$. Puis, on ``prolonge'' cette intégrale à des fonctions plus générales par linéarité et continuité.

La construction de l'intégrale sera faite au chapitre 2, tandis que le reste de ce chapitre est consacré à la définition mathématique des mesures.


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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