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La classe des ensembles mesurables

Dans ce paragraphe, l'espace de base est un ensemble $ E$ quelconque. Comme on l'a mentionné ci-dessus dans le cas de la mesure ``volume'' sur $ E=I\!\!R^3$, on ne peut pas en général, pour des raisons mathématiques, définir la mesure de n'importe quelle partie de $ E$. Notre objectif ici est donc de définir la classe des parties de $ E$ dont on pourra définir la mesure.

1) Algèbres: Commençons par la notion la plus simple (mais mathématiquement insuffisante pour notre objectif):

Définition Une classe  $ \hbox{$\cal E$}$  de parties de $ E$ est appelée algèbre (ou algèbre de Boole) si elle vérifie les trois axiomes suivants:

(T1) $ E\in\hbox{$\cal E$}$,

(T2) $ A\in\hbox{$\cal E$} \Rightarrow A^c\in\hbox{$\cal E$}$   (``stabilité par passage au complémentaire''),

(T3) $ A,B\in\hbox{$\cal E$} \Rightarrow A\cup B\in\hbox{$\cal E$}$ (``stabilité par réunion'').

Si $ \hbox{$\cal E$}$ est une algèbre, les propriétés suivantes sont immédiates:

$\displaystyle \emptyset \in\hbox{$\cal E$}$    (par (T1) et (T2)). (3)

$\displaystyle A_1,...,A_n\in\hbox{$\cal E$}\quad\Rightarrow\quad A_1\cup ...\cup A_n\in\hbox{$\cal E$}$   (``stabilité par réunion finie''). (4)

$\displaystyle A_1,...,A_n\in\hbox{$\cal E$}\quad\Rightarrow\quad A_1\cap ...\cap A_n\in\hbox{$\cal E$}$   (``stabilité par intersection finie'')$\displaystyle .$ (5)

(([*]) s'obtient par récurrence à partir de (T3), et ([*]) s'obtient par (T2) et ([*]) puisque $ A_1\cap ...\cap
A_n=(A_1^c\cup ...\cup A_n^c)^c$).

Il y a beaucoup d'algèbres sur $ E$. La plus grosse est l'ensemble $ \hbox{$\cal P$}(E)$ de toutes les parties de $ E$. La plus petite est l'ensemble $ \{\emptyset ,E\}$ constituée des deux parties $ \emptyset $ et $ E$. Si $ A\subset E$, la plus petite algèbre contenant $ A$ est $ \{\emptyset ,A,A^c,E\}$. L'intersection d'une famille quelconque d'algèbres est encore une algèbre.

2) Tribus: On a besoin en fait d'une notion (plus restrictive) de classe de parties de $ E$:

Définition Une classe  $ \hbox{$\cal E$}$  de parties de $ E$ est appelée tribu (ou $ \sigma $-algèbre de Boole) si elle vérifie (T1), (T2) et l'axiome suivant:

(T4) $ A_1,A_2,...\in\hbox{$\cal E$} \Rightarrow \cup_{n\in I\!\!N^*}A_n\in\hbox{$\cal E$}$   (``stabilité par réunion dénombrable''). $ \Box$

Un élément de la tribu $ \hbox{$\cal E$}$ s'appelle un ensemble mesurable (la terminologie se rapporte au fait que les ``mesures'' introduites au paragraphe suivant sont définies pour les éléments d'une tribu, qui sont donc ``mesurables''); si on veut préciser la tribu, on dit que l'ensemble est `` $ \hbox{$\cal E$}$-mesurable'', ou ``mesurable par rapport à $ \hbox{$\cal E$}$''. Le couple $ (E,\hbox{$\cal E$})$ constitué d'un ensemble $ E$ et d'une tribu s'appelle un espace mesurable.

On a (T4) $ \Rightarrow$(T3) (prendre $ A_1=A$ et $ A_2=A_3=...=B$), donc toute tribu est une algèbre; en revanche il existe des algèbres qui ne sont pas des tribus (cf. ci-dessous).

Remarque: L'ensemble des propriétés (T1), (T2), (T3) (resp. (T1), (T2), (T4)) constitue ce qu'on appelle le système d'axiomes des algèbres (resp. des tribus). Il y a d'autres systèmes équivalents: si on pose

(T'1) $ \emptyset \in\hbox{$\cal E$}$,

(T'3) $ A,B\in\hbox{$\cal E$} \Rightarrow A\cap B\in\hbox{$\cal E$}$,

(T'4) $ A_1,A_2,...\in\hbox{$\cal E$} \Rightarrow \cap_{n\in I\!\!N^*}A_n\in\hbox{$\cal E$}$,

on a les équivalences

$\displaystyle (T1)+(T2)+(T3) \Leftrightarrow (T1)+(T2)+(T'3) \Leftrightarrow 
(T'1)+(T2)+(T3) \Leftrightarrow (T'1)+(T2)+(T'3),$

$\displaystyle (T1)+(T2)+(T4) \Leftrightarrow (T1)+(T2)+(T'4) \Leftrightarrow 
(T'1)+(T2)+(T4) \Leftrightarrow (T'1)+(T2)+(T'4)$

pour les algèbres et les tribus respectivement. $ \Box$

L'ensemble $ \hbox{$\cal P$}(E)$ est une tribu (la plus grosse possible), tandis que $ \{\emptyset ,E\}$ est la plus petite. Si $ A\subset E$, l'algèbre $ \{\emptyset ,A,A^c,E\}$ est une tribu. L'intersection d'une famille quelconque de tribus est encore une tribu, donc la définition suivante a un sens:

Définition La tribu engendrée par une classe de parties $ \hbox{$\cal A$}$ de $ E$ est la plus petite tribu contenant $ \hbox{$\cal A$}$ (= l'intersection de toutes les tribus contenant $ \hbox{$\cal A$}$; il y en a toujours au moins une, à savoir $ \hbox{$\cal P$}(E)$). On la note $ \sigma (\hbox{$\cal A$})$. $ \Box$

Exemples: 1) La tribu engendrée par $ \hbox{$\cal A$}=\{ A\}$ est $ \{\emptyset ,A,A^c,E\}$.

2) Soit $ (E_i)_{i\in I}$ une partition de $ E$ (i.e. les ensembles $ E_i$ sont deux-à-deux disjoints, et $ \cup_{i\in I}E_i=E$), indexée par un ensemble $ I$ fini ou dénombrable. La tribu engendrée par la classe $ \{
E_i:i\in I\}$ est l'ensemble des parties de la forme $ A=\cup_{\i\in J}E_i$, où $ J$ décrit l'ensemble des parties de $ I$ (avec la convention que $ A=\emptyset $ si $ J=\emptyset $). Si $ I=\{ 1,2\}$ et $ E_1=A$ et $ E_2=A^c$, on retrouve l'exemple 1. Si $ I$ est fini, cette tribu est aussi la plus petite algèbre contenant les $ A_i$. Si $ I$ est dénombrable et si les $ E_i$ sont tous non vides, cette tribu contient strictement la plus petite algèbre contenant les $ A_i$, qui peut être décrite ainsi: c'est l'ensemble des parties de la forme $ A=\cup_{\i\in J}E_i$, où $ J$ décrit l'ensemble des parties de $ I$ qui sont finies, ou de complémentaire fini: dans ce cas, cette algèbre n'est pas une tribu.

3) La tribu engendrée par la classe $ \hbox{$\cal A$}$ des singletons de $ E$, i.e. $ \hbox{$\cal A$}=\{\{ x\}:x\in E\}$, est l'ensemble des parties $ A$ de $ E$ qui sont finies ou dénombrables, ou qui sont de complémentaire $ A^c$ fini ou dénombrable. La plus petite algèbre contenant la classe $ \hbox{$\cal A$}$ est l'ensemble des parties $ A$ de $ E$ qui sont finies ou de complémentaire fini. Cet exemple peut être vu comme une extension de l'exemple précédent. $ \Box$

Bien entendu, on peut avoir $ \sigma (\hbox{$\cal A$})=\sigma (\hbox{$\cal B$})$ pour deux classes différentes $ \hbox{$\cal A$}$ et $ \hbox{$\cal B$}$: dans l'exemple 1 ci-dessus, on a $ \sigma (\{ A\}
)=\sigma (\{ A^c\} )$.

3) Quelques opérations sur les ensembles: On va introduire ci-dessous la notion de ``limite'' pour une suite $ (A_n)_{\geq1}$ de parties de $ E$.

Définition On dit qu'une suite $ (A_n)_{n\geq1}$ de parties de $ E$ converge (ou tend) vers la partie $ A$, et on écrit $ A_n\rightarrow A$, si pour tout $ x\in A$ (resp. $ x\in\!\!\!\!\!/ A$) on a $ x\in A_n$ (resp. $ x\in\!\!\!\!\!/ A_n$) pour tout $ n$ assez grand. En termes de quatificateurs, cela s'écrit:

$\displaystyle \forall x\in A,\quad\exists n_0,\quad\forall n\geq n_0,\quad
x\in A_n,$

$\displaystyle \forall x\in\!\!\!\!\!/ A,\quad\exists n_0,\quad\forall n\geq n_0,\quad
x\in\!\!\!\!\!/ A_n,\quad \Box$


Il est facile de vérifier que cette définition revient à dire que la suite des fonctions indicatrices $ (1_{A_n})_n$ converge simplement vers la fonction indicatrice $ 1_A$ (i.e., $ 1_{A_n}(x)\rightarrow 1_A(x)$ pour tout $ x\in E$.

Si la suite $ (A_n)_n$ est croissante (resp. décroissante), i.e. si $ A_n\subset A_{n+1}$ (resp. $ A_{n+1}\subset A_n$) pour tout $ n$, alors elle converge vers $ A=\cup_nA_n$ (resp. $ A=\cap_nA_n$); on dit aussi dans ce cas que $ (A_n)_n$ croit (resp. décroit) vers $ A$, et on écrit $ A_n\uparrow A$ ou $ A=\lim_n\uparrow A_n$ (resp. $ A_n\downarrow A$ ou $ A=\lim_n\downarrow A_n$).

Il existe évidemment des suites $ (A_n)_n$ de parties qui ne convergent pas. Mais dans tous les cas on peut poser:

Définition On appelle limite supérieure et limite inférieure de la suite $ (A_n)_n$ les ensembles suivants:

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} \limsup_n A_n = \lim_n\downarrow \cup_{m\g...
...\lim_n\uparrow \cap_{m\geq n}A_m = \cup_n\cap_{m\geq n}A_m. \end{array}\right\}$ (6)


On a une autre définition équivalente de ces ensembles:

$\displaystyle x\in\limsup_n A_n\quad\Leftrightarrow$   $\displaystyle \mbox{$x$  appartient \\lq a $A_n$ pour une infinit\'e d'indices $n$,}$ (7)

$\displaystyle x\in\liminf_n A_n\quad\Leftrightarrow$   $\displaystyle \mbox{$x$  appartient \\lq a $A_n$ pour tout $n$ sauf au plus un nombre fini.}$ (8)

Dire que la suite $ (A_n)_n$ converge revient à dire que $ \limsup_n
A_n=\liminf_n A_n$, et ce dernier ensemble est alors la limite des $ A_n$. Le lecteur vérifiera aisément que

$\displaystyle \limsup_n A_n = (\liminf_n A_n^c)^c,\qquad \liminf_n A_n = (\limsup_n A_n^c)^c.$ (9)

Enfin, étant donnés (T4), (T'4) et ([*]), il est immédiat de vérifier que si $ \hbox{$\cal E$}$ est une tribu,

$\displaystyle A_n\in\hbox{$\cal E$}\quad\Rightarrow\quad\limsup_n A_n\in\hbox{$\cal E$},\quad\liminf_n A_n\in\hbox{$\cal E$}.$ (10)

En particulier on a:

$\displaystyle A_n\in\hbox{$\cal E$}$   et$\displaystyle \quad A_n\rightarrow A\quad\Rightarrow\quad A\in\hbox{$\cal E$}.$ (11)

4) La tribu borélienne de $ I\!\!R$: La notion de tribu borélienne est liée à la structure ``topologique'' de l'ensemble de base. Comme la topologie n'est peut-être pas familière à tous les lecteurs nous allons essentiellement traiter le cas de $ I\!\!R^d$, en commençant par le cas plus simple (au moins sur le plan des notations) de $ I\!\!R$.

Etant donnée la structure relativement simple de cet ensemble, il existe plusieurs définitions équivalentes de la tribu borélienne de $ I\!\!R$, et nous donnons la plus élémentaire:

Définition    La tribu borélienne, ou tribu de Borel, de $ I\!\!R$ est la tribu engendrée par la classe des intervalles ouverts. On la note $ \hbox{$\cal R$}$, ou $ \hbox{$\cal B$}(I\!\!R)$. Un élément de cette tribu est appelé une partie borélienne, ou un borélien. $ \Box$

Voici quelques propriétés simples de cette tribu:

Proposition a) Tout intervalle ouvert, fermé, ou semi-ouvert, appartient à $ \hbox{$\cal R$}$. Il en est de même de toute réunion finie ou dénombrable d'intervalles (ouverts, fermés, ou semi-ouverts).

b) La tribu $ \hbox{$\cal R$}$ est aussi la tribu engendrée par l'une quelconque des quatre classes suivantes d'ensembles:

(i)  $ \hbox{$\cal J$}=\{ ]-\infty ,x]:x\in I\!\!R\}$,

(ii)  $ \hbox{$\cal J$}' =\{ ]-\infty ,x]:x\in Q\!\!\!\!Q\}$,

(iii)  $ \hbox{$\cal K$}=\{ ]-\infty ,x[:x\in I\!\!R\}$,

(iv)  $ \hbox{$\cal K$}' =\{ ]-\infty ,x[:x\in Q\!\!\!\!Q\}$.

a) On a $ ]a,b[\in\hbox{$\cal R$}$ par définition de $ \hbox{$\cal R$}$. Comme $ [a,b]=\cap_n
]a-{1\over n},b+{1\over n}[$ on a $ [a,b]\in\hbox{$\cal R$}$ par ([*]). De même $ [a,b[=\cap_n]a-{1\over n},b[$ et $ ]a,b]=\cap_n]a,b+{1\over n}[$, on voit que ces deux intervalles semi-ouverts sont boréliens. La dernière assertion de (a) découle de ([*]) et (T4).

b) Nous ne montrons ici que les égalités $ \sigma (\hbox{$\cal J$})=\sigma
(\hbox{$\cal J$}')=\hbox{$\cal R$}$, les deux autres se montrant de manière analogue. On a $ \hbox{$\cal J$}'\subset\hbox{$\cal J$}$, et $ \hbox{$\cal J$}\subset\hbox{$\cal R$}$ d'raprès (a). Il reste à montrer que $ \hbox{$\cal R$}\subset\sigma (\hbox{$\cal J$}')$, et pour cela il suffit de vérifier que tout intervalle ouvert $ ]a,b[$ avec $ a<b$ est dans $ \sigma (\hbox{$\cal J$}')$. Il existe deux suites de rationnels $ (a_n)_{n\geq1}$ et $ (b_n)_{n\geq1}$ telles que $ a<a_n<b_n<b$ et que $ a_n\downarrow a$ et $ b_n\uparrow b$. On a $ ]a_n,b_n]=]-\infty,b_n]\cap (]-\infty,a_n])^c$, donc $ ]a_n,b_n]\in\sigma (\hbox{$\cal J$}')$. On a aussi $ ]a,b[=\cup_n ]a_n,b_n]$, donc $ ]a,b[\in\sigma (\hbox{$\cal J$}' )$: le résultat est donc démontré. $ \Box$

Remarques: 1) La proposition 7 montre que la tribu $ \hbox{$\cal R$}$ est en fait engendrée par une classe dénombrable d'ensembles. Il est à noter que ce n'est pas le cas de toutes les tribus. Considérons par exemple la tribu $ \hbox{$\cal E$}$ de $ I\!\!R$ engendrée par la classe $ \hbox{$\cal A$}$ des singletons (cf. Exemple 3 ci-dessus). Comme un singleton est un intervalle fermé, il appartient à $ \hbox{$\cal R$}$, et par suite $ \hbox{$\cal E$}\subset\hbox{$\cal R$}$. Cependant la classe $ \hbox{$\cal A$}$ n'est pas dénombrable, et on peut d'ailleurs démontrer que $ \hbox{$\cal E$}$ n'est engendrée (en tant que tribu) par aucune classe dénombrable, et ceci bien que $ \hbox{$\cal E$}$ soit contenue dans $ \hbox{$\cal R$}$.

2) Il n'est pas possible de donner une description plus concrète ou ``constructive'' de $ \hbox{$\cal R$}$ que ci-dessus. Toutes les réunions finies ou dénombrables d'intervalles sont des boréliens, mais certains boréliens ne sont pas de cette forme. En fait, toutes les parties de $ I\!\!R$ qu'on rencontre dans la pratique sont des boréliens, et il faut un peu se fatiguer pour construire une partie de $ I\!\!R$ qui n'est pas borélienne: mais il en existe !

Examinons maintenant le cas de $ \bar{I}\!\!\bar{R}$, qui est tout-à-fait analogue à celui de $ I\!\!R$, à ceci près qu'on doit distinguer les intervalles $ ]-\infty,x]$ (semi-ouvert) et $ [-\infty,x]$ (fermé), et $ ]-\infty,x[$ (ouvert) et $ [-\infty,x[$ (semi-ouvert), et de même en $ +\infty$. Avec ces modifications triviales, la définition [*] reste valable, ainsi que la proposition [*] avec la même démonstration, à condition de remplacer $ ]-\infty,x]$ par $ [-\infty,x]$. On notera $ \bar{\hbox{$\cal R$})}$ la tribu borélienne de $ \bar{I}\!\!\bar{R}$.

La fin de ce paragraphe peut être omise. Elle a été rédigée en vue d'applications à des situations plus générales que celles de ce cours, mais qui se rencontrent parfois. En effet, la définition [*] de la tribu de Borel $ \hbox{$\cal R$}$ n'est pas la définition ``canonique''. Celle-ci repose sur la notion d'ouvert: on dit qu'une partie $ A$ de $ I\!\!R$ est un ouvert (ou une partie ouverte) si, pour tout $ x\in A$, il existe un $ \varepsilon >0$ tel qu'on ait l'inclusion $ ]x-\varepsilon ,x+\varepsilon [\subset
A$. Le complémentaire d'un ouvert est ce qu'on appelle un fermé, ou une partie fermée.

Les intervalles ouverts (resp. fermés) sont des ouverts (resp. des fermés); l'ensemble vide et $ I\!\!R$ lui-même sont des ouverts, et donc aussi des fermés, mais il n'existe pas d'autre partie de $ I\!\!R$ qui soit à la fois ouverte et fermée; les intervalles semi-ouverts $ [a,b[$ et $ ]a,b]$ ne sont ni ouverts ni fermés lorsque $ a,b\in I\!\!R$ et $ a<b$ (toutefois $ ]-\infty ,b]$ et $ [a,\infty [$ sont fermés). Une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert. Une intersection finie d'ouverts est un ouvert, mais une intersection infinie (dénombrable ou non) d'ouverts peut ne pas être un ouvert: par exemple l'intersection des intervalles ouverts $ ]-{1\over n},{1\over n}[$ est le fermé $ \{ 0\}$.

La structure des ouverts de $ I\!\!R$ est donc plutôt compliquée, et l'intérêt d'introduire une telle notion n'est peut-être pas évident a-priori. En fait elle offre la possibilité de définir de manière simple la convergence des suites: une suite de réels $ (x_n)_{n\geq1}$ converge vers une limite $ x$ si et seulement si pour tout ouvert $ A$ contenant $ x$, les $ x_n$ sont dans $ A$ pour tout $ n$ assez grand (en termes ``axiomatiques'': si et seulement si pour tout ouvert $ A$ contenant $ x$, il existe un entier $ N$ tel que $ n>N\Rightarrow x_n\in A$); par ailleurs, elle s'étend à des espaces plus abstraits que $ I\!\!R$. On a alors le résultat suivant:

Proposition a) Tout ouvert non vide $ A$ de $ I\!\!R$ est réunion dénombrable d'intervalles ouverts, et aussi réunion dénombrable d'intervalles fermés.

b) La tribu borélienne $ \hbox{$\cal R$}$ est la tribu engendrée par la classe des ouverts, et aussi la tribu engendrée par la classe des fermés.

a) Soit $ A$ un ouvert non vide. Soit $ \hbox{$\cal A$}$ (resp. $ \hbox{$\cal B$}$) la famille des intervalles $ ]a,b[$ (resp. $ [a,b]$) qui sont contenus dans $ A$ et qui sont d'extrémités $ a$ et $ b$ dans l'ensemble des rationnels $ Q\!\!\!\!Q$. L'ensemble de ces intervalles est dénombrable. Si par ailleurs $ x\in A$ il existe $ \varepsilon >0$ avec $ ]x-\varepsilon ,x+\varepsilon [\subset
A$, donc il existe deux rationnels $ a,b$ avec $ x-\varepsilon <a<x<b<x+\varepsilon $, donc $ ]a,b[\subset [a,b]\subset A$: donc $ x$ est dans l'un des éléments au moins de chacune des classes $ \hbox{$\cal A$}$ et $ \hbox{$\cal B$}$. Il s'ensuit que $ A$ est la réunion des intervalles appartenant à $ \hbox{$\cal A$}$ (resp. à $ \hbox{$\cal B$}$).

b) D'une part tout ouvert est réunion dénombrable d'intervalles ouverts, donc est dans $ \hbox{$\cal R$}$ par (T4): donc la tribu engendrée par les ouverts est contenue dans $ \hbox{$\cal R$}$. A l'inverse, les intervalles ouverts sont des ouverts, donc $ \hbox{$\cal R$}$ est contenue dans la tribu engendrée par les ouverts: cela démontre la première partie de (b). Comme un ensemble est fermé si et seulement si c'est le complémentaire d'un ouvert, (T2) montre que la tribu engendrée par la classe des ouverts et celle engendrée par la classe des fermés sont identiques. $ \Box$

C'est en fait la propriété (b) ci-dessus qui fournit la définition habituelle de la tribu borélienne. On dit qu'un ensemble $ E$ est un espace topologique s'il est muni d'une classe $ \hbox{$\cal A$}$ d'ensembles (les ouverts) stable par intersection finie et par réunion quelconque, contenant $ \emptyset $ et $ E$. Les fermés sont par définition les complémentaires des ouverts, et on pose:

Définition Si $ E$ est un espace topologique, la tribu borélienne de $ E$, notée $ \hbox{$\cal B$}(E)$, est la tribu engendrée par la classe des parties ouvertes de $ E$ (comme les fermés de $ E$ sont les complémentaires des ouverts, $ \hbox{$\cal B$}(E)$ est aussi la tribu engendrée par la classe des fermés de $ E$). Un élément de la tribu borélienne est aussi appelé une partie borélienne, ou un borélien, de $ E$$ \Box$

5) La tribu borélienne de $ I\!\!R^d$: On va maintenant examiner le cas de $ I\!\!R^d$. Rappelons que si les $ A_i$ sont des parties de $ I\!\!R$, leur ``produit'' $ \prod_{i=1}^dA_i$ est la partie de $ I\!\!R^d$ constituée des points (ou ``vecteurs'') $ x$ dont les ``coordonnées'' $ x_i$ sont contenues dans les $ A_i$. Donnons d'abord la définition ``naïve'' des boréliens de $ I\!\!R^d$, analogue à la définition [*]:

Définition La tribu borélienne $ \hbox{$\cal R$}^d$, ou $ \hbox{$\cal B$}(I\!\!R^d)$, de $ I\!\!R^d$ est la tribu engendrée par la classe des ``rectangles ouverts'' $ \prod_{i=1}^d]a_i,b_i[$. Attention à la notation (usuelle) $ \hbox{$\cal R$}^d$: la tribu borélienne de $ I\!\!R^d$ n'est pas, comme on le varre plus tard, le $ d^{\mbox{\small\\lq eme}}$ puissance cartésienne de la tribu $ \hbox{$\cal R$}$ de $ I\!\!R$.

Une démonstration analogue à celle de la proposition [*]-b donne:

$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \mbox{La tribu $\hbox{$\cal R$}^d$ est l...
... $\prod_{i=1}^d]-\infty,x_i]$, avec les $x_i$ rationnels.} \end{array}\right\}$ (12)

Si on veut maintenant utiliser la définition [*], il convient d'abord de définir les ouverts de $ I\!\!R^d$. Une partie $ A$ est dite ouverte si pour tout $ x\in A$ il existe $ \varepsilon >0$ tel que tous les points $ y$ situés à une distance inférieure à $ \varepsilon $ de $ x$ sont dans $ A$ (la distance est ici la distance euclidienne usuelle). Là encore, une suite $ (x_n)_{n\geq1}$ converge vers une limite $ x$ dans $ I\!\!R^d$ si et seulement si pour tout ouvert $ A$ contenant $ x$, on a $ x_n\in A$ pour tout $ n$ assez grand.

Proposition La tribu $ \hbox{$\cal R$}^d$ est la tribu engendrée par les ouverts de $ I\!\!R^d$, et aussi celle engendrée par les boules ouvertes de $ I\!\!R^d$ (on appelle boule ouverte de centre $ x$ et de rayon $ a>0$ l'ensemble des $ y\in I\!\!R^d$ qui sont à une distance strictement inférieure à $ a$ de $ x$).

Soit $ \hbox{$\cal A$}$ et $ \hbox{$\cal B$}$ les tribus engendrées par les ouverts, et par les boules ouvertes, respectivement. Toute boule ouverte étant un ouvert, on a $ \hbox{$\cal B$}\subset\hbox{$\cal A$}$.

Exactement comme dans la proposition [*], un ouvert $ A$ est la réunion (dénombrable) de toutes les boules ouvertes contenues dans $ A$, dont le rayon $ a$ est rationnel et dont le centre $ x$ a des coordonnées qui sont rationnelles: cela implique que $ \hbox{$\cal A$}\subset\hbox{$\cal B$}$, donc $ \hbox{$\cal B$}=\hbox{$\cal A$}$.

Par ailleurs on voit qu'un rectangle ouvert est un ouvert (vérification immédiate), de sorte que $ \hbox{$\cal R$}^d\subset\hbox{$\cal B$}$. Enfin, il est facile de vérifier qu'une boule ouverte $ B$ est la réunion (dénombrable) de tous les rectangles ouverts $ \prod_{i=1}^d]a_i,b_i[$ qui sont contenus dans $ B$ et tels que les $ a_i$ et $ b_i$ sont des rationnels: cela implique que $ \hbox{$\cal B$}\subset\hbox{$\cal R$}^d$, donc finalement $ \hbox{$\cal B$}=\hbox{$\cal R$}^d$. $ \Box$


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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