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Les mesures

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Les mesures

Nous allons maintenant donner un sens mathématique précis à la notion de mesure. Dans tout ce paragraphe, l'espace de base est fixé et muni d'une tribu $\hbox{$\cal E$}$ également fixée (on dit parfois que le couple $(E,\hbox{$\cal E$})$ est un espace mesurable, ce qui exprime bien qu'on a les ingrédients nécessaire à la construction des mesures).

Définition Une mesure sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ est une application $\mu$ de $\hbox{$\cal E$}$ dans $\bar{I}\!\!\bar{R}_+=[0,\infty ]$ , vérifiant ``l'axiome de $\sigma$ -additivité'' suivant:

(SA) $\sigma$ -additivité: $\mu(\cup_{n\in I\!\!N^*}A_n) = \sum_{n\in I\!\!N^*}\mu (A_n)$ pour toute suite ( $A_n)_{n\geq1}$ d'éléments de $\hbox{$\cal E$}$ qui sont deux-à-deux disjoints (i.e. $A_n\cap A_m=\emptyset$ si $n\neq m$ ),

ainsi que l'axiome suivant:

(O) $\mu (\emptyset )=0$ .

La mesure $\mu$ est dite finie, ou de masse totale finie, si $\mu (E)<\infty$ . $\Box$

Une mesure est donc une application sur la tribu $\hbox{$\cal E$}$ ; mais par abus de langage la quantité $\mu (A)$ pour un $A\in\hbox{$\cal E$}$ s'appelle la ``mesure de l'ensemble '' (ou parfois: la ``valeur de $\mu$ sur '')

Dans l'axiome de $\sigma$ -additivité (SA), la réunion $\cup_n A_n$ ne dépend pas de l'ordre par lequel on numérote les ; grâce à la propriété (S6), la somme $\sum_n\mu (A_n)$ ne dépend pas non plus de l'ordre de sommation !

On verra plus loin que les propriétés (SA) et (O) impliquent la propriété d'additivité (A), ce qui n'est pas complètement évident a-priori. Une application de $\hbox{$\cal E$}$ dans $\bar{I}\!\!\bar{R}_+$ qui vérifie seulement (A) s'appelle une mesure additive, bien que ce ne soit pas nécessairement une mesure ! Intuitivement parlant, la notion de mesure additive est plus naturelle que celle de mesure, que ce soit pour les mesures ``de volume'', ``de masse'', etc... évoquées plus haut, ou dans le cadre de la théorie des probabilités. Mais elle a un défaut rédhibitoire: la classe des mesures additives a une structure mathématique extrêmement pauvre, ne permettant en particulier pas de définir une notion satisfaisante d'intégrale par rapport à ces mesures additives. On est donc conduit à utiliser les mesures au sens de la définition ; et c'est la forme de l'axiome de $\sigma$ -additivité (SA) qui nous oblige à considérer comme classe d'ensembles ``mesurables'' une tribu au lieu de la notion plus simple d'algèbre.

Le fait que $\mu (A)\geq 0$ pour tout est une restriction propre à ce cours: il conviendrait d'appeler la notion définie ci-dessus une mesure positive, mais pour des raisons de simplicité nous ne le ferons pas en général.

Le fait que $\mu (A)$ puisse être infini pour certains est indispensable pour les applications. Par exemple si $E=I\!\!R$ et si $\mu$ représente la mesure de longueur, $\mu(I\!\!R)$ (qui est la ``longueur totale'' de $I\!\!R$ ) vaut $+\infty$ .

Exemples:

1)

La mesure nulle est celle qui vaut $\mu (A)=0$ pour tout $A\in\hbox{$\cal E$}$ : (0) et la $\sigma$ -additivité (SA) sont évidemment vérifiés.

2)

La mesure infinie est celle qui vaut $\mu (A)=+\infty$ pour tout $A\in\hbox{$\cal E$}$ qui n'est pas vide, et $\mu (\emptyset )=0$ : (SA) et (O) sont évidemment vérifiés.

3)

La mesure de Dirac en un point

: c'est la mesure notée $\varepsilon _x$ , qui vaut

$\displaystyle \varepsilon _x(A) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad\hbox{si} x\in A [3mm] 0\quad\hbox{si} x\in\!\!\!\!\!/ A.\end{array} \right.$

(13)

Là encore (SA) et (O) sont évidemment vérifiés. Si $E=I\!\!R^3$ , la mesure $\varepsilon _a$ peut être interprétée comme la ``mesure de masse'' associée à la masse ``ponctuelle'' au point

, au sens de la mécanique rationnelle.

4)

La mesure de comptage est celle pour laquelle $\mu (A)$ est le nombre de points de l'ensemble

. $\Box$

Tous ces exemples sont élémentaires, dans le sens où la vérification de (SA) est évidente. D'ailleurs, ces mesures sont définies sur une tribu quelconque, et en particulier sur la tribu $\hbox{$\cal P$}(E)$ de toutes les parties de (et ceci, quel que soit l'espace ). Nous énoncerons plus bas des résultats d'existence de mesures plus complexes (et plus utiles), notamment pour la mesure de Lebesgue (mesure de longueur sur $I\!\!R$ , ou de volume sur $I\!\!R^d$ ). Mais auparavant nous donnons quelques propriétés simples des mesures.

Proposition Toute mesure $\mu$ sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ vérifie l'additivité (A), ainsi que les propriétés suivantes (ci-dessous on a dans $\hbox{$\cal E$}$ ):

$\displaystyle \mu (A_1\cup\ldots\cup A_n)=\mu (A_1)+\ldots+\mu (A_n)$ $\displaystyle \mbox{ si les $A_1,..,A_n$ sont deux-\\lq a-deux disjoints,}$

(14)

$\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B),$

(15)

$\displaystyle A\subset B\quad\Rightarrow\quad\mu (A)\leq\mu (B).$

(16)

En particulier, () implique (A). Remarquer l'écriture de (): on ne peut pas en général écrire $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B)$ , puisque dans le second membre il se peut que tous les termes soient infinis, et que $\infty -\infty$ n'a pas de sens; en revanche $+\infty +\infty$ ``vaut'' naturellement $+\infty$ , de sorte que () a bien un sens dans tous les cas.

() se déduit immédiatement de (0) et de (SA) appliqué à la suite ,..., , $B_{n+1}=\emptyset$ , $B_{n+2}=\emptyset$ ,...

Pour () on pose $C=A\cap B$ , $A'=A\backslash C$ at $B'=B\backslash C$ . On remarque que $A\cup B=A'\cup C\cup B'$ , $A=A'\cup C$ et $B=B'\cup C$ , tandis que les trois ensembles sont deux-à-deux disjoints. Par suite () implique

$\displaystyle \mu (A\cup B) = \mu (A')+\mu (C)+\mu (B'),$

$\displaystyle \mu (A) = \mu (A')+\mu (C),$

$\displaystyle \mu (B) = \mu (B')+\mu (C).$

En additionnant ces trois égalités membre à membre, on obtient (

Enfin, si $A\subset B$ , en posant $A'=B\backslash A$ on a $\mu (B)=\mu (A)+\mu (A')$ par (), et comme $\mu (A')\geq 0$ on obtient (). $\Box$

Les mesures possèdent également des propriétés de ``continuité'' pour les suites d'ensembles, que nous énonçons ci-dessous:

Théorème Soit $\mu$ une mesure sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ .

a) Pour toute suite croissante $(A_n)_{n\geq1}$ d'éléments de $\hbox{$\cal E$}$ , $\mu (\lim_n \uparrow A_n)=\lim_n\uparrow\mu (A_n)$ .

b) Si $(A_n)_{n\geq1}$ est une suite d'éléments de $\hbox{$\cal E$}$ convergeant vers une limite (au sens de la définition 4), et s'il existe un $B\in\hbox{$\cal E$}$ tel que $A_n\subset B$ pour tout et $\mu (B)<\infty$ , alors $\mu (A_n)\rightarrow \mu (A)$ .

L'assertion (b) ci-dessus est une version préliminaire d'un théorème plus général, fondamental dans la théorie de l'intégration, qu'on appelle le théorème de convergence dominée de Lebesgue. Ce résultat est en général faux sans l'hypothèse que les sont contenus dans un ensemble de mesure finie, comme le montre le contre-exemple suivant: soit $\mu$ la mesure de comptage sur , et soit ; on a $\mu (A_n)=\infty$ puisqu'il y a une infinité de points dans ; cependant, décroît vers l'ensemble vide $A=\emptyset$ , de sorte que $\mu (A_n)$ ne converge pas vers $\mu (A)$ .

a) Posons $A_0=\emptyset$ et $B_n=A_n\backslash A_{n-1}$ pour $n\geq 1$ . Les ensembles sont deux-à-deux disjoints, et on a $A_n=B_1\cup ...\cup B_n$ , ainsi que $A=\cup_{n\geq 1}B_n$ si désigne la limite croissante des . () entraine $\mu(A_n)=\mu(B_1)+\dots+\mu (B_n)$ , tandis que (SA) entraine $\mu (A)=\sum_{n\geq 1}\mu (B_n)$ . Par définition de la somme (éventuellement infinie) d'une série à termes positifs, on en déduit que $\mu (A)$ est la limite (évidemment croissante) des sommes partielles $\mu (A_n)$ .

b) Supposons maintenant que $A_n\rightarrow A$ et que $A_n\subset B$ pour tout , avec $\mu (B)<\infty$ . Si la suite est croissante, le résultat a été obtenu dans (a). Supposons ensuite que soit décroissante. Si $C_n=A_1\backslash A_n$ , la suite est clairement croissante, et sa limite est $C=A_1\backslash A$ , donc $\mu (C_n)\uparrow\mu (A_1\backslash A)$ ; Mais $\mu (A_n)=\mu (A_1)-\mu (C_n)$ et $\mu (A)=\mu (A_1)-\mu (C)$ par (): remarquer que les mesures de , , , sont toutes finies, puisque ces ensembles sont contenus dans par hypothèses; on en déduit que $\mu (A_n)\downarrow\mu (A).$

Passons au cas général. Soit $C_n=\cup_{m:m\geq n}A_m$ and $D_n=\cap_{m:m\geq n}A_m$ . On a $D_n\subset A_n\subset C_n\subset B$ , et les suites et sont respectivement décroissante et croissante, et convergent vers les limites $C=\limsup_nA_n$ et $D=\liminf_nA_n$ (cf. ()); de plus comme $A_n\rightarrow A$ , on a . Les résultats précédents impliquent $\mu (C_n)\downarrow\mu (A)$ et $\mu (D_n)\uparrow \mu (A)$ . Comme $\mu (D_n)\leq\mu (A_n)\leq\mu (C_n)$ , il s'ensuit que $\mu (A_n)\rightarrow \mu (A). \Box$

Proposition Soit $\mu$ une mesure sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ et $(A_n)_{n\geq1}$ une suite d'éléments de $\hbox{$\cal E$}$ . On a alors

$\displaystyle \mu (\cup_n A_n) \leq \sum_n\mu (A_n).$

(17)

Soit $B_n=A_1\cup ...\cup A_n$ , et $C_n=B_n \backslash B_{n-1}$ si $n\geq 2$ . Comme $C_i\subset A_i$ on a $\mu (C_i)\leq \mu (A_i)$ . Par ailleurs les sont deux-à-deux disjoints et $\cup_n C_n=\cup_n A_n$ , donc $\mu (\cup_n A_n)=\mu (\cup_n C_n)=\sum_n\mu (C_n)$ par (SA), donc () est immédiat. $\Box$

Il existe trois opérations simples sur les mesures:

La restriction d'une mesure: Si $\mu$ est une mesure sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ et si $B\in\hbox{$\cal E$}$ , la formule $\mu_B(A)=\mu (A\cap B)$ pour tout $A\in\hbox{$\cal E$}$ définit une nouvelle mesure $\mu_B$ (comme $B\cap (\cup_nA_n)= \cup_n(B\cap A_n)$ , $\mu_B$ vérifie clairement (SA), et aussi (O)).

L'addition de deux mesures: si $\mu$ et $\nu$ sont deux mesures sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ , la formule $\eta (A)=\mu (A)+\nu (A)$ pour tout $A\in\hbox{$\cal E$}$ définit une nouvelle mesure $\eta$ , notée $\eta =\mu +\nu$ .

La multiplication par un réel positif: si $\mu$ est une mesure sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ et si $a\in I\!\!R_+$ , la formule $\nu (A)=a\mu (A)$ pour tout $A\in\hbox{$\cal E$}$ définit une nouvelle mesure, notée $\nu =a\mu$ (avec la convention $0\times\infty =0$ , on a le même résultat si $a=+\infty$ ).

L'addition des mesures est évidemment commutative et associative. On a aussi $a(b\mu )=(ab)\mu$ , et la distributivité: $a\mu +a\nu =a(\mu +\nu )$ .

Proposition Soit $(\mu_n)_{n\geq1}$ une suite de mesures sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ .

a) Si la suite $(\mu_n)_n$ est croissante, ce qui signifie que $\mu_n(A)\leq\mu_{n+1}(A)$ pour tout et tout $A\in\hbox{$\cal E$}$ , la formule $\mu (A)=\lim_n\uparrow\mu_n(A)$ pour tout $A\in\hbox{$\cal E$}$ définit une nouvelle mesure appelée la limite croissante des $\mu_n$ .

b) La formule $\nu (A)=\sum_n\mu_n (A)$ pour tout $A\in\hbox{$\cal E$}$ définit une nouvelle mesure, notée $\nu =\sum_n\mu_n$ .

a) On a clairement $\mu (\emptyset )=0$ . Il reste donc à montrer que $\mu$ vérifie (SA). Pour cela, il suffit de prouver que si est une suite d'éléments deux à deux disjoints de $\hbox{$\cal E$}$ , si $A=\cup_nA_n$ et si $a=\sum_n\mu (A_n)$ , alors $\mu (A)=a$ .

On a $\mu_n(A)\geq\mu_n(A_1)+...+\mu_n(A_p)$ pour tout entier, et en passant à la limite en on obtient $\mu (A)\geq\mu (A_1)+...+\mu (A_p)$ . Comme ceci est vrai pour tout , on a aussi $\mu (A)\geq a$ .

Si $a=+\infty$ , on en déduit que $\mu (A)=a$ . Si maintenant $a<\infty$ , pour tout $\varepsilon >0$ il existe tel que $\sum_{i:i>p}\mu (A_i) \leq \varepsilon$ . Comme $\mu_n(A_i)\leq\mu (A_i)$ on a aussi $\sum_{i:i>p}\mu_n(A_i) \leq \varepsilon$ pour tout , ce qui entraîne $\mu_n(A)\leq\mu_n(A_1)+...+\mu_n(A_p) +\varepsilon$ par (SA) appliqué à $\mu_n$ . En passant à la limite en dans cette inégalité, on trouve $\mu (A)\leq \mu (A_1)+...+\mu (A_p)+\varepsilon$ ; donc $\mu (A)\leq a+\varepsilon$ , et comme cette inégalité est valide pour tout $\varepsilon >0$ on a en fait $\mu (A)\leq a$ . Par suite $\mu (A)=a$ .

b) Si $\nu_n=\mu_1+...+\mu_n$ (se rappeler l'associativité de l'addition des mesures), on obtient une suite croissante $(\nu_n)_n$ de mesures, et $\nu (A)=\lim_n\uparrow\nu_n(A)$ pour tout $A\in\hbox{$\cal E$}$ : il suffit alors d'appliquer (a) pour obtenir le résultat. $\Box$

Parmi toutes les mesures, les seules qu'on sache vraiment étudier sont les mesures finies (i.e. telles que $\mu (E)<\infty$ ), et les suivantes:

Définition Une mesure $\mu$ sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ est dite $\sigma$ -finie s'il existe une suite croissante $(E_n)_{n\geq1}$ d'éléments de $\hbox{$\cal E$}$ dont la limite est , et telle que $\mu (E_n)<\infty$ pour tout . $\Box$

Ces mesures sont limites croissantes (au sens de la proposition -a) de mesures finies, à savoir des restrictions $\mu_{E_n}$ de $\mu$ à chaque . On peut aussi les considérer comme des sommes infinies (au sens de la proposition -b) de mesures finies, à savoir les restrictions $\mu_{E'_n}$ de $\mu$ à chaque ensemble $E'_n=E_n\backslash E_{n-1}$ (avec la convention $E_0=\emptyset$ ).

Noter qu'il existe des mesures qui ne sont pas $\sigma$ -finies: la mesure infinie (exemple 2 ci-dessus), ou la mesure de comptage sur lorsque n'est pas fini ou dénombrable (cette dernière mesure est finie si est fini, et $\sigma$ -finie si est dénombrable).

Enfin, on peut ``normaliser'' une mesure finie non nulle $\mu$ en la multipliant par la constante $a=1/\mu (E)$ . La nouvelle mesure $\nu =a\mu$ vérifie $\nu (E)=1$ . Ainsi, l'étude des mesures $\sigma$ -finies se ramène, pour beaucoup de leurs propriétés, à celle des mesures de masse totale , qui portent un nom spécial: