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La mesure de Lebesgue

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La mesure de Lebesgue

Dans ce paragraphe nous définissons la mesure qui est de loin la plus importante en analyse (et en probabilités), qui est la mesure de Lebesgue (mesurant la ``longueur'' dans le cas de $I\!\!R$ , la ``surface'' dans $I\!\!R^2$ , le ``volume'' dans $I\!\!R^3$ , etc...)

Nous commençons par le cas de $I\!\!R$ , qu'on munit de la tribu borélienne $\hbox{$\cal R$}$ . On connait bien-sûr la longueur des intervalles:

$\displaystyle \lambda (A) = b-a$ si $\displaystyle A=[a,b],$ ou $\displaystyle A=[a,b[,$ ou $\displaystyle A=]a,b],$ ou $\displaystyle A=]a,b[.$

(18)

Cette propriété est compatible avec (SA), au sens ou $\lambda (A)=\sum\lambda (A_n)$ dès que les

sont des intervalles deux-à-deux disjoints dont la réunion

est encore un intervalle (cette propriété est assez facile à vérifier, mais pas complètement évidente sauf dans le cas où on peut numéroter les

de sorte que

soit à gauche de $A_{n+1}$ pour tout

, ou bien à droite de $A_{n+1}$ pour tout

; mais il y a des cas où aucune de ces deux propriétés n'est vérifiée).

La question qui se pose est donc la suivante: existe-t-il une (plusieurs) mesure(s) sur les boréliens de $I\!\!R$ qui vérifie(nt) () ? La réponse est donnée par le théorème suivant:

Théorème Il existe une mesure $\lambda$ et une seule sur $(I\!\!R,\hbox{$\cal R$})$ qui vérifie (), et qu'on appelle la mesure de Lebesgue.

Ce résultat est difficile, et pour le moment nous l'admettrons. Il contient en fait deux résultats de nature différente. D'abord il y a l'existence de $\lambda$ (qu'on appelle le théorème de prolongement): on connaît $\lambda$ sur la classe $\hbox{$\cal A$}$ des intervalles; cette classe engendre la tribu borélienne (cf. proposition ), et on peut ``prolonger'' $\lambda$ à la tribu $\hbox{$\cal R$}$ , de façon à obtenir une mesure (c'est la partie la plus difficile du théorème; la difficulté tient au fait qu'on ne sait pas décrire de manière ``concrète'' les boréliens). Ensuite, il y a un résultat d'unicité, qui sera démontré plus loin et qui est beaucoup plus facile.

En fait, la tribu $\hbox{$\cal R$}$ n'est pas tout à fait la plus grande possible sur laquelle on puisse définir la mesure de Lebesgue: ce qui veut dire que le prolongement dont il est question ci-dessus peut se faire sur une tribu $\hbox{$\cal R$}'$ plus grande que $\hbox{$\cal R$}$ (qu'on appellera plus loin la ``complétée'' de $\hbox{$\cal R$}$ ). Mais il est remarquable que la mesure de Lebesgue ne puisse pas se prolonger à la tribu $\hbox{$\cal P$}(I\!\!R)$ de toutes les parties de $I\!\!R$ : il n'existe pas de mesure sur $\hbox{$\cal P$}(I\!\!R)$ vérifiant ().

Voici quelques propriétés simples de la mesure de Lebesgue:

a): La mesure (ou ``longueur'') des singletons est $\lambda (\{ a\} )=0$ (appliquer () avec ).
b): Tout ensemble fini ou dénombrable est borélien, de mesure $\lambda (A)=0$ : on peut écrire en effet $A=\cup_{n\geq1}\{ a_n\}$ , où les sont les points de (qu'on peut toujours énumérer en une ``suite'' finie ou infinie). Il suffit alors d'appliquer (T4) et (SA) pour obtenir les résultats.
c): Un intervalle peut également s'écrire comme la réunion des singletons $\{ x\}$ pour $x\in A$ . Cependant on n'a pas $\lambda (A)=\sum_{x\in A}\lambda (\{ x\} )$ (en d'autres termes, la propriété (SA) ne s'étend pas à des familles non dénombrables d'ensembles): en effet $\lambda (A)>0$ , tandis que tous les termes de la somme de droite sont nuls, donc la seule valeur qu'on puisse raisonnablement donner à cette somme est 0 (une autre raison plus fondamentale est en fait que la somme d'une infinité non dénombrable de termes n'a a-priori pas de sens).

En particulier, la mesure de Lebesgue de l'ensemble $Q\!\!\!\!Q$ de tous les rationnels est nulle: cette propriété manifeste le fait que la mesure de Lebesgue est une extension de la notion de longueur, mais ne se réduit pas à cette notion; en effet un ensemble de structure aussi compliquée que $Q\!\!\!\!Q$ n'a pas de longueur au sens ``physique'' du terme, bien qu'il admette une mesure de Lebesgue. Le fait que que certaines parties de $I\!\!R$ n'admettent pas de mesure de Lebesgue montre qu'il y a des parties dont la structure est encore beaucoup plus compliquée que celle de $Q\!\!\!\!Q$ .

Passons maintenant au cas de $I\!\!R^d$ , qu'on munit de la tribu borélienne $\hbox{$\cal R$}^d$ . Le volume d'un rectangle de la forme $A=\prod_{i=1}^d]a_i,b_i[$ est

$\displaystyle \lambda _d(A) = \prod_{i=1}^d(b_i-a_i),$

(19)

et on a l'analogue du théorème

Théorème Il existe une mesure $\lambda _d$ et une seule sur $(I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d)$ qui vérifie (), et qu'on appelle la mesure de Lebesgue.

(Ce théorème se réduit au théorème lorsque .) Une autre manière de voir les choses consiste à remarquer que () peut s'écrire

$\displaystyle \lambda _d(\prod_{i=1}^dA_i) = \prod_{i=1}^d\lambda (A_i)$

(20)

lorsque les

sont des intervalles. Cette propriété, qui d'une certaine manière traduit le fait que la mesure de Lebesgue $\lambda _d$ sur $I\!\!R^d$ est la puissance $d^{\hbox{\\lq eme}}$ de la mesure de Lebesgue $\lambda =\lambda _1$ sur $I\!\!R$ , se généralise ainsi:

Théorème Si les sont des boréliens de $I\!\!R$ , le produit $A=\prod_{i=1}^dA_i$ est un borélien de $I\!\!R^d$ , et on a la propriété ().