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La mesure de Lebesgue

Dans ce paragraphe nous définissons la mesure qui est de loin la plus importante en analyse (et en probabilités), qui est la mesure de Lebesgue (mesurant la ``longueur'' dans le cas de $ I\!\!R$, la ``surface'' dans $ I\!\!R^2$, le ``volume'' dans $ I\!\!R^3$, etc...)

Nous commençons par le cas de $ I\!\!R$, qu'on munit de la tribu borélienne $ \hbox{$\cal R$}$. On connait bien-sûr la longueur des intervalles:

$\displaystyle \lambda (A) = b-a$   si$\displaystyle  A=[a,b], $ou$\displaystyle  A=[a,b[, $ou$\displaystyle   A=]a,b], $ou$\displaystyle A=]a,b[.$ (18)

Cette propriété est compatible avec (SA), au sens ou $ \lambda (A)=\sum\lambda
(A_n)$ dès que les $ A_n$ sont des intervalles deux-à-deux disjoints dont la réunion $ A$ est encore un intervalle (cette propriété est assez facile à vérifier, mais pas complètement évidente sauf dans le cas où on peut numéroter les $ A_n$ de sorte que $ A_n$ soit à gauche de $ A_{n+1}$ pour tout $ n$, ou bien à droite de $ A_{n+1}$ pour tout $ n$; mais il y a des cas où aucune de ces deux propriétés n'est vérifiée).

La question qui se pose est donc la suivante: existe-t-il une (plusieurs) mesure(s) sur les boréliens de $ I\!\!R$ qui vérifie(nt) ([*]) ? La réponse est donnée par le théorème suivant:

Théorème Il existe une mesure $ \lambda $ et une seule sur $ (I\!\!R,\hbox{$\cal R$})$ qui vérifie ([*]), et qu'on appelle la mesure de Lebesgue.

Ce résultat est difficile, et pour le moment nous l'admettrons. Il contient en fait deux résultats de nature différente. D'abord il y a l'existence de $ \lambda $ (qu'on appelle le théorème de prolongement): on connaît $ \lambda $ sur la classe $ \hbox{$\cal A$}$ des intervalles; cette classe engendre la tribu borélienne (cf. proposition [*]), et on peut ``prolonger'' $ \lambda $ à la tribu $ \hbox{$\cal R$}$, de façon à obtenir une mesure (c'est la partie la plus difficile du théorème; la difficulté tient au fait qu'on ne sait pas décrire de manière ``concrète'' les boréliens). Ensuite, il y a un résultat d'unicité, qui sera démontré plus loin et qui est beaucoup plus facile.

En fait, la tribu $ \hbox{$\cal R$}$ n'est pas tout à fait la plus grande possible sur laquelle on puisse définir la mesure de Lebesgue: ce qui veut dire que le prolongement dont il est question ci-dessus peut se faire sur une tribu $ \hbox{$\cal R$}'$ plus grande que $ \hbox{$\cal R$}$ (qu'on appellera plus loin la ``complétée'' de $ \hbox{$\cal R$}$). Mais il est remarquable que la mesure de Lebesgue ne puisse pas se prolonger à la tribu $ \hbox{$\cal P$}(I\!\!R)$ de toutes les parties de $ I\!\!R$: il n'existe pas de mesure sur $ \hbox{$\cal P$}(I\!\!R)$ vérifiant ([*]).

Voici quelques propriétés simples de la mesure de Lebesgue:

a)
La mesure (ou ``longueur'') des singletons est $ \lambda
(\{ a\} )=0$ (appliquer ([*]) avec $ A=[a,a]$).
b)
Tout ensemble fini ou dénombrable $ A$ est borélien, de mesure $ \lambda (A)=0$: on peut écrire en effet $ A=\cup_{n\geq1}\{ a_n\}$, où les $ a_n$ sont les points de $ A$ (qu'on peut toujours énumérer en une ``suite'' finie ou infinie). Il suffit alors d'appliquer (T4) et (SA) pour obtenir les résultats.
c)
Un intervalle $ A=[a,b]$ peut également s'écrire comme la réunion des singletons $ \{ x\}$ pour $ x\in A$. Cependant on n'a pas $ \lambda
(A)=\sum_{x\in A}\lambda (\{ x\} )$ (en d'autres termes, la propriété (SA) ne s'étend pas à des familles non dénombrables d'ensembles): en effet $ \lambda
(A)>0$, tandis que tous les termes de la somme de droite sont nuls, donc la seule valeur qu'on puisse raisonnablement donner à cette somme est 0 (une autre raison plus fondamentale est en fait que la somme d'une infinité non dénombrable de termes n'a a-priori pas de sens).

En particulier, la mesure de Lebesgue de l'ensemble $ Q\!\!\!\!Q$ de tous les rationnels est nulle: cette propriété manifeste le fait que la mesure de Lebesgue est une extension de la notion de longueur, mais ne se réduit pas à cette notion; en effet un ensemble de structure aussi compliquée que $ Q\!\!\!\!Q$ n'a pas de longueur au sens ``physique'' du terme, bien qu'il admette une mesure de Lebesgue. Le fait que que certaines parties de $ I\!\!R$ n'admettent pas de mesure de Lebesgue montre qu'il y a des parties dont la structure est encore beaucoup plus compliquée que celle de $ Q\!\!\!\!Q$.

Passons maintenant au cas de $ I\!\!R^d$, qu'on munit de la tribu borélienne $ \hbox{$\cal R$}^d$. Le volume d'un rectangle de la forme $ A=\prod_{i=1}^d]a_i,b_i[$ est

$\displaystyle \lambda _d(A) = \prod_{i=1}^d(b_i-a_i),$ (19)

et on a l'analogue du théorème [*]:

Théorème Il existe une mesure $ \lambda _d$ et une seule sur $ (I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d)$ qui vérifie ([*]), et qu'on appelle la mesure de Lebesgue.

(Ce théorème se réduit au théorème [*] lorsque $ d=1$.) Une autre manière de voir les choses consiste à remarquer que ([*]) peut s'écrire

$\displaystyle \lambda _d(\prod_{i=1}^dA_i) = \prod_{i=1}^d\lambda (A_i)$ (20)

lorsque les $ A_i$ sont des intervalles. Cette propriété, qui d'une certaine manière traduit le fait que la mesure de Lebesgue $ \lambda _d$ sur $ I\!\!R^d$ est la puissance $ d^{\hbox{\\lq eme}}$ de la mesure de Lebesgue $ \lambda
=\lambda _1$ sur $ I\!\!R$, se généralise ainsi:

Théorème Si les $ A_i$ sont des boréliens de $ I\!\!R$, le produit $ A=\prod_{i=1}^dA_i$ est un borélien de $ I\!\!R^d$, et on a la propriété ([*]).

Ce résultat sera démontré dans le chapitre consacré aux produits de mesures, et il préfigure les résultats de ce chapitre.

$ \quad$


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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