L'intégration par rapport à une mesure

Ce chapitre est consacré à la construction de l'intégrale des fonctions par rapport à une mesure. On fixe donc dans tout le chapitre un espace , muni d'une tribu et d'une mesure . Le lecteur pourra avoir à l'esprit les trois exemples fondamentaux suivants: celui de avec (tribu borélienne) et (mesure de Lebesgue); celui de avec (tribu de toutes les parties de ) et la mesure de comptage ( le nombre de points de ); enfin celui d'un ensemble arbitraire, avec et la masse de Dirac en un point : voir (1-). Dans le premier cas, la théorie de l'intégration permet d'étendre l'intégrale de Riemann; dans le second cas elle est une autre manière de considérer la sommation des séries; le troisième cas est essentiellement trivial, mais permet de vérifier la compréhension des notions et résultats présentés.

Il est important de remarquer que l'intégration est une construction abstraite, n'utilisant pas la structure particulière de tel ou tel ensemble : la construction de l'intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue sur n'est absolument pas plus simple que la théorie générale.

• Les fonctions mesurables
• L'intégrale des fonctions mesurables
• L'intégrale des fonctions à valeurs complexes
• L'intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue