Ce chapitre est consacré à la construction de l'intégrale des fonctions
par rapport à une mesure. On fixe donc dans tout le chapitre un espace ,
muni d'une tribu
et d'une mesure . Le lecteur pourra avoir à
l'esprit les trois exemples fondamentaux suivants: celui de avec
(tribu borélienne) et
(mesure de Lebesgue); celui de
avec
(tribu de toutes les parties de ) et
la mesure de comptage ( le nombre de points de ); enfin
celui d'un ensemble arbitraire, avec
et
la masse
de Dirac en un point : voir (1-). Dans le premier cas, la théorie
de l'intégration permet d'étendre l'intégrale de Riemann; dans le second
cas elle est une autre manière de considérer la
sommation des séries; le troisième cas est essentiellement trivial, mais
permet de vérifier la compréhension des notions et résultats
présentés.
Il est important de remarquer que l'intégration est une construction
abstraite, n'utilisant pas la structure particulière de tel ou
tel ensemble : la construction de l'intégrale par rapport à la mesure
de Lebesgue sur n'est absolument pas plus simple que la théorie
générale.