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Les fonctions mesurables

1) Les définitions:   Lors de l'intégration d'une fonction, deux obstacles peuvent se présenter: d'une part la fonction peut être "trop grande"; d'autre part elle peut ne pas être assez "régulière". Ce paragraphe est consacré à la notion de "régularité" nécessaire à la définition de l'intégrale.

Rappelons d'abord que si $ f$ est une application d'un espace $ E$ dans un espace $ F$, l'image réciproque d'une partie $ A$ de $ F$ par $ f$ est la partie de $ E$ notée $ f^{-1}(A)$ (ou parfois $ \{ f\in A\}$, ce qui est une notation moins "canonique" mais plus parlante) et définie par

$\displaystyle f^{-1}(A) = \{ x\in E:f(x)\in A\}$ (1)

(ne pas confondre cette notation avec celle désignant la ``fonction réciproque'' ou ``fonction inverse'' de $ f$, lorsque celle-ci est bijective). Les propriétés suivantes, où $ A$ et les $ A_i$ sont des parties quelconques de $ F$ et $ I$ est une ensemble fini, dnombrable, ou infini non dénombrable, se vérifient immédiatement:

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} f^{-1}(F)=E,\qquad f^{-1}(\emptyset )=\emp...
...\qquad f^{-1}(\cap_{i\in I} A_i)=\cap_{i\in I}f^{-1}(A_i).\end{array} \right \}$ (2)

On énonce les trois dernières propriétés ci-dessus en disant que l'image réciproque commute avec le passage au complémentaire, la réunion et l'intersection. Si $ \hbox{$\cal A$}$ est une classe quelconque de parties de $ F$, on note $ f^{-1}(\hbox{$\cal A$})$ la classe de parties de $ E$ définie ainsi: $ f^{-1}(\hbox{$\cal A$})=\{
f^{-1}(A):A\in\hbox{$\cal A$}\}$. Il découle immédiatement de ([*]) que:

$\displaystyle \mbox{Si $\hbox{$\cal F$}$\ est une tribu\begin{rawhtml}
<a href=...
...nd{rawhtml} de $F$, la classe $f^{-1}(\hbox{$\cal F$})$\ est une tribu de $E$.}$ (3)

Définition Soit $ (E,\hbox{$\cal E$})$ et $ (F,\hbox{$\cal F$})$ deux espaces mesurables, et $ f$ une application de $ E$ dans $ F$.

a) On dit que $ f$ est une application mesurable de $ (E,\hbox{$\cal E$})$ dans $ (F,\hbox{$\cal F$})$ si la tribu $ f^{-1}(\hbox{$\cal F$})$ est contenue dans $ \hbox{$\cal E$}$, ce qui revient à dire que $ f^{-1}(A)\in\hbox{$\cal E$}$ pour tout $ A\in\hbox{$\cal F$}$. On écrit aussi parfois: $ f:(E,\hbox{$\cal E$})
\mapsto(F,\hbox{$\cal F$})$.

b) Une fonction sur $ E$ (i.e. une application de $ E$ dans $ I\!\!R$ ou dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}$) est dite mesurable par rapport à la tribu  $ \hbox{$\cal E$}$, ou " $ \hbox{$\cal E$}$-mesurable", ou simplement "mesurable" s'il n'y a pas d'ambiguïté quant à la tribu $ \hbox{$\cal E$}$, si elle est mesurable de $ (E,\hbox{$\cal E$})$ dans $ I\!\!R$ ou $ \bar{I}\!\!\bar{R}$ muni de sa tribu borélienne.

c) Lorsque $ E=I\!\!R^d$ et $ F=I\!\!R^q$ (ou plus généralement si $ E$ et $ F$ sont des espaces topologiques), avec leurs tribus boréliennes respectives $ \hbox{$\cal E$}$ et $ \hbox{$\cal F$}$, une fonction mesurable de $ (E,\hbox{$\cal E$})$ dans $ (F,\hbox{$\cal F$})$ est dite borélienne.

d) Si $ (f_i)_{i\in I}$ est une famille quelconque de fonctions sur $ E$, on appelle tribu engendrée par cette famille, et on note $ \sigma (f_i:i\in I)$, la plus petite tribu de $ E$ rendant mesurables les fonctions $ f_i$ (i.e. la plus petite tribu contenant les tribus $ f_i^{-1}(\hbox{$\cal F$})$ pour tout $ i\in I$). $ \Box$

Le résultat suivant, que le lecteur vérifiera par lui-même, montre la cohérence entre la mesurabilité d'une fonction et celle d'un ensemble. On rappelle que si $ A\subset E$, la fonction indicatrice $ 1_A$ de $ A$ est la fonction de $ E$ dans $ I\!\!R$ qui vaut $ 1$ sur $ A$ et 0 sur le complémentaire $ A^c$:

$\displaystyle \mbox{si $A\subset E$, on a $A\in\hbox{$\cal E$}$ si et seulement si $1_A$ est $\hbox{$\cal E$}$-mesurable.}$ (4)

Exemples:

1)
Si $ E$ est muni de la tribu $ \hbox{$\cal E$}=\hbox{$\cal P$}(E)$ de toutes ses parties, toute application de $ E$ dans un ensemble mesurable $ (F,\hbox{$\cal F$})$ est mesurable.
2)
Si $ (E,\hbox{$\cal E$})$ est un espace mesurable quelconque, toute fonction constante (i.e. $ f(x)=a$ pour tout $ x$, où $ a$ est un réel fixé) est mesurable. En effet $ f^{-1}(A)=E$ si $ a\in A$ et $ f^{-1}(A)=\emptyset $ sinon.

2) Critères de mesurabilité:   Pour vérifier la mesurabilité d'une fonction, on dispose des trois outils suivants:

Proposition Soit $ f$ une application de $ E$ dans $ F$, et soit $ \hbox{$\cal A$}$ une classe de parties de $ F$ telle que $ \hbox{$\cal F$}=\sigma (\hbox{$\cal A$})$ (rappelons que cela signifie que la tribu engendrée par $ \hbox{$\cal A$}$ est $ \hbox{$\cal F$}$). Pour que $ f$ soit mesurable de $ (E,\hbox{$\cal E$})$ dans $ (F,\hbox{$\cal F$})$ il faut et il suffit que $ f^{-1}(A)\in\hbox{$\cal E$}$ pour tout $ A\in\hbox{$\cal A$}$ ( $ \Leftrightarrow$  $ f^{-1}(\hbox{$\cal A$})\subset\hbox{$\cal E$}$).

La nécessité est évidente. Inversement, supposons que $ f^{-1}(\hbox{$\cal A$})\subset\hbox{$\cal E$}$. Soit aussi $ \hbox{$\cal A$}'$ l'ensemble des parties de $ F$ telles que $ f^{-1}(A)\in\hbox{$\cal E$}$. D'après ([*]) il est très facile de vérifier que $ \hbox{$\cal A$}'$ est une tribu de $ F$. Par hypothèse on a $ \hbox{$\cal A$}\subset\hbox{$\cal A$}'$. Comme $ \hbox{$\cal A$}'$ est une tribu et comme $ \hbox{$\cal F$}$ est la tribu engendrée par $ \hbox{$\cal A$}$, on a donc $ \hbox{$\cal F$}\subset\hbox{$\cal A$}'$. Par suite $ f^{-1}(\hbox{$\cal F$})\subset\hbox{$\cal E$}$ et $ f$ est mesurable. $ \Box$

Proposition Soit $ (E,\hbox{$\cal E$})$, $ (F,\hbox{$\cal F$})$ et $ (G,\hbox{$\cal G$})$ trois espaces mesurables. Si $ f$ est une application mesurable de $ (E,\hbox{$\cal E$})$ dans $ (F,\hbox{$\cal F$})$ et si $ g$ est une application mesurable de $ (F,\hbox{$\cal F$})$ dans $ (G,\hbox{$\cal G$})$, l'application composée $ h=g\circ f$ est une application mesurable de $ (E,\hbox{$\cal E$})$ dans $ (G,\hbox{$\cal G$})$.

Si $ A\in\hbox{$\cal G$}$ l'image réciproque $ B=g^{-1}(A)$ est dans $ \hbox{$\cal F$}$ et donc $ f^{-1}(B)\in\hbox{$\cal E$}$. Comme $ h^{-1}(A)=f^{-1}(g^{-1}(A))$, on en déduit $ h^{-1}(A)\in\hbox{$\cal E$}$, d'où le résultat. $ \Box$

Proposition Toute application continue de $ E=I\!\!R^d$ dans $ F=I\!\!R^q$ est borélienne. Plus généralement si $ E$ et $ F$ sont des espaces topologiques, toute application continue de $ E$ dans $ F$ est borélienne.

a) On va d'abord montrer que si $ E=I\!\!R^d$ et $ F=I\!\!R^q$ et si $ f$ est une application de $ E$ dans $ F$, alors

$\displaystyle \mbox{$f$ est continue $\quad\Leftrightarrow\quad$ l'image r\'eciproque d'un ouvert de $F$ est un ouvert de $E$.}$ (5)

Supposons d'abord $ f$ continue. Rappelons que cela signifie la chose suivante, en notant $ \vert x-x'\vert _d$ (resp. $ \vert y-y'\vert _q$) la distance euclidienne de $ x$ à $ x'$ dans $ E$ (resp. de $ y$ à $ y'$ dans $ F$):

$\displaystyle \forall x\in E,  \forall\varepsilon >0,  \exists\eta>0,  \forall ...
...vert x-x'\vert _d<\eta,   \hbox{on a}    \vert f(x)-f(x')\vert _q<\varepsilon .$ (6)

Soit $ B$ un ouvert de $ F$ et $ A=f^{-1}(B)$. Soit $ x\in A$ et $ y=f(x)$. Comme $ y\in B$, il existe un $ \varepsilon >0$ tel que la boule de $ F$ centrée en $ y$ et de rayon $ \varepsilon $ soit contenue dans $ B$. Si $ \eta$ est associé à $ x$ et $ \varepsilon $ comme dans ([*]), cette propriété implique que la boule de $ E$ centrée en $ x$ et de rayon $ \eta$ est contenue dans $ A$: cela veut exactement dire que $ A$ est un ouvert.

Supposons inversement que l'image réciproque de tout ouvert de $ F$ par $ f$ soit un ouvert de $ E$. Soit $ x\in E$ et $ \varepsilon >0$. L'image réciproque de la boule ouverte $ B$ de $ F$ centrée en $ f(x)$ et de rayon $ \varepsilon $ est un ouvert contenant $ x$, donc il existe $ \eta>0$ tel que $ f^{-1}(B)$ contienne la boule de $ E$ centrée en $ x$ et de rayon $ \eta$: en d'autres termes, on a ([*]). Par suite $ f$ est continue.

b) Passons à la preuve proprement dite. On a vérifié ([*]) ci-dessus lorsque $ E=I\!\!R^d$ et $ F=I\!\!R^q$. Lorsque $ E$ et $ F$ sont des espaces topologiques quelconques, ([*]) est en fait la définition des fonctions continues. Si $ \hbox{$\cal A$}$ (resp. $ \hbox{$\cal B$}$) désigne la classe des ouverts de $ E$ (resp. de $ F$), ([*]) implique que pour toute fonction continue on a $ f^{-1}(\hbox{$\cal B$})\subset \hbox{$\cal A$}$. Comme les tribus boréliennes sont les tribus engendrées par les ouverts, le résultat découle immédiatement de la proposition [*]. $ \Box$

On va maintenant donner quelques applications utiles de ces trois résultats.

Proposition Soit $ (E,\hbox{$\cal E$})$ un espace mesurable. Pour qu'une fonction $ f$ sur $ E$ soit mesurable, il faut et il suffit qu'elle vérifie l'une des conditions suivantes:

(i) $ \{ f\leq x\}\in\hbox{$\cal E$}$ pour tout $ x\in I\!\!R$ (rappelons que $ \{ f\leq x\}=
f^{-1}([-\infty ,x])=\{y\in E: f(y)\leq x\}$).

(ii) $ \{ f\leq x\}\in\hbox{$\cal E$}$ pour tout $ x\in Q\!\!\!\!Q$.

(iii) $ \{ f<x\}\in\hbox{$\cal E$}$ pour tout $ x\in I\!\!R$.

(iv) $ \{ f<x\}\in\hbox{$\cal E$}$ pour tout $ x\in Q\!\!\!\!Q$.

Il suffit de combiner les propositions 1-[*] et [*].$ \Box$

Proposition Soit $ f_1$,...,$ f_d$ des fonctions réelles mesurables sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$. Soit $ g$ une fonction borélienne sur $ I\!\!R^d$. La fonction $ h$ sur $ E$ définie par $ h(x)=g(f_1(x),f_2(x),...,f_d(x))$ est alors mesurable sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$.

On peut considérer le $ d$-uplet $ (f_1,...,f_d)$ comme une application de $ E$ dans $ I\!\!R^d$, qu'on notera $ f$: si $ x\in E$, $ f(x)$ est le vecteur de $ I\!\!R^d$ dont les composantes sont $ f_1(x),...,f_d(x)$. Comme $ h=g\circ f$, en vertu de la proposition [*] il suffit de démontrer que $ f$ est mesurable de $ (E,\hbox{$\cal E$})$ dans $ (I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d)$.

Pour cela, en utilisant 1-([*]) et la proposition [*], on voit qu'il suffit de montrer que pour tout rectangle $ A=\prod_{i=1}^d]-\infty ,a_i]$, où les $ a_i$ sont des réels, on a $ f^{-1}(A)\in\hbox{$\cal E$}$. Mais comme $ f^{-1}(A)=
\cap_{1\leq i\leq d}\{ f_i\leq a_i\}$ cette propriété découle de la mesurabilité des $ f_i$ et de la propriété (T'4) des tribus. $ \Box$

Ce résultat s'applique en particulier lorsque la fonction $ g$ ci-dessus est continue. Cela donne une série de propriétés d'usage constant. Par exemple si les fonctions réelles $ f_i$ sont mesurables sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$, il en est de même des fonctions suivantes:

$\displaystyle \sum_{i=1}^da_if_i,$   $\displaystyle \mbox{o\\lq u les $a_i$ sont r\'eels.}$ (7)

$\displaystyle \prod_{i=1}^d(f_i)^{a_i},$   $\displaystyle \mbox{o\\lq u  $a_i\in Z\!\!\!Z$, et $a_i>0$ si  $f_i$ peut s'annuler.}$ (8)

$\displaystyle f_1\wedge f_2=\min (f_1,f_2),\qquad f_1\vee f_2=\max(f_1,f_2).$ (9)

(Pour ([*]) par exemple, il suffit d'appliquer la proposition précédente avec $ g(x_1,...,x_d)=\sum_{i=1}^da_ix_i$, qui est continue). On déduit de ces propriétés que l'ensemble de toutes les fonctions réelles mesurables sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$ est une algèbre (i.e. un espace vectoriel stable par produit des fonctions), et un espace réticulé (i.e. stable par les opérations "sup" et "inf"); on verra mieux dans la proposition [*] ci-dessous.

En particulier $ g=f_1-f_2$ est une fonction mesurable, et donc les ensembles suivants

$\displaystyle \{ f_1=f_2\}=\{ g=0\},\qquad \{ f_1<f_2\}=\{ g<0\},\qquad \{ f_1\leq f_2\}=\{ g\leq 0\}$ (10)

sont mesurables.

3) Les limites de fonctions mesurables: Chacun sait qu'une suite $ (f_n)_{n\geq1}$ de fonctions sur $ E$ et à valeurs dans $ I\!\!R$ ou dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}$ converge simplement vers une limite $ f$ si $ f_n(x)\to f(x)$ pour tout $ x$. Lorsque la suite de fonctions est quelconque, on peut toujours introduire les notions suivantes:

Définition On appelle limite supérieure et limite inférieure d'une suite $ (f_n)_{n\geq1}$ de fonctions sur $ E$ et à valeurs dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}$ les fonctions suivantes:

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} \limsup_n f_n(x) = \lim_n\downarrow\sup_{m...
...n\uparrow\inf_{m\geq n}f_m(x)  = \sup_n\inf_{m\geq n}f_m(x).\end{array}\right\}$ (11)


Noter que les fonctions $ \limsup_nf_n$ et $ \liminf_nf_n$ définies ci-dessus sont a-priori à valeurs dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}$, même si les $ f_n$ sont à valeurs dans $ I\!\!R$.

Rappelons qu'une suite de fonction $ (f_n)_n$ converge simplement vers la limite $ f$ si on a $ f_n(x)\to f(x)$ pour tout $ x$. Si la suite $ (f_n)_n$ est croissante (resp. décroissante), c'est-à-dire si $ f_n\leq f_{n+1}$ (resp. $ f_n\geq f_{n+1}$) pour tout $ n$, elle converge simplement vers une limite $ f$ vérifiant $ f=\limsup_nf_n=\liminf_nf_n$ et aussi $ f=\sup_nf_n$ (resp. $ f=\inf_nf_n$). Dans le cas général, dire que la suite $ (f_n)$ converge simplement revient à dire que $ \limsup_nf_n=\liminf_nf_n$, et dans ce cas la valeur commune de ces deux fonctions est la limite de la suite $ (f_n)$. La propriété suivante est immédiate:

$\displaystyle \limsup_n f_n = -\liminf_n (-f_n),$ (12)

et si les $ (A_n)_{n\geq1}$ sont des parties de $ E$, en se rappelant la définition 1-[*] on a:

$\displaystyle \limsup_n1_{A_n} = 1_{\limsup_n A_n},\qquad \liminf_n 1_{A_n} = 1_{\liminf_n A_n}.$ (13)

Proposition Soit $ (f_n)_{n\geq1}$ une suite de fonctions mesurables sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$, à valeurs dans $ I\!\!R$ ou dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}$.

a) Les fonctions $ \sup_nf_n$ et $ \inf_nf_n$ sont mesurables.

b) Les fonctions $ \limsup_nf_n$ et $ \liminf_nf_n$ sont mesurables.

c) L'ensemble des $ x\in E$ où la suite numérique $ (f_n(x))$ converge (dit ``ensemble de convergence'' de la suite $ (f_n)$) est dans $ \hbox{$\cal E$}$.

d) Si la suite $ (f_n)$ converge simplement, sa limite est une fonction mesurable.

Pour (a) on utilise le fait que $ \{\sup_nf_n\leq x\}=\cap_n\{ f_n\leq x\}$ et $ \{\inf_nf_n<x\}=\cup_n\{ f_n<x\}$ et la proposition [*]. (b) s'obtient par application répétée de (a). Si $ g=\limsup_nf_n$ et $ h=\liminf_nf_n$, l'ensemble de convergence de la suite $ (f_n)$ est l'ensemble $ \{ g=h\}$, qui est mesurable d'après ([*]). Enfin si $ (f_n)$ converge simplement sa limite est égale à $ g=h$, donc (d) découle de (b). $ \Box$

4) Image d'une mesure par une application: Ci-dessous on considère d'une part une application mesurable de $ (E,\hbox{$\cal E$})$ dans $ (F,\hbox{$\cal F$})$, et d'autre part une mesure $ \mu$ sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$. On peut ``transporter'' la mesure $ \mu$ sur $ F$ par $ f$, selon le schéma suivant:

Théorème Si pour tout $ B\in\hbox{$\cal F$}$ on pose

$\displaystyle \nu (B) = \mu(f^{-1}(B)),$ (14)

on définit une mesure $ \nu$ sur $ (F,\hbox{$\cal F$})$, appelée la mesure image de $ \mu$ par $ f$.

On utilise ([*]): d'une part, $ \nu (\emptyset )=\mu(\emptyset )=0$. D'autre part si on a une suite $ (B_n)_{n\geq1}$ de parties deux-à-deux disjointes et appartenant à $ \hbox{$\cal F$}$, les $ A_n=f^{-1}(B_n)$ sont aussi deux-à-deux disjointes, tandis que $ \cup_n A_n=f^{-1}(\cup_n B_n)$. Par suite

$\displaystyle \nu (\cup_n B_n) = \mu(f^{-1}(\cup_n B_n)) = \mu(\cup_n
A_n) = \sum_n\mu(A_n) = \sum_n\nu(B_n).   \Box$


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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