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L'intégrale des fonctions mesurables

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L'intégrale des fonctions mesurables

Nous fixons ci-dessous un espace muni d'une tribu $\hbox{$\cal E$}$ et d'une mesure $\mu$ . On appelle $\hbox{$\cal F$}$ l'ensemble de toutes les fonctions réelles mesurables sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ : c'est un espace vectoriel d'après ().

Nous nous proposons de définir l'intégrale d'une fonction par rapport à $\mu$ , notée $\int fd\mu$ , pour une classe aussi grande que possible de fonctions de $\hbox{$\cal F$}$ . Cette intégrale devra avoir les propriétés suivantes:

$\displaystyle \int 1_Ad\mu=\mu(A)$ si $\displaystyle A\in\hbox{$\cal E$},$

(15)

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} \mbox{L'application $f\mapsto\int fd\mu$ ... ... $a\in I\!\!R$, et $\int (f+g)d\mu=\int fd\mu+ \int gd\mu$,}\end{array}\right\}$

(16)

ainsi que des propriétés de ``continuité'' qui seront précisées plus loin.

Le principe de la construction, qui se fait en plusieurs étapes, est assez simple:

1) En combinant () et (), on construit $\int fd\mu$ pour les fonctions positives mesurables ne prenant qu'un nombre fini de valeurs.

2) Toute fonction positive mesurable étant limite croissante d'une suite de fonctions du type précédent, on obtient son intégrale par passage à la limite.

3) Toute fonction mesurable étant différence de deux fonctions mesurables positives, on construit son intégrale par différence.

1) Les fonctions étagées: On dit qu'une fonction est étagée si elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs dans $\bar{I}\!\!\bar{R}$ . On note $\hbox{$\cal F$}^0_+$ l'ensemble de toutes les fonctions étagées positives mesurables. Cet ensemble n'est pas un espace vectoriel (c'est seulement ce qu'on appelle un ``cône''), mais il est stable par addition, et par multiplication par les réels positifs (et par $+\infty$ : rappelons les conventions 1-() et 1-()).

Etant donnés les nombres $a_1,\ldots,a_n$ de $\bar{I}\!\!\bar{R}_+$ et les ensembles mesurables $A_1,\ldots,A_n$ , on obtient une fonction $f\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ en posant

$\displaystyle f = \sum_{i=1}^na_i1_{A_i}.$

(17)

(il est clair que cette fonction ne peut prendre que les valeurs qui sont des sommes d'un nombre quelconque de

, donc ne prend qu'un nombre fini de valeurs; d'autre part

est mesurable par (

) et (

)). Il y a évidemment plusieurs manières d'écrire la même fonction

sous la forme (

Inversement, toute $f\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ s'écrit sous cette forme, et même admet une écriture () ``canonique'' qui est unique et qui a la forme suivante: Si est l'ensemble des valeurs prises par , la famille $A_a=\{ f=a\}$ indicée par l'ensemble fini (i.e. parcourt ) constitue une partition mesurable de , et on a

$\displaystyle f = \sum_{a\in U}a1_{A_a}.$

(18)

Cette écriture est un cas particulier de (

Définition Par définition, on appelle intégrale par rapport à $\mu$ de la fonction $f\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ admettant la décomposition canonique (), et on note $\int fd\mu$ ou $\int f(x)\mu(dx)$ , le nombre suivant de $[0,\infty]$ :

$\displaystyle \int fd\mu = \sum_{a\in U}a\mu(A_a) = \sum_{a\in U}a\mu(\{ f=a\}). \Box$

(19)

Exemples:

1): L'intégrale de la fonction nulle (qui appartient à $\hbox{$\cal F$}^0_+$ ) est 0.
2): L'intégrale de la fonction constante égale à $a\geq 0$ (qui appartient aussi à $\hbox{$\cal F$}^0_+$ ) vaut $a\mu(E)$ (donc vaut $+\infty$ si la mesure $\mu$ est de masse totale infinie, ou si $a=+\infty$ et $\mu$ n'est pas la mesure nulle).
3): Rappelons que est dans $\hbox{$\cal F$}^0_+$ si et seulement si $A\in\hbox{$\cal E$}$ . Dans ce cas son intégrale est $\mu (A)$ : on a donc (). $\Box$

Proposition (i) Si $f\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ est donnée par (), on a

$\displaystyle \int fd\mu = \sum_{i=1}^na_i\mu(A_i)$

(20)

(ii) Si $a\geq 0$ et $f\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ , on a $\int (af)d\mu=a\int fd\mu$ .

(iii) Si $f,g\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ , on a $\int (f+g)d\mu=\int fd\mu+\int gd\mu$ .

(iv) Si $f,g\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ et $f\leq g$ , on a $\int fd\mu\leq\int gd\mu$ .

(ii) est évident. Pour montrer (iii), notons et les ensembles (finis) de valeurs prises par et respectivement, ainsi que $A_a=\{ f=a\}$ pour $a\in U$ et $B_b=\{ g=b\}$ pour $b\in V$ . Remarquons que si $a\in U$ l'ensemble est la réunion des ensembles mesurables deux-à-deux disjoints $(A_a\cap B_b)_{b\in V}$ (certains de ces ensembles peuvent être vides). De même est la réunion des ensembles mesurables deux-à-deux disjoints $(A_a\cap B_b)_{a\in U}$ . D'après () et l'additivité (A) de $\mu$ on a donc

$\displaystyle \int fd\mu = \sum_{a\in U}a\mu(A_a) = \sum_{a\in U,b\in V}a\mu(A_a\cap B_b),$

$\displaystyle \int gd\mu = \sum_{b\in V}b\mu(B_b) = \sum_{a\in U,b\in V}b\mu(A_a\cap B_b).$

En additionnant, il vient

$\displaystyle \int fd\mu +\int gd\mu = \sum_{a\in U,b\in V}(a+b)\mu(A_a\cap B_b).$

(21)

Par ailleurs notons l'ensemble des valeurs prises par . Tout point de s'écrit pour une certaines famille (finie) de couples dans le produit $U\times V$ (noter que peut contenir un ou plusieurs couples). L'ensemble $C_c=\{ h=c\}$ est alors la réunion des ensembles deux-à-deux disjoints $(A_a\cap B_b)_{(a,b)\in I_c}$ , de sorte que

$\displaystyle \int hd\mu = \sum_{c\in W}c\mu(C_c) = \sum_{c\in W}\sum_{(a,b)\in I_c} c\mu(A_a\cap B_b).$

(22)

Si le couple $(a,b)\in U\times V$ n'appartient à aucun on a $A_a\cap B_b=\emptyset$ , de sorte que $\mu(A_a\cap B_b)=0$ . Comme lorsque $(a,b)\in I_c$ , il est alors facile de vérifier que les expressions () et () sont égales: on a donc (iii).

Pour obtenir (i), il suffit alors d'appliquer (ii), (iii) et (). Enfin si $f,g\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ et si $f\leq g$ , la fonction est aussi dans $\hbox{$\cal F$}^0_+$ . Par (iii) on a $\int gd\mu=\int fd\mu+\int hd\mu$ . Comme $\int hd\mu\geq 0$ par constrution (cf. ()), on obtient (iv). $\Box$

Proposition Soit $(f_n)_{n\geq1}$ une suite croissante (i.e. $f_n\leq f_{n+1}$ pour tout ) de fonctions de $\hbox{$\cal F$}^0_+$ et $f(x)=\lim_n \uparrow f_n(x)$ noter que n'est pas nécessairement étagée).

(i) Si $g\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ vérifie $g\leq f$ , on a $\int gd\mu\leq\lim_n\uparrow \int f_nd\mu$ .

(ii) Si de plus $f\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ , on a $\int fd\mu=\lim_n\uparrow\int f_nd\mu$ .

D'après (iv) de la proposition précédente la suite $\alpha _n=\int f_nd\mu$ est croissante, et on note $\alpha$ sa limite.

(i) Soit $g\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ avec $g\leq f$ . Soit $\varepsilon \in ]0,1[$ fixé. La fonction $g'=(1-\varepsilon )g$ vérifie $g'\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ , $g'\leq f$ , et si .

Soit l'ensemble des valeurs prises par . Pour tout $a\in U$ on a $a1_{\{ g'=a\leq f_n\}}\leq f_n1_{\{ g'=a\}}$ ; donc en appliquant les assertions (i) et (iv) de la proposition précédente, on obtient

$\displaystyle a\mu(\{ g'=a\leq f_n\}) = \int (a1_{\{ g'=a\leq f_n\}})d\mu \leq \int (f_n1_{\{ g'=a\}})d\mu.$

Comme $\sum_{a\in U}f_n1_{\{ g'=a\}}=f_n$ , en sommant les inégalités ci-dessus pour tous les $a\in U$ et en utilisant (iii) de la proposition

, il vient

$\displaystyle \sum_{a\in U}a\mu(\{ g'=a\leq f_n\}) \leq \int\sum_{a\in U}(f_n1_{\{ g'=a\}})d\mu = \alpha _n.$

Rappelons que si

on a

pour tout

, tandis que si

on a

et donc

pour

assez grand (dépendant de

). Par suite $\{ g'=a\leq f_n\}\uparrow\{ g'=a\}$ quand

croît vers l'infini. Donc en utilisant le théorème

, on obtient en passant à la limite dans l'inégalité précédente:

$\displaystyle \int g'd\mu = \sum_{a\in U}a\mu(\{ g'=a\}) \leq \alpha .$

Enfin comme $g={g'\over 1-\varepsilon }$ on a $\int gd\mu={1\over 1-\varepsilon }\int g'd\mu\leq {\alpha \over 1-\varepsilon }$ . Comme $\varepsilon$ est arbitrairement proche de 0 et comme $\lim_{\varepsilon \downarrow 0}{\alpha \over 1-\varepsilon }=\alpha$ , on en déduit finalement que $\int gd\mu\leq\alpha$ .

(ii) Si maintenant $f\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ , (i) appliqué à montre que $\int fd\mu\leq\alpha$ . Par ailleurs $f_n\leq f$ , donc $\alpha _n\leq\int fd\mu$ pour tout , et en passant à la limite on obtient $\alpha \leq\int fd\mu$ . Par suite $\int fd\mu=\alpha$ . $\Box$

2) Les fonctions positives: Dans la suite on note $\hbox{$\cal F$}_+$ l'ensemble des fonctions mesurables à valeurs dans $\bar{I}\!\!\bar{R}_+$

Lemme Toute fonction de $\hbox{$\cal F$}_+$ est limite simple d'une suite croissante $(f_n)_{n\geq1}$ de fonctions mesurables positives étagées (i.e. $f(x)=\lim_n \uparrow f_n(x)$ pour tout $x\in E$ ).

Il suffit de poser:

$\displaystyle f_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} {k\over 2^n} &\hbox{si} {k\ove... ...ldots,n2^n-1,\ [4mm] n & \hbox{si} f(x)\geq n. \hfill\Box \end{array}\right.$

Définition On appelle intégrale par rapport à $\mu$ de la fonction $f\in\hbox{$\cal F$}_+$ le nombre suivant de $[0,\infty]$ :

$\displaystyle \int fd\mu = \int f(x)\mu(dx) = \sup (\int gd\mu:g\in\hbox{$\cal F$}^0_+,g\leq f). \Box$

(23)

Lemme Si $f\in\hbox{$\cal F$}_+$ , toute suite croissante $(f_n)_{n\geq1}$ de fonctions de $\hbox{$\cal F$}^0_+$ admettant pour limite (il existe de telles suites d'après le lemme ) vérifie $\int fd\mu=\lim_n\uparrow\int f_nd\mu$ .

La suite de nombres $\alpha _n=\int f_nd\mu$ croît vers une limite $\alpha \in[0, \infty]$ . D'après () on a $\alpha _n\leq\int fd\mu$ , donc aussi $\alpha \leq\int fd\mu$ . A l'inverse, toute fonction $g\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ telle que $g\leq f$ vérifie $\int gd\mu\leq\alpha$ par la proposition , de sorte que $\int fd\mu\leq\alpha$ en vertu de (): on en déduit que $\alpha =\int fd\mu$ . $\Box$

Nous pouvons maintenant énoncer l'un des résultats essentiels de la théorie:

Théorème (i) Si $a\in I\!\!R_+$ et $f\in\hbox{$\cal F$}_+$ , on a $\int (af)d\mu=a\int fd\mu$ .

(ii) Si $f,g\in\hbox{$\cal F$}_+$ on a $\int (f+g)d\mu=\int fd\mu+\int gd\mu$ .

(iii) Si $f,g\in\hbox{$\cal F$}_+$ et si $f\leq g$ , on a $\int fd\mu\leq\int gd\mu$ .

(iv) (THEOREME DE CONVERGENCE MONOTONE) Si la suite $(f_n)_{n\geq1}$ de fonctions de $\hbox{$\cal F$}_+$ croît vers une limite (nécessairement dans $\hbox{$\cal F$}_+$ ), alors la suite $(\int f_nd\mu)_{n\geq1}$ croît vers $\int fd\mu$ .

(v) Pour toute suite $(f_n)_{n\geq1}$ de fonctions de $\hbox{$\cal F$}_+$ on a

$\displaystyle \int (\inf_n f_n)d\mu \leq \inf_n\int f_nd\mu, \quad\quad \int (\sup_n f_n)d\mu \geq \sup_n\int f_nd\mu.$

(24)

(vi) Pour toute suite $(f_n)_{n\geq1}$ de fonctions de $\hbox{$\cal F$}_+$ on a

$\displaystyle \int (\liminf_n f_n)d\mu \leq \liminf_n\int f_nd\mu.$

(25)

Attention: (vi) est une version de ce qu'on appelle le lemme de Fatou (on en verra une forme plus générale plus loin). Contrairement à ce que pourrait faire penser (), dans lequel "sup" et "inf" jouent des rôles analogues, on n'a pas dans (vi) l'inégalité en sens opposé en remplaçant "liminf" par "limsup": si par exemple $\mu$ est une mesure de masse totale infinie et si , on a $\limsup_nf_n=\liminf_nf_n=f$ , avec pour tout ; donc $\int\limsup_nf_nd\mu=\int\liminf_nf_nd\mu=0$ ; cependant $\int f_nd\mu=\infty$ pour tout , donc $\limsup_n\int f_nd\mu=\liminf_n\int f_nd\mu=\infty$ .

Pour (i), (ii) et (iii) On considère des suites et de fonctions de $\hbox{$\cal F$}^0_+$ croissant respectivement vers et . On a $f_n+g_n\in\hbox{$\cal F$}^0_+$ et $f_n+g_n\uparrow f+g$ , donc le lemme et les assertions (ii), (iii) et (iv) de la proposition impliquent (i), (ii) et (iii).

(iv) D'après (iii), la suite $\alpha _n=\int f_nd\mu$ croît vers une limite $\alpha$ et vérifie $\alpha _n\leq\int fd\mu$ , de sorte que $\alpha \leq\int fd\mu$ . Pour chaque il existe une suite croissante $(g_{n,i})_{i\geq 1}$ de fonctions de $\hbox{$\cal F$}^0_+$ telle que $\lim_i\uparrow g_{n,i}=f_n$ . On pose $h_i=\sup_{n:1\leq n\leq i}g_{n,i}$ . Chaque est dans $\hbox{$\cal F$}^0_+$ ; on a $g_{n,i}\leq g_{n,i+1}$ , donc $h_i\leq h_{i+1}$ et la suite croît vers une limite quand tend vers l'infini; comme $g_{n,i}\leq f$ on a $h_i\leq f$ et donc $h\leq f$ ; enfin $h_i\geq g_{n,i}$ pour tout $i\geq n$ , donc $h\geq f_n$ pour tout , donc $h\geq f$ : on en déduit finalement que est une suite croissante de fonctions de $\hbox{$\cal F$}^0_+$ admettant la limite .

On a donc $\int h_id\mu\uparrow\int fd\mu$ quand tend vers l'infini, d'après le lemme . Mais $h_i\leq \sup_{n:1\leq n\leq i}f_n=f_i$ , de sorte que $\int h_id\mu\leq\alpha _i$ . Par suite en passant à la limite en on obtient $\int fd\mu\leq\alpha$ : donc $\alpha =\int fd\mu$ et le résultat est démontré.

(v) Soit $g=\inf_nf_n$ et $h=\sup_nf_n$ , qui sont des fonctions de $\hbox{$\cal F$}_+$ Pour tout on a $g\leq f_n\leq h$ , donc $\int gd\mu\leq\int f_nd\mu\leq\int hd\mu$ par (iii), et () est immédiat.

(vi) Si $g_n=\inf_{i\geq n}f_i$ , on a $\int g_nd\mu\leq\inf_{i\geq n}\int f_nd\mu$ d'après (v). Lorsque tend vers l'infini, les nombres $\inf_{i\geq n}\int f_nd\mu$ croissent vers le nombre $\liminf_n\int f_nd\mu$ . Par ailleurs la suite croît vers la fonction $\liminf_nf_n$ , donc (iv) implique que $\int g_nd\mu$ croît vers $\int\liminf_nf_nd\mu$ . L'inégalité () est alors immédiate. $\Box$

Lorsque les sont des fonctions mesurables positives, en appliquant (iv) ci-dessus aux fonctions $g_n=f_1+\ldots+f_n$ on obtient le

Corollaire $(f_n)_{n\geq1}$ sont des fonctions mesurables positives, on a $\int (\sum_nf_n)d\mu=\sum_n\int f_nd\mu$ (on peut ``intervertir'' somme d'une série et intégrale, lorsque les termes sont positifs).

Exemple: Si $(u_{n,i})_{n,i\geq 1}$ est une double suite de nombres positifs, un résultat bien connu de la théorie des séries affirme que

$\displaystyle \sum_{n\geq 1}\sum_{i\geq 1}u_{n,i} = \sum_{i\geq 1}\sum_{n\geq 1}u_{n,i}$

(26)

(appelé ``interversion des sommations'', ou encore ``sommation par paquets''). Ce résultat est aussi une conséquence du corollaire précédent: en effet, soit $E=I\!\!N^*$ , muni de la tribu $\hbox{$\cal E$}$ de toutes les parties et de la mesure de comptage $\mu$ (i.e. $\mu (A)$ est le nombre de point de

). Noter que toute fonction sur

est $\hbox{$\cal E$}$ -mesurable. La formule ci-dessus provient alors du corollaire, si on pose $f_n(i)=u_{n,i}$ . $\Box$

3) Les fonctions de signe quelconque: Il nous reste à définir l'intégrale des fonctions de signe quelconque. Pour cela, on utilise le fait qu'une fonction est toujours la différence de deux fonctions positives, cette décomposition n'étant bien-sûr pas unique. On verra ci-dessous que si est mesurable, on peut choisir et mesurables également. L'idée consiste à définir $\int fd\mu$ comme la différence $\int gd\mu-\int hd\mu$ : mais pour que cela ait un sens, il ne faut pas que la différence ci-dessus soit $\infty-\infty$ .

On a donc intérêt à choisir et ci-dessus aussi petites que possibles (car si on augmente , on augmente de la même quantité pour préserver l'égalité , et donc on augmente les intégrales de et ). Le choix ``minimal'' est le suivant:

$\displaystyle f^+(x) = \sup(0,f(x)),\quad\quad f^-(x) = \sup(0,-f(x)),$

(27)

de sorte qu'on a

$\displaystyle f=f^+-f^-,\qquad \vert f\vert=f^++f^-.$

(28)

sont ce qu'on appelle les parties positive et négative de

, et toute autre décomposition

avec

positives vérifie $g\geq f^+$ et $h\geq f^-$ . Remarquer aussi que si

est mesurable, alors

sont mesurables par (

). Avec ces notations, on peut enfin donner la définition de l'intégrale dans le cas général:

Définition a) On dit que la fonction mesurable à valeurs dans $\bar{I}\!\!\bar{R}$ admet une intégrale par rapport à $\mu$ , ou que ``son intégrale existe'', si on n'a pas à la fois $\int f^+d\mu=\infty$ et $\int f^-d\mu=\infty$ ; dans ce cas l'intégrale de est le nombre

$\displaystyle \int fd\mu = \int f(x)\mu(dx) = \int f^+d\mu-\int f^-d\mu.$

(29)

b) On dit que la fonction mesurable

est intégrable par rapport à $\mu$ (ou: $\mu$ -intégrable) si l'intégrale $\int \vert f\vert d\mu$ est finie. Ceci équivaut à dire que les intégrales de

sont finies (utiliser (

) et le théorème

-(ii)

), de sorte que l'intégrale $\int fd\mu$ existe et est finie.

c) Finalement on note $\hbox{$\cal L$}^1(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ (ou plus simplement $\hbox{$\cal L$}^1$ ) l'ensemble des fonctions à valeurs dans $I\!\!R$ , mesurables et intégrables. $\Box$

Cette terminologie est un peu malheureuse, puisqu'une fonction peut ne pas être intégrable, et cependant avoir une intégrale (qui vaut alors nécessairement $-\infty$ ou $+\infty$ ). Si admet une intégrale, elle est intégrable si et seulement si son intégrale est finie. Avant de donner les principales propriétés de l'intégrale, voici quelques exemples.

Exemples:

1)

Soit $(E,\hbox{$\cal E$})$ un espace mesurable quelconque, et $\mu=\varepsilon _a$ la mesure de Dirac au point

(rappelons que $\mu (A)$ vaut

ou 0 selon que

est dans

ou non). Il est facile de vérifier que toute fonction mesurable

admet une intégrale, qui vaut $\int fd\mu=f(a)$ . Les fonctions intégrables sont celles qui vérifient $f(a)\in I\!\!R$ (elles peuvent prendre les valeurs $+\infty$ et $-\infty$ en dehors de

2)

Soit $E=\{ 1,\ldots,k\}$ , muni de la tribu de toutes les parties et de la mesure de comptage $\mu$ . On a déjà dit que toute fonction sur

est mesurable, et évidemment toute fonction ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Ainsi $\hbox{$\cal F$}^0_+=\hbox{$\cal F$}_+$ est l'ensemble des fonctions à valeurs dans $\bar{I}\!\!\bar{R}_+$ .

Dans cet exemple, une fonction est intégrable si et seulement si elle est à valeurs dans $I\!\!R$ . Une fonction admet une intégrale si et seulement si elle est à valeurs dans $]-\infty,\infty ]$ ou dans $[-\infty,\infty[$ . Dans tous ces cas, on a $\int fd\mu=\sum_{i=1}^kf(i)$

3)

Soit $E=I\!\!N^*$ , muni de la tribu de toutes les parties et de la mesure de comptage $\mu$ . Une fonction

sur

peut être identifiée à la suite $(u_n=f(n))_{n\geq 1}$ des valeurs qu'elle prend, et là encore toute fonction sur

est mesurable. Si

est une fonction positive, on peut construire une suite particulière $(f_n)_{n\geq1}$ de fonctions étagées croissant vers

en posant:

$\displaystyle f_n(i) = \left\{\begin{array}{ll} f(i) \quad & \hbox{si} i\leq n,\ [3mm] 0 & \hbox{si} i>n.\end{array}\right.$

D'après (

) on a $\int f_nd\mu=\sum_{i=1}^nf(i)$ , et le lemme

implique que $\int fd\mu=\sum_{i\geq1}f(i)$ : l'intégrale de

est ainsi la somme de la série de terme général

La définition entraine alors qu'une fonction (de signe quelconque) est intégrable si et seulement si la série de terme général est absolument convergente, et dans ce cas $\int fd\mu=\sum_{i\geq1}f(i)$ . Notons qu'on retrouve ici, en particulier, la propriété (S5) du chapitre 1.

La fonction n'est pas intégrable, mais admet une intégrale, si et seulement si on est dans l'un des cas suivants:

(a) $\sum_{i:f(i)<0}\vert f(i)\vert<\infty$ et $\sum_{i:f(i)>0}f(i)=\infty$ , auquel cas $\int fd\mu=+\infty$ ,

(b) $\sum_{i:f(i)>0}f(i)<\infty$ et $\sum_{i:f(i)<0}\vert f(i)\vert=\infty$ , auquel cas $\int fd\mu=-\infty$ . $\Box$

Théorème (i) L'ensemble $\hbox{$\cal L$}^1(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ de toutes les fonctions qui sont à valeurs réelles et qui sont mesurables et intégrables, est un espace vectoriel.

(ii) L'application $f\mapsto\int fd\mu$ de $\hbox{$\cal L$}^1(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ dans $I\!\!R$ est une forme linéaire positive: on rappelle que cela veut dire que c'est une application linéaire de $\hbox{$\cal L$}^1(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ dans $I\!\!R$ , i.e. $\int (f+g)d\mu=\int fd\mu+\int gd\mu$ et $\int (af)d\mu=a\int fd\mu$ si $a\in I\!\!R$ , et qu'elle est en outre ``positive'' au sens où $\int fd\mu\geq 0$ si $f\geq 0$

(iii) Pour toute fonction de $\hbox{$\cal L$}^1(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ on a

$\displaystyle \vert\int fd\mu\vert \leq \int \vert f\vert d\mu.$

(30)

(iv) Enfin si $f\in\hbox{$\cal L$}^1(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ et si est mesurable et vérifie $\vert g\vert\leq\vert f\vert$ , alors $g\in\hbox{$\cal L$}^1(E,\hbox{$\cal E$},d\mu)$ .

Avant de prouver ce théorème on va énoncer un lemme de ``linéarité'' qui généralise la propriété () et qui concerne les fonctions admettant une intégrale sans être nécessairement intégrables.

Lemme Soit la différence de deux fonctions et de $\hbox{$\cal F$}_+$ . Si l'une des deux intégrales $\int gd\mu$ ou $\int hd\mu$ au moins est finie, alors admet une intégrale, qui vaut $\int fd\mu = \int gd\mu-\int hd\mu$ .

Supposons par exemple que $\int gd\mu<\infty$ . D'une part $f^+\leq g$ , d'autre part . Donc le théorème implique d'une part $\int f^+d\mu\leq\int gd\mu<\infty$ , et d'autre part

$\displaystyle \int f^+d\mu+\int hd\mu = \int f^-d\mu+\int gd\mu.$

On en déduit que $\int fd\mu$ est bien défini par la formule (

), à valeurs dans $[-\infty,\infty[$ , et que

$\displaystyle \int hd\mu = -\int f^+d\mu+\int f^-d\mu+\int gd\mu = -\int fd\mu+\int gd\mu,$

d'où le résultat. $\Box$

Preuve du théorème . Si $f\geq 0$ on a et , donc $\int fd\mu=\int f^+d\mu\geq 0$ .

Si $a\in I\!\!R_+$ on a et . Donc le théorème -(i) et la définition impliquent $af\in\hbox{$\cal L$}^1$ et $\int (af)d\mu=a\int fd\mu$ . Si maintenant $a\in]-\infty,0[$ , on a $(af)^+=-af^-=\vert a\vert f^-$ et $(af)^-=-af^+=\vert a\vert f^+$ : on en déduit par les mêmes arguments que $af\in\hbox{$\cal L$}^1$ et que $\int (af)d\mu=a\int fd\mu$ .

Soit maintenant $f,g\in\hbox{$\cal L$}^1$ . D'abord $\vert f+g\vert\leq \vert f\vert+\vert g\vert$ , donc le théorème -(ii,iii) implique $f+g\in\hbox{$\cal L$}^1$ : cela termine la preuve du fait que $\hbox{$\cal L$}^1$ est un espace vectoriel. Ensuite et les fonctions du second membre ci-dessus sont toutes d'intégrale finie. Le lemme précédent entraine alors

$\displaystyle \int (f+g)d\mu = \int f^+d\mu+\int g^+d\mu-\int f^-d\mu-\int g^-d\mu = \int fd\mu+\int gd\mu.$

On a donc achevé la preuve de la linéarité et de la positivité de $f\mapsto\int fd\mu$ .

Pour tous $a,b\in I\!\!R_+$ on a $\vert a-b\vert\leq a+b$ , donc en utilisant () on obtient

$\displaystyle \vert\int fd\mu\vert = \vert\int f^+d\mu-\int f^-d\mu\vert \leq \int f^+d\mu+\int f^-d\mu = \int \vert f\vert d\mu,$

donc on a (

). Enfin la dernière assertion découle du théorème

-(iii)

. $\Box$

Nous terminons par des résultats de ``continuité'' concernant l'intégrale. Il s'agit des résultats essentiels de la théorie, qui doivent absolument être assimilés. Ils seront encore améliorés plus loin, mais vu leur importance il ne faut pas lésiner sur les répétitions...)

Théorème Soit $(f_n)_{n\geq1}$ une suite de fonctions mesurables.

a) (LEMME DE FATOU) Si est une fonction à valeurs dans $I\!\!R$ et intégrable, on a les implications:

$\displaystyle f_n\geq g \forall n \Rightarrow \int(\liminf_nf_n)d\mu \leq \liminf_n\int f_nd\mu,$

(31)

$\displaystyle f_n\leq g \forall n \Rightarrow \int(\limsup_nf_n)d\mu \geq \limsup_n\int f_nd\mu,$

(32)

b) (THEOREME DE CONVERGENCE DOMINEE DE LEBESGUE) S'il existe une fonction intégrable telle que $\vert f_n\vert\leq g$ pour tout et si la suite converge simplement vers une limite on a

$\displaystyle f\in\hbox{$\cal L$}^1(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ et $\displaystyle \quad\int f_nd\mu \to \int fd\mu.$

(33)

a) Remarquons d'abord que () implique (): en effet si , on a $\limsup_nf_n=-\liminf_nf'_n$ ; si de plus $f_n\leq g$ on a $f'_n\geq -g$ , tandis que si et intégrable il en est de même de : pour obtenir () pour la suite il suffit alors d'appliquer () à la suite .

Pour montrer (), on pose , qui par hypothèse est positive. On a et est intégrable, donc le lemme entraine que $\int f_nd\mu$ est bien définie et vaut $\int f'_nd\mu+\int gd\mu$ . De même si $f=\liminf_nf_n$ et on a $f'\geq 0$ , donc $\int fd\mu$ est bien définie et vaut $\int f'd\mu+\int gd\mu$ . Comme enfin $f'=\liminf_nf'_n$ , il suffit d'appliquer () pour obtenir ().

b) On a clairement $\vert f\vert\leq g$ , donc est intégrable. On a aussi $f=\limsup_nf_n=\liminf_nf_n$ et $-g\leq f_n\leq g$ . Par suite () et () entrainent

$\displaystyle \int fd\mu \leq \liminf_n\int f_nd\mu \leq \limsup_n\int f_nd\mu \leq \int fd\mu.$

La propriété $\int f_nd\mu\to\int fd\mu$ en découle immédiatement. $\Box$

Le lecteur sera particulièrement attentif à l'énoncé du théorème de Lebesgue, dans lequel il y a deux hypothèses: 1) la suite converge simplement, ce qui signifie $f_n(x)\to f(x)$ pour tout , et 2) la suite est ``dominée'' par la fonction , ce qui signifie $\vert f_n(x)\vert\leq g(x)$ pour tout et tout , et en plus est intégrable. Sans la première hypothèse l'énoncé n'a pas de sens car la fonction n'est pas définie. Sans la seconde le théorème est faux, comme le montre l'exemple cité après le théorème : on prend pour tout $x\in E$ , qui converge simplement (et même uniformément !) vers la fonction nulle , alors que si $\mu$ est une mesure infinie les intégrales $\int f_nd\mu$ (qui sont infinies) ne convergent pas vers $\int fd\mu=0$ : dans cet exemple la plus petite fonction dominant la suite est , et elle n'est pas intégrable.

Signalons que le théorème de Lebesgue généralise le théorème 1--(b): avec les notations de ce dernier théorème, et si $f_n=1_{A_n}$ , on a convergence simple de vers , et domination par la fonction .