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L'intégrale des fonctions à valeurs complexes

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L'intégrale des fonctions à valeurs complexes

Il est utile (en particulier en analyse de Fourier, comme on le verra plus loin) d'intégrer des fonctions complexes. Nous allons voir que cette opération est très simple, à condition de considérer une fonction complexe comme un couple de deux fonctions réelles.

Comme dans la section précédente, on fixe un ensemble muni d'une tribu $\hbox{$\cal E$}$ et d'une mesure $\mu$ . Une fonction complexe sur est une application de dans $C\!\!\!\!C$ . Rappelons que tout nombre complexe peut s'écrire de manière unique comme où et sont des réels appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de . On écrit aussi $a=\hbox{$\cal R$}(y)$ et $b={\cal I}(y)$ . Inversement si sont des réels on leur associe le complexe . On peut ainsi identifier les ensembles $C\!\!\!\!C$ et $I\!\!R^2$ , et cette identification est encore valable pour les notions de convergence (et donc pour la topologie): les complexes convergent vers le complexe si et seulement si les deux suites réelles et convergent respectivement vers et . Par suite la tribu borélienne ${\cal C}$ de $C\!\!\!\!C$ peut être identifiée à la tribu borélienne $\hbox{$\cal R$}^2$ de $I\!\!R^2$ .

Toute fonction complexe sur s'écrit $f=\hbox{$\cal R$}(f)+i{\cal I}(f)$ où $\hbox{$\cal R$}(f)$ et ${\cal I}(f)$ sont les fonctions réelles sur définies par $\hbox{$\cal R$}(f)(x)=\hbox{$\cal R$}(f(x))$ et ${\cal I}(f)(x)={\cal I}(f(x))$ . La fonction est mesurable de $(E,\hbox{$\cal E$})$ dans $(C\!\!\!\!C,{\cal C})$ si et seulement si les deux fonctions $\hbox{$\cal R$}(f)$ et ${\cal I}(f)$ sont mesurables de $(E,\hbox{$\cal E$})$ dans $(I\!\!R,\hbox{$\cal R$})$ .

Rappelons encore que le module du complexe est $\vert y\vert=\sqrt{a^2+b^2}$ . Si est une fonction complexe, on a

$\displaystyle \vert f\vert \leq \vert\hbox{$\cal R$}(f)\vert+\vert{\cal I}(f)\v... ...l R$}(f)\vert \leq \vert f\vert,\qquad \vert{\cal I}(f)\vert \leq \vert f\vert.$

(34)

Si de plus

est mesurable

, la fonction $\vert f\vert$ est aussi mesurable par les propositions

Définition La fonction complexe sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ est dite intégrable par rapport à la mesure $\mu$ si d'une part elle est mesurable et si d'autre part la fonction réelle $\vert f\vert$ est intégrable. Cela entraine d'après () que les fonctions réelles $\hbox{$\cal R$}(f)$ et ${\cal I}(f)$ sont intégrables, et l'intégrale de est le nombre complexe suivant:

$\displaystyle \int fd\mu = \int f(x)\mu(dx) = \int\hbox{$\cal R$}(f)d\mu+i\int{\cal I}(f)d\mu. \quad\quad \Box$

(35)

Théorème (i) L'ensemble des fonctions complexes intégrables est un espace vectoriel sur $C\!\!\!\!C$ .

(ii) L'application $f\mapsto\int fd\mu$ de cet espace dans $C\!\!\!\!C$ est une forme linéaire.

(iii) On a pour toute fonction complexe intégrable:

$\displaystyle \vert\int fd\mu\vert \leq \int \vert f\vert d\mu.$

(36)

Compte tenu du théorème les deux premières assertions sont évidentes. Soit une fonction complexe intégrable. Il existe un $z\in C\!\!\!\!C$ avec $\vert z\vert=1$ et tel que le produit $z\int fd\mu$ soit réel, et bien entendu $\vert z\int fd\mu\vert=\vert\int fd\mu\vert$ . Par ailleurs la linéarité montre que $z\int fd\mu=\int (zf)d\mu$ . Comme cette expression est réelle, en comparant à () on voit qu'en fait $z\int fd\mu=\int\hbox{$\cal R$}(zf)d\mu$ . Mais $\vert\hbox{$\cal R$}(zf)\vert\leq \vert zf\vert=\vert f\vert$ par (), donc () et le théorème -(iii) entraînent que $\vert z\int fd\mu\vert\leq\int \vert f\vert d\mu$ et on obtient ainsi (). $\Box$