Il est utile (en particulier en analyse de Fourier, comme on le
verra plus loin) d'intégrer des fonctions complexes. Nous allons voir que
cette opération est très simple, à condition de considérer une
fonction complexe comme un couple de deux fonctions réelles.
Comme dans la section précédente, on fixe un ensemble muni d'une tribu
et d'une mesure . Une fonction complexe sur est une application
de dans
. Rappelons que tout nombre complexe peut s'écrire de
manière unique comme où et sont des réels appelés
respectivement partie réelle et partie imaginaire de . On écrit aussi
et
. Inversement si sont des réels on leur
associe le complexe . On peut ainsi identifier les ensembles
et
, et cette identification est encore valable pour les notions de
convergence (et donc pour la topologie): les complexes
convergent vers le complexe si et seulement si les deux suites
réelles et convergent respectivement vers et . Par
suite la tribu borélienne de
peut être identifiée à
la tribu borélienne
de .
Toute fonction complexe sur s'écrit
où
et
sont les fonctions réelles sur définies par
et
. La fonction est
mesurable de
dans
si et seulement si les deux
fonctions
et
sont mesurables de
dans
.
Rappelons encore que le module du complexe est
. Si est une fonction complexe, on a
(34)
Si de plus est mesurable, la fonction est aussi mesurable
par les propositions et .
Définition La fonction complexe sur
est dite
intégrable par rapport à la mesure si d'une part elle est
mesurable et si d'autre part la fonction réelle
est intégrable. Cela entraine d'après () que les fonctions
réelles
et
sont intégrables, et l'intégrale de
est le nombre complexe suivant:
(35)
Théorème (i) L'ensemble des fonctions complexes
intégrables est un espace vectoriel sur
.
(ii) L'application
de cet espace dans
est une forme linéaire.
(iii) On a pour toute fonction complexe intégrable:
(36)
Compte tenu du théorème les deux premières assertions sont
évidentes. Soit une fonction complexe intégrable. Il existe un
avec et tel que le produit
soit réel, et
bien entendu
. Par ailleurs la linéarité
montre que
. Comme cette expression est réelle,
en comparant à () on voit qu'en fait
.
Mais
par (), donc () et le
théorème -(iii) entraînent que
et on obtient ainsi ().