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L'intégrale des fonctions à valeurs complexes

Il est utile (en particulier en analyse de Fourier, comme on le verra plus loin) d'intégrer des fonctions complexes. Nous allons voir que cette opération est très simple, à condition de considérer une fonction complexe comme un couple de deux fonctions réelles.

Comme dans la section précédente, on fixe un ensemble $ E$ muni d'une tribu $ \hbox{$\cal E$}$ et d'une mesure $ \mu$. Une fonction complexe sur $ E$ est une application de $ E$ dans $ C\!\!\!\!C$. Rappelons que tout nombre complexe $ y$ peut s'écrire de manière unique comme $ y=a+ib$$ a$ et $ b$ sont des réels appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de $ y$. On écrit aussi $ a=\hbox{$\cal R$}(y)$ et $ b={\cal I}(y)$. Inversement si $ a,b$ sont des réels on leur associe le complexe $ y=a+ib$. On peut ainsi identifier les ensembles $ C\!\!\!\!C$ et $ I\!\!R^2$, et cette identification est encore valable pour les notions de convergence (et donc pour la topologie): les complexes $ y_n=a_n+ib_n$ convergent vers le complexe $ y=a+ib$ si et seulement si les deux suites réelles $ (a_n)$ et $ (b_n)$ convergent respectivement vers $ a$ et $ b$. Par suite la tribu borélienne $ {\cal C}$ de $ C\!\!\!\!C$ peut être identifiée à la tribu borélienne $ \hbox{$\cal R$}^2$ de $ I\!\!R^2$.

Toute fonction complexe $ f$ sur $ E$ s'écrit $ f=\hbox{$\cal R$}(f)+i{\cal I}(f)$ $ \hbox{$\cal R$}(f)$ et $ {\cal I}(f)$ sont les fonctions réelles sur $ E$ définies par $ \hbox{$\cal R$}(f)(x)=\hbox{$\cal R$}(f(x))$ et $ {\cal I}(f)(x)={\cal I}(f(x))$. La fonction $ f$ est mesurable de $ (E,\hbox{$\cal E$})$ dans $ (C\!\!\!\!C,{\cal C})$ si et seulement si les deux fonctions $ \hbox{$\cal R$}(f)$ et $ {\cal I}(f)$ sont mesurables de $ (E,\hbox{$\cal E$})$ dans $ (I\!\!R,\hbox{$\cal R$})$.

Rappelons encore que le module du complexe $ y=a+ib$ est $ \vert y\vert=\sqrt{a^2+b^2}$. Si $ f$ est une fonction complexe, on a

$\displaystyle \vert f\vert \leq \vert\hbox{$\cal R$}(f)\vert+\vert{\cal I}(f)\v...
...l R$}(f)\vert \leq \vert f\vert,\qquad \vert{\cal I}(f)\vert \leq \vert f\vert.$ (34)

Si de plus $ f$ est mesurable, la fonction $ \vert f\vert$ est aussi mesurable par les propositions [*] et [*].

Définition   La fonction complexe $ f$ sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$ est dite intégrable par rapport à la mesure $ \mu$ si d'une part elle est mesurable et si d'autre part la fonction réelle $ \vert f\vert$ est intégrable. Cela entraine d'après ([*]) que les fonctions réelles $ \hbox{$\cal R$}(f)$ et $ {\cal I}(f)$ sont intégrables, et l'intégrale de $ f$ est le nombre complexe suivant:

$\displaystyle \int fd\mu = \int f(x)\mu(dx) =  \int\hbox{$\cal R$}(f)d\mu+i\int{\cal I}(f)d\mu. \quad\quad \Box$ (35)


Théorème (i) L'ensemble des fonctions complexes intégrables est un espace vectoriel sur $ C\!\!\!\!C$.

(ii) L'application $ f\mapsto\int fd\mu$ de cet espace dans $ C\!\!\!\!C$ est une forme linéaire.

(iii) On a pour toute fonction complexe intégrable:

$\displaystyle \vert\int fd\mu\vert \leq \int \vert f\vert d\mu.$ (36)


Compte tenu du théorème [*] les deux premières assertions sont évidentes. Soit $ f$ une fonction complexe intégrable. Il existe un $ z\in C\!\!\!\!C$ avec $ \vert z\vert=1$ et tel que le produit $ z\int fd\mu$ soit réel, et bien entendu $ \vert z\int fd\mu\vert=\vert\int fd\mu\vert$. Par ailleurs la linéarité montre que $ z\int fd\mu=\int (zf)d\mu$. Comme cette expression est réelle, en comparant à ([*]) on voit qu'en fait $ z\int fd\mu=\int\hbox{$\cal R$}(zf)d\mu$. Mais $ \vert\hbox{$\cal R$}(zf)\vert\leq \vert zf\vert=\vert f\vert$ par ([*]), donc ([*]) et le théorème [*]-(iii) entraînent que $ \vert z\int fd\mu\vert\leq\int \vert f\vert d\mu$ et on obtient ainsi ([*]). $ \Box$


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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