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L'intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue

Dans cette dernière section nous allons considérer le cas particulier où $ E=I\!\!R$ est muni de sa tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue $ \lambda $. La théorie de l'intégration dans ce cas n'est nullement plus simple que dans le cas général vu plus haut, mais il est évidemment important de vérifier que l'intégrale obtenue dans ce chapitre (qu'on appelle ``intégrale de Lebesgue'') coïncide avec l'intégrale de Riemann lorsque celle-ci existe.

Pour montrer en toute généralité qu'une fonction Riemann-intégrable est aussi Lebesgue-intégrable il nous manque encore un outil qui sera développé dans le chapitre suivant. Mais nous pouvons dès à présent montrer que pour une fonction $ f$ qui est continue par morceaux (cela veut dire qu'il existe un nombre fini de réels $ a_1<\ldots<a_k$ tels que la fonction $ f$ soit continue en tout point $ x$ différent de tous les $ a_i$, et telle qu'en plus elle admette une limite à droite et une limite à gauche finies en chacun des points $ a_i$), les deux intégrales coïncident (dans la pratique, on n'intègre jamais au sens de Riemann des fonctions qui ne sont pas continues par morceaux).

Considérons donc une fonction $ f$ sur $ I\!\!R$, continue par morceaux, qu'on va intégrer sur un intervalle borné $ [a,b]$. On note $ D$ l'ensemble fini constitué des points $ a$ et $ b$ et des points de $ ]a,b[$$ f$ n'est pas continue, et $ C=[a,b]\backslash D$. On va considérer pour chaque $ n$ une subdivision $ \alpha (n,0)<\ldots<\alpha (n,k_n)$ de $ [a,b]$ en $ k_n$ sous-intervalles (donc $ \alpha (n,0)=a$ et $ \alpha (n,k_n)=b$), de sorte que tous les points de $ D$ soient des points de subdivision, et que le pas de cette subdivision (i.e. $ \sup_i(\alpha (n,i)-\alpha (n,i-1))$) tende vers 0 quand $ n\to\infty$. Soit aussi $ \beta (n,i)$ un point quelconque de $ ]\alpha (n,i-1),\alpha (n,i)[$. Avec ces notations, on sait que l'intégrale de Riemann $ \int_a^bf(x)dx$ est la limite des suites

$\displaystyle I_n = \sum_{i=1}^{k_n}f(\beta (n,i))(\alpha (n,i)-\alpha (n,i-1)).$

Soit alors pour chaque $ n$ la fonction

$\displaystyle f_n(x) = \left\{\begin{array}{ll}
f(\beta (n,i)) \quad & \hbox{si...
...) & \hbox{si}  x\in D \ [3mm]
0 & \hbox{si}  x\notin[a,b].
\end{array}\right. $

Une autre manière d'écrire $ f_n$ est la suivante:

$\displaystyle f_n = \sum_{i=1}^{k_n}f(\beta (n,i))1_{[\alpha (n,i-1),\alpha (n,i)[\cap C}+
\sum_{u\in D}f(u)1_{\{ u\}},$

et sur cette expression on voit immédiatement que $ f_n$ est borélienne et que son intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue est

$\displaystyle \int f_nd\lambda = \sum_{i=1}^{k_n}f(\beta (n,i))\lambda ([\alpha (n,i-1),\alpha (n,i)]\cap C)+
\sum_{u\in D}f(u)\lambda (\{ u\}).$

La mesure de Lebesgue d'un singleton est nulle, et $ \lambda ([\alpha (n,i-1),\alpha (n,i)[\cap C)=\alpha (n,i)-\alpha (n,i-1)$: donc $ \int
f_nd\lambda =I_n$.

Par ailleurs, étant données les propriétés de $ f$ il est très facile de voir que la suite $ (f_n)_n$ converge simplement (et même uniformément) vers la fonction $ f'=f1_{[a,b]}$, de sorte que $ f$ est borélienne. De plus $ \vert f_n\vert\leq g$ pour tout $ n$, si $ g$ désigne la fonction égale à 0 sur le complémentaire de $ [a,b]$ et à $ \sup_{x\in[a,b]}(\vert f(x)\vert)$ sur $ [a,b]$. La fonction $ g$ étant intégrable, on peut appliquer le théorème de Lebesgue, qui implique que $ \int
f_nd\lambda =I_n$ converge vers $ \int f'd\lambda $. Par suite on a

$\displaystyle \int_a^bf(x)dx = \int (f1_{[a,b]}d\lambda .$ (37)

Remarquons au passage que la notation $ \int_a^bf(x)dx$ est très commode. On va donc l'utiliser aussi pour l'intégrale de Lebesgue. Plus précisément, si $ \mu$ est une mesure quelconque sur un espace mesurable $ (E,\hbox{$\cal E$})$ et si une fonction $ f$ admet une intégrale $ \int fd\mu$, pour tout $ A\in\hbox{$\cal E$}$ la fonction $ f1_A$ admet également une intégrale (exercice: pourquoi ?), et on utilise les notations $ \int_Afd\mu$ ou $ \int_Af(x)\mu(dx)$ au lieu de $ \int
(f1_A)d\mu$. Lorsque de plus $ \mu$ est la mesure de Lebesgue sur $ I\!\!R$ on écrit aussi $ \int_Af(x)dx$ au lieu de $ \int_Af(x)\lambda (dx)$. Si enfin $ A=[a,b]$ on écrira $ \int_a^bf(x)dx$, même si $ f$ n'est pas intégrable au sens de Riemann.

Noter qu'il existe beaucoup de fonctions qui sont intégrables au sens de Lebesgue, mais pas de Riemann; par exemple l'indicatrice $ f=1_{Q\!\!\!\!Q\cap[0,1]}$ de l'ensemble des rationnels de $ [0,1]$ est mesurable (et en fait étagée), intégrable et d'intégrale nulle, mais elle n'est pas Riemann-intégrable.

Passons maintenant aux intégrales ``sur $ I\!\!R$ tout entier'': on peut définir sous certaines conditions l'intégrale impropre $ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$ au sens de Riemann, comme la limite des intégrales de Riemann $ \int_a^bf(x)dx$ lorsque $ a\to -\infty$ et $ b\to
+\infty$. La situation est en fait analogue à celle des séries (ce n'est pas un hasard: on a vu que la somme d'une série est en fait l'intégrale d'une fonction sur $ I\!\!N$ relativement à la mesure de comptage, qui est l'exact analogue de la mesure de Lebesgue): la fonction $ f$ (pour le moment continue par morceaux, mais cela s'appliquera à toutes les fonctions Riemann-intégrables sur chaque intervalle borné $ [a,b]$) est intégrable pour la mesure de Lebesgue (i.e. appartient à $ \hbox{$\cal L$}^1(I\!\!R,\hbox{$\cal R$},\lambda )$) si et seulement si l'intégrale $ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ est absolument convergente (ce qui signifie que $ \int_{-\infty}^{+\infty}\vert f(x)\vert dx<\infty$), et dans ce cas les intégrales au sens de Lebesgue et de Riemann coïncident et égalent la limite de $ \int_{-n}^nf(x)dx$ quand $ n\to\infty$.

Remarque sur la terminologie: Soit $ A$ un borélien de $ I\!\!R$. On munit $ A$ de la tribu $ \hbox{$\cal R$}_A$ des parties de $ I\!\!R$ qui sont boréliennes et contenues dans $ A$ (cette classe de parties est évidemment une tribu, et c'est aussi l'ensemble des parties de $ A$ qui, considérées comme parties de $ I\!\!R$ sont boréliennes).

Il sera commode dans la suite d'appeler ``mesure de Lebesgue sur $ A$ '' la mesure sur $ (A,\hbox{$\cal R$}_A)$ définie pour tout $ B\in\hbox{$\cal R$}_A$ par $ \mu(B)=\lambda (B)$ (le lecteur comparera cette mesure avec la restriction $ \lambda _{\vert A}$ de $ \lambda $ à $ A$). La mesure ainsi définie sera notée habituellement $ \lambda $, comme si on était sur l'espace $ I\!\!R$ tout entier. Remarquer que $ \int_Af(x)dx$ ou $ \int_Af(x)\lambda (dx)$ (notations du début de la page) signifie alors aussi l'intégrale de $ f$ (considérée comme fonction sur $ A$) par rapport à la mesure de Lebesgue sur $ A$: toutes ces notations et cette terminologie sont donc cohérentes.

Le même abus de terminologie s'applique pour la mesure de Lebesgue sur $ I\!\!R^d$, ou sur une partie borélienne de $ I\!\!R^d$.

$ \quad$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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