Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
175 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Ensembles négligeables et complétion de tribus next up previous
suivant: Théorème de convergence dominée: monter: aic précédent: aic

Ensembles négligeables et complétion de tribus

1) Les ensembles négligeables:   Donnons nous un espace mesurable quelconque $ (E,\hbox{$\cal E$})$, muni d'une mesure $ \mu$. Un élément $ A$ de $ \hbox{$\cal E$}$ est dit $ \mu$-négligeable si $ \mu(A)=0$. A certains égards il est naturel de dire aussi que tout sous-ensemble $ B$ de $ A$ est $ \mu$-négligeable, qu'il appartienne à $ \hbox{$\cal E$}$ ou non: par exemple sur $ I\!\!R$ muni de la mesure de Lebesgue, toute partie d'un borélien de ``longueur'' nulle est naturellement qualifié aussi d'une longueur nulle. Cela conduit à la définition suivante:

Définition    Une partie $ B$ de $ E$ est dite $ \mu$-négligeable (ou négligeable par rapport à $ \mu$, ou simplement négligeable s'il n'y a pas d'ambiguïté quant à la mesure $ \mu$) s'il existe un ensemble $ A\in\hbox{$\cal E$}$ tel que $ B\subset A$ et que $ \mu(A)=0$.

De plus, une propriété $ \hbox{$\cal P$}$ relative aux points de $ E$ est dite vraie $ \mu$-presque partout si le complémentaire de l'ensemble des points $ x$ où elle est réalisée est $ \mu$-négligeable; en abrégé on écrit: $ \hbox{$\cal P$}$ est vraie $ \mu$-p.p. $ ~\Box$

Par exemple, si $ f$ et $ g$ sont deux fonctions sur $ E$, on dit que $ f=g
~~\mu$-p.p. si l'ensemble $ \{ f\neq g\}$ est négligeable, ou que $ f<g~~
\mu$-p.p. si l'ensemble $ \{ f\geq g\}$ est négligeable, etc... Si $ A$ et $ B$ sont deux parties de $ E$, on écrit aussi par abus de notation $ A=B$ $ \mu$-p.p. (resp. $ A\subset B$ $ \mu$-p.p.) lorsque l'ensemble $ A\Delta
B$ est négligeable (resp. l'ensemble $ A\cap B^c$ est négligeable), ce qui revient aussi à dire que $ 1_A=1_B~~\mu$-p.p. (resp. $ 1_A\leq1_B~~\mu$-p.p.).

Exemples:

1)
Supposons que la tribu $ \hbox{$\cal E$}$ contienne les singletons $ \{ x\}$. Si $ \mu$ est la mesure de Dirac au point $ a\in E$, un ensemble $ A$ est $ \mu$-négligeable si et seulement s'il ne contient pas $ a$ (en effet le plus grand ensemble de $ \mu$-mesure nulle qui soit contenu dans $ \hbox{$\cal E$}$ est le complémentaire $ \{ a\}^c$). Noter que cette propriété est vraie quelle que soit la tribu $ \hbox{$\cal E$}$ contenant les singletons (ou même, quelle que soit la tribu $ \hbox{$\cal E$}$ contenant le singleton $ \{ a\}$).

2)
Si la tribu est engendrée par une partition finie ou dénombrable $ (A_i)_{i\in I}$, une partie de $ E$ est négligeable si et seulement si elle est contenue dans la réunion $ \cup_{i\in J}A_i$, où $ J$ est l'ensemble des indices $ i$ pour lesquels $ \mu(A_i)=0$.

3)
Si $ \mu$ est la mesure nulle, toutes les parties de $ E$ sont négligeables; cette mesure est clairement la seule pour laquelle $ E$ lui-même est négligeable.

Voici quelques propriétés simples de la classe $ \hbox{$\cal N$}$ des ensembles négligeables:

Proposition La classe $ \hbox{$\cal N$}$ vérifie les propriétés suivantes:

$\displaystyle \emptyset \in\hbox{$\cal N$},$ (1)

$\displaystyle B\subset A,\quad A\in\hbox{$\cal N$}\quad\Rightarrow\quad B\in\hbox{$\cal N$},$ (2)

$\displaystyle A_i\in\hbox{$\cal N$}\quad\forall i\in I,\quad I~~\hbox{\rm fini ou d\'enombrable}\qquad\Rightarrow\qquad \cup_{i\in I}A_i\in\hbox{$\cal N$},$ (3)

$\displaystyle A_i\in\hbox{$\cal N$}\quad\forall i\in I,\quad I~~\hbox{\rm quelconque}\qquad \Rightarrow\qquad\cap_{i\in I}A_i\in\hbox{$\cal N$}.$ (4)


([*]) est évident puisque $ \emptyset \in\hbox{$\cal E$}$ et $ \mu(\emptyset )=0$. Si $ A\in\hbox{$\cal N$}$ il existe $ A'\in\hbox{$\cal E$}$ tel que $ A\subset A'$ et $ \mu(A')=0$ par définition. Si alors $ B\subset A$ on a aussi $ B\subset A'$, et on en déduit que $ B\in\hbox{$\cal N$}$: d'où ([*]).

Pour les deux autres propriétés, remarquons que pour chaque $ i$ il existe $ B_i\in\hbox{$\cal E$}$ avec $ \mu(B_i)=0$ et $ A_i\subset B_i$. Par suite $ \cap_{i\in
I}A_i\subset B_j$ pour n'importe quel $ j\in I$, de sorte qu'on a ([*]). On a aussi $ \cup_{i\in I}A_i\subset\cup_{i\in I}B_i$; si $ I$ est fini ou dénombrable, $ \cup_{i\in I}B_i$ est dans $ \hbox{$\cal E$}$ et de mesure nulle (cf. (1-[*])), de sorte qu'on a ([*]). $ ~\Box$

Il découle immédiatement de ([*]) ci-dessus que

$\displaystyle f=f'~~\mu-$p.p. et$\displaystyle ~~g=g'~~\mu$-p.p.$\displaystyle \quad\Rightarrow\quad f+g=f'+g'~~\mu-$p.p.$\displaystyle ,~~af=af'~~\mu-$p.p. (5)

$\displaystyle f_n=g_n~~\mu-$p.p.$\displaystyle ~~\forall n\in I\!\!N\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}...
...~\mu-\mbox{p.p.}\\ \liminf_nf_n=\liminf_ng_n~~\mu-\mbox{p.p.}\end{array}\right.$ (6)

2) La tribu complétée: Par définition, on appelle tribu complétée de $ \hbox{$\cal E$}$ par rapport à $ \mu$ la tribu engendrée par la réunion $ \hbox{$\cal E$}\cup\hbox{$\cal N$}$.

Voici d'abord une description de cette tribu complétée:

Proposition La tribu complétée de $ \hbox{$\cal E$}$ par rapport à $ \mu$ égale chacune des trois classes suivantes de parties de $ E$:

a) La classe des parties $ A$ de $ E$ pour lesquelles il existe deux éléments $ B$ et $ C$ de $ \hbox{$\cal E$}$ avec

$\displaystyle B\subset A\subset C,\quad\quad\mu(C\backslash B)=0.$ (7)

b) La classe des parties $ A$ de $ E$ pour lesquelles il existe $ B\in\hbox{$\cal E$}$ et $ N\in\hbox{$\cal N$}$ avec

$\displaystyle A~=~B\cup N.$ (8)

c) La classe des parties $ A$ de $ E$ pour lesquelles il existe $ B\in\hbox{$\cal E$}$ avec

$\displaystyle A=B~~\mu-\hbox{\rm p.p.~~~(i.e.}~ A\Delta B\in\hbox{$\cal N$}).$ (9)


Soit $ \hbox{$\cal F$}$ la tribu complétée; notons $ \hbox{$\cal A$}$, $ \hbox{$\cal B$}$ et $ \cal{C}$ les classes de parties décrites dans (a), (b) et (c). ([*]) implique que $ N=A\backslash B$ est dans $ \hbox{$\cal N$}$, donc on a aussi ([*]): par suite $ \hbox{$\cal A$}\subset\hbox{$\cal B$}$. Si on a ([*]) il vient $ A\Delta B\subset N$, donc on a aussi ([*]) et $ \hbox{$\cal B$}\subset\cal{C}$. Si on a ([*]) il existe $ D\in\hbox{$\cal E$}$ avec $ A\Delta B\subset D$ et $ \mu(D)=0$: si alors $ B'=B\cap D^c$ et $ C'=B\cup D$ il vient $ B'\subset A\subset C'$ et $ B'\in\hbox{$\cal E$}$, $ C'\in\hbox{$\cal E$}$ et $ C'\backslash B'\subset D$, donc $ \mu(C'\backslash B')=0$: on a donc ([*]), de sorte que $ \cal{C}\subset\hbox{$\cal A$}$. Donc finalement $ \hbox{$\cal A$}=\hbox{$\cal B$}=\cal{C}$.

Il est clair que $ \hbox{$\cal B$}\subset\hbox{$\cal F$}$, et que $ \hbox{$\cal E$}\subset\hbox{$\cal B$}$ (prendre $ N=\emptyset $ dans ([*])) et $ \hbox{$\cal N$}\subset\hbox{$\cal B$}$ (prendre $ A=\emptyset $ dans ([*])). Il reste donc à prouver que $ \hbox{$\cal B$}=\cal{C}$ est une tribu.

Que $ E\in\cal{C}$ est évident. Si $ A$ vérifie ([*]) avec $ B\in\hbox{$\cal E$}$, alors $ A^c$ vérifie aussi ([*]) avec $ B^c$ (puisque $ A^c\Delta
B^c=A\Delta B$), tandis que $ B^c\in\hbox{$\cal E$}$: donc $ A^c\in\cal{C}$. Si enfin les $ A_n$ vérifient ([*]) avec les $ B_n\in\hbox{$\cal E$}$, et si $ A=\cup_nA_n$ et $ B=\cup_nB_n$ on a $ B\in\hbox{$\cal E$}$, et $ A\Delta B\subset\cup_n(A_n\Delta B_n)$; cette dernière réunion est dans $ \hbox{$\cal N$}$ en vertu de ([*]), donc également $ A\Delta
B$ en vertu de ([*]): par suite $ A\in\cal{C}$. Cela achève de prouver que $ \cal{C}$ est une tribu. $ ~\Box$

Proposition Soit $ \hbox{$\cal F$}$ la tribu complétée de $ \hbox{$\cal E$}$. Une fonction $ f$ sur $ E$ à valeurs dans $ I\!\!R$ ou dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}$ est $ \hbox{$\cal F$}$-mesurable si et seulement si l'une des deux conditions équivalentes suivantes est satisfaite:

a) Il existe une fonction $ \hbox{$\cal E$}$-mesurable $ f'$ telle que $ f=f'~~\mu$-p.p. (i.e. l'ensemble $ \{ f\neq f'\}$ est $ \mu$-négligeable).

b) Il existe deux fonctions $ \hbox{$\cal E$}$-mesurables $ g$ et $ h$ telles que

$\displaystyle g~\leq~f~\leq~h,\qquad g~=~h~~\mu-\hbox{\rm p.p.}$ (10)


On a (b) $ \Rightarrow$(a): prendre par exemple $ f'=g$ ou $ f'=h$.

Supposons (a). Pour tout $ x\in I\!\!R$, on a $ \{ f<x\}\Delta\{ f'<x\}\subset\{
f'\neq f\}$, donc $ \{ f<x\}\Delta\{ f'<x\}\in\hbox{$\cal N$}$. Comme $ \{ f'<x\}\in\hbox{$\cal E$}$ en vertu de la $ \hbox{$\cal E$}$-mesurabilité de $ f'$, on obtient $ \{ f<x\}\in\hbox{$\cal F$}$ par la proposition précédente. Ceci étant vrai pour tout $ x\in I\!\!R$, il suffit d'appliquer la proposition 2-[*] pour obtenir que $ f$ est $ \hbox{$\cal F$}$-mesurable.

Il reste à montrer que si $ f$ est $ \hbox{$\cal F$}$-mesurable on a (b). Pour cela on considère la classe $ \hbox{$\cal U$}$ de toutes les fonctions $ f$ à valeurs dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}_+$ et qui vérifient (b). Cette classe est stable par addition: si $ f,f'\in\hbox{$\cal U$}$ sont associées respectivement aux couples $ (g,h)$ et $ (g',h')$ par ([*]), on peut évidemment supposer que $ g\geq 0$ et $ g'\geq 0$; alors $ g+g'$ et $ h+h'$ sont $ \hbox{$\cal E$}$-mesurables et $ g+g'\leq f+f'\leq h+h'$ et $ \{ g+g'<h+h'\}\subset\{ g<h\}\cup\{ g'<h'\}$, donc $ \mu(\{ g+g'<h+h'\})=0$, de sorte qu'on a bien $ f+f'\in\hbox{$\cal U$}$. La classe $ \hbox{$\cal U$}$ est également stable par multiplication par une constante positive (même démonstration), et aussi par limite croissante: supposons que les $ (f_n)_{n\geq1}$ soient dans $ \hbox{$\cal U$}$ et croissent vers $ f$; soit $ (g_n,h_n)$ le couple associé à $ f_n$ par ([*]); les fonctions $ g=\sup_ng_n$ et $ h=\sup_nh_n$ sont $ \hbox{$\cal E$}$-mesurables (proposition 2-[*]); on a clairement $ g\leq f\leq h$; enfin $ \{ g<h\}\subset\cup_n\{ g_n<h_n\}$, qui est négligeable par ([*]).

Remarquer que tout $ A\in\hbox{$\cal F$}$ vérifie ([*]): on a donc $ 1_B\leq1_A\leq1_C$ et $ 1_B=1_C~~\mu$-p.p., de sorte que $ 1_A\in\hbox{$\cal U$}$. En utilisant les propriétés prouvées ci-dessus on en déduit que $ \hbox{$\cal U$}$ contient toutes les fonctions de la forme $ \sum_{i=1}^na_i1_{A_i}$ pour $ a_i\geq 0$ et $ A_i\in\hbox{$\cal F$}$: en d'autres termes, $ \hbox{$\cal U$}$ contient toutes les fonctions $ \hbox{$\cal F$}$-mesurables étagées positives. A cause de la stabilité de $ \hbox{$\cal U$}$ par limite croissante, et en utilisant le lemme 2-[*], on voit que $ \hbox{$\cal U$}$ contient toutes les fonctions $ \hbox{$\cal F$}$-mesurables à valeurs dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}_+$ (d'après ce qui est montré au début de la preuve, $ \hbox{$\cal U$}$ est en fait exactement l'ensemble de ces fonctions).

Il reste à examiner le cas où $ f$ est $ \hbox{$\cal F$}$-mesurable de signe quelconque. D'après ce qui précède il existe deux couples de fonctions $ \hbox{$\cal E$}$-mesurables $ (g',h')$ et $ (g'',h'')$ tels que $ 0\leq g'\leq f^+\leq h'$ et $ 0\leq g''\leq f^-\leq h''$ et que $ g'=f'~~\mu$-p.p. et $ g''=h''~~\mu$-p.p.; noter qu'on peut toujours remplacer $ h''$ par la fonction $ \hbox{$\cal E$}$-mesurable $ h''1_{\{ g'=0\}}$ (car si $ g'>0$ on a $ f^+>0$, donc $ f^-=0$), ce qui revient à supposer que $ h''=0$ sur $ \{ g'=+\infty\}$, et on peut de même supposer que $ h'=0$ sur $ \{ g'=+\infty\}$. Les fonctions $ g=g'-h''$ et $ h=h'-g''$ sont $ \hbox{$\cal E$}$-mesurables et vérifient $ g\leq f\leq h$ et $ g=h~~\mu$-p.p.: donc $ f$ vérifie ([*]), et la preuve est terminée.  $ \Box$

3) Extension de la mesure à la tribu complétée:  On va maintenant étendre la mesure $ \mu$ à la tribu complétée $ \hbox{$\cal F$}$ de $ \hbox{$\cal E$}$ par rapport à $ \mu$. On va commencer par un lemme qui sera amélioré plus loin.

Lemme a) Si $ A$ et $ B$ sont deux parties $ \hbox{$\cal E$}$-mesurables vérifiant $ A=B~~\mu$-p.p., on a $ \mu(A)=\mu(B)$.

b) Si $ f$ et $ g$ sont deux fonctions $ \hbox{$\cal E$}$-mesurables vérifiant $ f=g
~~\mu$-p.p., alors $ f$ admet une intégrale (resp. est intégrable) si et seulement si $ g$ admet une intégrale (resp. est intégrable), et on a alors $ \int fd\mu=\int gd\mu$.

Comme $ A=B~~\mu$-p.p. équivaut à dire que $ 1_A=1_B~~\mu$-p.p., (a) découle de (b) appliqué à $ f=1_A$ et $ g=1_B$.

Comme $ f=g
~~\mu$-pp. implique $ f^+=g^+~~\mu$-pp. et $ f^-=g^-~~\mu$-pp., il suffit clairement de montrer que si $ f$ et $ g$ sont positives, on a $ \int fd\mu=\int gd\mu$. Mais si $ h$ est la fonction qui vaut $ +\infty$ aux points où $ f\neq g$ et qui vaut 0 là où $ f=g$, on a $ f\leq g+h$, tandis que le fait que $ h$ soit étagée avec deux valeurs 0 et $ +\infty$ conduit à $ \int hd\mu=+\infty\times\mu(\{ f\neq g\})=0$. Donc $ \int fd\mu\leq\int
gd\mu$, et l'inégalité inverse se montre de la même manière. $ ~\Box$

Proposition Pour tout $ A\in\hbox{$\cal F$}$ la formule

$\displaystyle \mu'(A)~=~\mu(B)~~~\hbox{\rm si}~~~A=B\cup N~~\hbox{\rm avec~ $B\in\hbox{$\cal E$}$~ et~ $N\in\hbox{$\cal N$}$}.$ (11)

définit un nombre $ \mu'(A)$ qui ne dépend pas de la décomposition $ A=B\cup N$ choisie dans ([*]). L'application $ A\mapsto\mu'(A)$ de $ \hbox{$\cal F$}$ dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}_+$ définit une mesure $ \mu'$ sur $ (E,\hbox{$\cal F$})$ qui est une extension de $ \mu$ au sens où $ \mu'(A)=\mu(A)$ si $ A\in\hbox{$\cal E$}$. Cette extension est l'unique extension possible de $ \mu$ à $ \hbox{$\cal F$}$, et on l'appelle la mesure complétée.

Soit $ A=B\cup N=B'\cup N'$ deux décompositions de $ A\in\hbox{$\cal F$}$ avec $ B,B'\in\hbox{$\cal E$}$ et $ N,N'\in\hbox{$\cal N$}$. Comme $ B\Delta B'\subset N\cup N'$ et comme $ N\cup
N'$ est négligeable, donc contenu dans un $ C\in\hbox{$\cal E$}$ avec $ \mu(C)=0$, on a $ \mu(B\Delta B')=0$, ce qui implique $ \mu(B)=\mu(B')$: ainsi la formule ([*]) ne dépend pas de la décomposition choisie pour $ A$.

Il est clair que $ \mu'(A)=\mu(A)$ si $ A\in\hbox{$\cal E$}$, et en particulier $ \mu'(\emptyset )=0$. Pour montrer que $ \mu'$ est une mesure il reste donc à prouver la $ \sigma $-additivité. Soit une suite $ (A_n)_{n\geq1}$ d'éléments de $ \hbox{$\cal F$}$ deux-à-deux disjoints, de décompositions $ A_n=B_n\cup N_n$ avec $ B_n\in\hbox{$\cal E$}$ et $ N_n\in\hbox{$\cal N$}$. On a $ \cup_nA_n=(\cup_nB_n)
\cup(\cup_nN_n)$, et $ \cup_nB_n\in\hbox{$\cal E$}$, et $ \cup_nN_n\in\hbox{$\cal N$}$, et enfin les $ B_n$ sont aussi deux-à-deux disjoints: on a donc

$\displaystyle \mu'(\cup_nA_n)~=~\mu(\cup_nB_n)~=~\sum_n\mu(B_n)~=~\sum_n\mu'(A_n).$

Soit enfin $ \mu''$ une autre mesure sur $ \hbox{$\cal F$}$ qui étend $ \mu$. Si $ A=B\cup N$ est dans $ \hbox{$\cal F$}$, avec $ B\in\hbox{$\cal E$}$ et $ N\in\hbox{$\cal N$}$, il existe $ C\in\hbox{$\cal E$}$ avec $ N\subset C$ et $ \mu(C)=0$. Comme $ B\subset A\subset B\cup C$ il vient

$\displaystyle \mu(B)~=~\mu''(B)~\leq~\mu''(A)~\leq~\mu''(B\cup C)~=~\mu(B\cup C)~\leq~
\mu(B)+\mu(C)~=~\mu(B),$

de sorte que $ \mu''(A)=\mu(B)$, qui égale $ \mu'(A)$ par ([*]), donc $ \mu''=\mu'$.$ ~\Box$

Voici maintenant un résultat qui contient l'amélioration promise du lemme [*]:

Proposition a) La classe des ensembles négligeables pour $ \mu'$ est la même que la classe $ \hbox{$\cal N$}$ des ensembles négligeables pour $ \mu$.

b) Si $ f$ est une fonction $ \hbox{$\cal F$}$-mesurable, pour toute fonction $ \hbox{$\cal E$}$-mesurable $ g$ égale $ \mu$-p.p. à $ f$ (il en existe d'après la proposition [*]), on a que $ f$ admet une intégrale (resp. est intégrable) par rapport à $ \mu'$ si et seulement si $ g$ admet une intégrale (resp. est intégrable) par rapport à $ \mu$, et dans ce cas $ \int fd\mu'=\int gd\mu$.

a) Il est clair que la classe $ \hbox{$\cal N$}$ est contenue dans la classe $ \hbox{$\cal N$}'$ des ensembles $ \mu'$-négligeables. Inversement si $ A\in\hbox{$\cal N$}'$ il existe $ B\in\hbox{$\cal F$}$ avec $ A\subset B$ et $ \mu'(B)=0$; mais ([*]) implique alors que $ B=C\cup N$ avec $ N\in\hbox{$\cal N$}$ et $ C\in\hbox{$\cal E$}$ et $ \mu(C)=0$: on a donc aussi $ C\in\hbox{$\cal N$}$, donc $ B\in\hbox{$\cal N$}$; donc $ A\in\hbox{$\cal N$}$ (appliquer la proposition [*]): il s'ensuit que $ \hbox{$\cal N$}=\hbox{$\cal N$}'$.

b) Comme $ \mu'$ est une extension de $ \mu$, on a clairement qu'une fonction $ \hbox{$\cal E$}$-mesurable $ g$ admet une intégrale (resp. est intégrable) par rapport à $ \mu$ et et seulement si c'est la cas aussi par rapport à $ \mu'$, et on a alors $ \int gd\mu'=\int gd\mu$. Par ailleurs, (a) implique qu'une propriété est vraie $ \mu$-p.p. si et seulement si elle est vraie $ \mu'$-p.p.: la partie (b) découle alors du lemme [*] appliqué à la mesure $ \mu'$ et à la tribu $ \hbox{$\cal F$}$. $ ~\Box$

Cette proposition montre qu'il ne sert à rien de ``compléter'' la tribu $ \hbox{$\cal F$}$ par rapport à la mesure $ \mu'$: en effet les ensembles $ \mu'$-négligeables sont contenus dans $ \hbox{$\cal F$}$, de sorte que $ \hbox{$\cal F$}$ est sa propre complétée.

Notation: Comme $ \mu'$ est l'unique extension de $ \mu$ à la tribu $ \hbox{$\cal F$}$, et comme les intégrales des fonctions $ \hbox{$\cal E$}$-mesurables sont les mêmes par rapport à $ \mu$ ou à $ \mu'$, il est habituel de noter encore $ \mu$ la mesure précédemment appelée $ \mu'$. $ ~\Box$

Exemples:

1)
Supposons que $ \mu=\varepsilon _a$ soit la masse de Dirac en $ a$, et que la tribu $ \hbox{$\cal E$}$ contienne le singleton $ \{ a\}$. On a vu qu'une partie de $ E$ est négligeable si et seulement si elle ne contient pas le point $ a$. La tribu complétée $ \hbox{$\cal F$}$ est alors la tribu $ \hbox{$\cal F$}=\hbox{$\cal P$}(E)$ de toutes les parties de $ E$, et la mesure complétée $ \mu'$ est la masse de Dirac en $ a$ (mais, maintenant, sur l'espace mesurable $ (E,\hbox{$\cal P$}(E))$).

2)
Supposons que $ (E,\hbox{$\cal E$})=(I\!\!R,\hbox{$\cal R$})$ soit muni de la mesure de Lebesgue $ \lambda $. La tribu complétée $ \hbox{$\cal F$}$ de $ \hbox{$\cal R$}$ s'appelle la tribu de Lebesgue. Elle est strictement plus grande que la tribu borélienne, mais elle est strictement plus petite que la tribu de toutes les parties $ \hbox{$\cal P$}(I\!\!R)$.

4) Nous allons terminer ce paragraphe avec quelques résultats en rapport plus ou moins proche avec les ensembles négligeables. Commençons par un lemme qui, connu sous le nom d'inégalité de Bienaymé-Tchebicheff, est utile dans de nombreuses applications. Dans ce qui suit on considère l'espace mesuré $ (E,\hbox{$\cal E$},\mu)$, mais on pourrait tout aussi bien se placer sur l'espace ``complété'' $ (E,\hbox{$\cal F$},\mu')$.

Lemme Si $ f$ est une fonction mesurable à valeurs dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}$, on a pour tout $ a\in]0,\infty[$:

$\displaystyle \mu(\{\vert f\vert\geq a\})~\leq~{1\over a}\int\vert f\vert d\mu.$ (12)


La fonction $ g=a1_{\{\vert f\vert\geq a\}}$ vérifie $ g\leq\vert f\vert$, donc $ \int gd\mu\leq\int\vert f\vert d\mu$. Comme $ \int gd\mu=a\mu(\{\vert f\vert\geq a\})$, on en déduit immédiatement ([*]). $ ~\Box$

Corollaire Si $ f$ est une fonction mesurable à valeurs dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}$, intégrable, alors l'ensemble $ \{\vert f\vert=+\infty\}$ est négligeable (i.e. on a $ \vert f\vert<+\infty~~\mu$-p.p.).

On a $ \mu(\{\vert f\vert=+\infty\})\leq \mu(\{\vert f\vert\geq n\})\leq{1\over
n}\int\vert f\vert d\mu$ par ([*]). Comme $ \int\vert f\vert d\mu<+\infty$, il suffit de faire tendre $ n$ vers l'infini pour obtenir le résultat. $ ~\Box$

Pour bien comprendre ce résultat, il faut noter que si la fonction $ f$ est intégrable, elle n'est pas nécessairement à valeurs finies: modifier $ f$ (par exemple remplacer les valeurs de $ f$ par $ +\infty$) sur un ensemble négligeable n'altère pas son intégrabilité.

Corollaire a) Si $ (f_n)_{n\geq1}$ est une suite de fonctions mesurables à valeurs dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}_+$ et si $ \sum_n\int f_nd\mu<\infty$, on a $ \sum_nf_n<\infty~~\mu$-p.p.

b) (Lemme de BOREL-CANTELLI)  Si $ (A_n)_{n\geq1}$ est une suite de parties mesurables de $ (E,\hbox{$\cal E$})$ vérifiant $ \sum_n\mu(A_n)<\infty$, alors $ \mu(\limsup_nA_n)=0$.

a) D'après le corollaire 2-[*], la fonction $ g=\sum_n\vert f_n\vert$ est intégrable, et il suffit donc d'appliquer le corollaire [*].

b) L'assertion découle de (a) appliqué à la suite $ f_n=1_{A_n}$: d'une part on a $ \int f_nd\mu=\mu(A_n)$; d'autre part   $ \limsup_nA_n=\{\sum_nf_n=+\infty\}$. $ ~\Box$

Proposition Si $ f$ est une fonction mesurable à valeurs dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}$, on a l'équivalence:

$\displaystyle f=0~~\mu-\hbox{\rm p.p.}\quad\Leftrightarrow\quad \int \vert f\vert d\mu=0.$ (13)


Si $ f=0~~\mu$-p.p., on a aussi $ \vert f\vert=0~~\mu$-p.p., donc $ \int\vert f\vert d\mu=0$ par le lemme [*]. Si inversement $ \int\vert f\vert d\mu=0$, le lemme [*] implique $ \mu(\{\vert f\vert\geq{1\over n}\})=0$ pour tout $ n$, et comme $ \{\vert f\vert\geq{1\over n}\}$ croît vers $ \{ f\neq 0\}$ on en déduit que $ \mu(\{ f\neq 0\})=0$, donc $ f=0~~\mu$-p.p. $ ~\Box$


next up previous
suivant: Théorème de convergence dominée: monter: aic précédent: aic
Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page