Ensembles négligeables et complétion de tribus

1) Les ensembles négligeables:   Donnons nous un espace mesurable quelconque , muni d'une mesure . Un élément de est dit -négligeable si . A certains égards il est naturel de dire aussi que tout sous-ensemble de est -négligeable, qu'il appartienne à ou non: par exemple sur muni de la mesure de Lebesgue, toute partie d'un borélien de ``longueur'' nulle est naturellement qualifié aussi d'une longueur nulle. Cela conduit à la définition suivante:

Définition    Une partie de est dite -négligeable (ou négligeable par rapport à , ou simplement négligeable s'il n'y a pas d'ambiguïté quant à la mesure ) s'il existe un ensemble tel que et que .

De plus, une propriété relative aux points de est dite vraie -presque partout si le complémentaire de l'ensemble des points où elle est réalisée est -négligeable; en abrégé on écrit: est vraie -p.p.

Par exemple, si et sont deux fonctions sur , on dit que -p.p. si l'ensemble est négligeable, ou que -p.p. si l'ensemble est négligeable, etc... Si et sont deux parties de , on écrit aussi par abus de notation -p.p. (resp. -p.p.) lorsque l'ensemble est négligeable (resp. l'ensemble est négligeable), ce qui revient aussi à dire que -p.p. (resp. -p.p.).

Exemples:

1)

Supposons que la tribu contienne les singletons . Si est la mesure de Dirac au point , un ensemble est -négligeable si et seulement s'il ne contient pas (en effet le plus grand ensemble de -mesure nulle qui soit contenu dans est le complémentaire ). Noter que cette propriété est vraie quelle que soit la tribu contenant les singletons (ou même, quelle que soit la tribu contenant le singleton ).

2)

Si la tribu est engendrée par une partition finie ou dénombrable , une partie de est négligeable si et seulement si elle est contenue dans la réunion , où est l'ensemble des indices pour lesquels .

3)

Si est la mesure nulle, toutes les parties de sont négligeables; cette mesure est clairement la seule pour laquelle lui-même est négligeable.

Voici quelques propriétés simples de la classe des ensembles négligeables:

Proposition La classe vérifie les propriétés suivantes:

(1)

(2)

(3)

(4)

() est évident puisque et . Si il existe tel que et par définition. Si alors on a aussi , et on en déduit que : d'où ().

Pour les deux autres propriétés, remarquons que pour chaque il existe avec et . Par suite pour n'importe quel , de sorte qu'on a (). On a aussi ; si est fini ou dénombrable, est dans et de mesure nulle (cf. (1-)), de sorte qu'on a ().

Il découle immédiatement de () ci-dessus que

p.p. et-p.p.p.p.p.p.

(5)

p.p.

(6)

2) La tribu complétée: Par définition, on appelle tribu complétée de par rapport à la tribu engendrée par la réunion .

Voici d'abord une description de cette tribu complétée:

Proposition La tribu complétée de par rapport à égale chacune des trois classes suivantes de parties de :

a) La classe des parties de pour lesquelles il existe deux éléments et de avec

(7)

b) La classe des parties de pour lesquelles il existe et avec

(8)

c) La classe des parties de pour lesquelles il existe avec

(9)

Soit la tribu complétée; notons , et les classes de parties décrites dans (a), (b) et (c). () implique que est dans , donc on a aussi (): par suite . Si on a () il vient , donc on a aussi () et . Si on a () il existe avec et : si alors et il vient et , et , donc : on a donc (), de sorte que . Donc finalement .

Il est clair que , et que (prendre dans ()) et (prendre dans ()). Il reste donc à prouver que est une tribu.

Que est évident. Si vérifie () avec , alors vérifie aussi () avec (puisque ), tandis que : donc . Si enfin les vérifient () avec les , et si et on a , et ; cette dernière réunion est dans en vertu de (), donc également en vertu de (): par suite . Cela achève de prouver que est une tribu.

Proposition Soit la tribu complétée de . Une fonction sur à valeurs dans ou dans est -mesurable si et seulement si l'une des deux conditions équivalentes suivantes est satisfaite:

a) Il existe une fonction -mesurable telle que -p.p. (i.e. l'ensemble est -négligeable).

b) Il existe deux fonctions -mesurables et telles que

(10)

On a (b) (a): prendre par exemple ou .

Supposons (a). Pour tout , on a , donc . Comme en vertu de la -mesurabilité de , on obtient par la proposition précédente. Ceci étant vrai pour tout , il suffit d'appliquer la proposition 2- pour obtenir que est -mesurable.

Il reste à montrer que si est -mesurable on a (b). Pour cela on considère la classe de toutes les fonctions à valeurs dans et qui vérifient (b). Cette classe est stable par addition: si sont associées respectivement aux couples et par (), on peut évidemment supposer que et ; alors et sont -mesurables et et , donc , de sorte qu'on a bien . La classe est également stable par multiplication par une constante positive (même démonstration), et aussi par limite croissante: supposons que les soient dans et croissent vers ; soit le couple associé à par (); les fonctions et sont -mesurables (proposition 2-); on a clairement ; enfin , qui est négligeable par ().

Remarquer que tout vérifie (): on a donc et -p.p., de sorte que . En utilisant les propriétés prouvées ci-dessus on en déduit que contient toutes les fonctions de la forme pour et : en d'autres termes, contient toutes les fonctions -mesurables étagées positives. A cause de la stabilité de par limite croissante, et en utilisant le lemme 2-, on voit que contient toutes les fonctions -mesurables à valeurs dans (d'après ce qui est montré au début de la preuve, est en fait exactement l'ensemble de ces fonctions).

Il reste à examiner le cas où est -mesurable de signe quelconque. D'après ce qui précède il existe deux couples de fonctions -mesurables et tels que et et que -p.p. et -p.p.; noter qu'on peut toujours remplacer par la fonction -mesurable (car si on a , donc ), ce qui revient à supposer que sur , et on peut de même supposer que sur . Les fonctions et sont -mesurables et vérifient et -p.p.: donc vérifie (), et la preuve est terminée.  

3) Extension de la mesure à la tribu complétée:  On va maintenant étendre la mesure à la tribu complétée de par rapport à . On va commencer par un lemme qui sera amélioré plus loin.

Lemme a) Si et sont deux parties -mesurables vérifiant -p.p., on a .

b) Si et sont deux fonctions -mesurables vérifiant -p.p., alors admet une intégrale (resp. est intégrable) si et seulement si admet une intégrale (resp. est intégrable), et on a alors .

Comme -p.p. équivaut à dire que -p.p., (a) découle de (b) appliqué à et .

Comme -pp. implique -pp. et -pp., il suffit clairement de montrer que si et sont positives, on a . Mais si est la fonction qui vaut aux points où et qui vaut 0 là où , on a , tandis que le fait que soit étagée avec deux valeurs 0 et conduit à . Donc , et l'inégalité inverse se montre de la même manière.

Proposition Pour tout la formule

(11)

Soit deux décompositions de avec et . Comme et comme est négligeable, donc contenu dans un avec , on a , ce qui implique : ainsi la formule () ne dépend pas de la décomposition choisie pour .

Il est clair que si , et en particulier . Pour montrer que est une mesure il reste donc à prouver la -additivité. Soit une suite d'éléments de deux-à-deux disjoints, de décompositions avec et . On a , et , et , et enfin les sont aussi deux-à-deux disjoints: on a donc

Soit enfin une autre mesure sur qui étend . Si est dans , avec et , il existe avec et . Comme il vient

Voici maintenant un résultat qui contient l'amélioration promise du lemme :

Proposition a) La classe des ensembles négligeables pour est la même que la classe des ensembles négligeables pour .

b) Si est une fonction -mesurable, pour toute fonction -mesurable égale -p.p. à (il en existe d'après la proposition ), on a que admet une intégrale (resp. est intégrable) par rapport à si et seulement si admet une intégrale (resp. est intégrable) par rapport à , et dans ce cas .

a) Il est clair que la classe est contenue dans la classe des ensembles -négligeables. Inversement si il existe avec et ; mais () implique alors que avec et et : on a donc aussi , donc ; donc (appliquer la proposition ): il s'ensuit que .

b) Comme est une extension de , on a clairement qu'une fonction -mesurable admet une intégrale (resp. est intégrable) par rapport à et et seulement si c'est la cas aussi par rapport à , et on a alors . Par ailleurs, (a) implique qu'une propriété est vraie -p.p. si et seulement si elle est vraie -p.p.: la partie (b) découle alors du lemme appliqué à la mesure et à la tribu .

Cette proposition montre qu'il ne sert à rien de ``compléter'' la tribu par rapport à la mesure : en effet les ensembles -négligeables sont contenus dans , de sorte que est sa propre complétée.

Notation: Comme est l'unique extension de à la tribu , et comme les intégrales des fonctions -mesurables sont les mêmes par rapport à ou à , il est habituel de noter encore la mesure précédemment appelée .

Exemples:

1)

Supposons que soit la masse de Dirac en , et que la tribu contienne le singleton . On a vu qu'une partie de est négligeable si et seulement si elle ne contient pas le point . La tribu complétée est alors la tribu de toutes les parties de , et la mesure complétée est la masse de Dirac en (mais, maintenant, sur l'espace mesurable ).

2)

Supposons que soit muni de la mesure de Lebesgue . La tribu complétée de s'appelle la tribu de Lebesgue. Elle est strictement plus grande que la tribu borélienne, mais elle est strictement plus petite que la tribu de toutes les parties .

4) Nous allons terminer ce paragraphe avec quelques résultats en rapport plus ou moins proche avec les ensembles négligeables. Commençons par un lemme qui, connu sous le nom d'inégalité de Bienaymé-Tchebicheff, est utile dans de nombreuses applications. Dans ce qui suit on considère l'espace mesuré , mais on pourrait tout aussi bien se placer sur l'espace ``complété'' .

Lemme Si est une fonction mesurable à valeurs dans , on a pour tout :

(12)

La fonction vérifie , donc . Comme , on en déduit immédiatement ().

Corollaire Si est une fonction mesurable à valeurs dans , intégrable, alors l'ensemble est négligeable (i.e. on a -p.p.).

On a par (). Comme , il suffit de faire tendre vers l'infini pour obtenir le résultat.

Pour bien comprendre ce résultat, il faut noter que si la fonction est intégrable, elle n'est pas nécessairement à valeurs finies: modifier (par exemple remplacer les valeurs de par ) sur un ensemble négligeable n'altère pas son intégrabilité.

Corollaire a) Si est une suite de fonctions mesurables à valeurs dans et si , on a -p.p.

b) (Lemme de BOREL-CANTELLI)  Si est une suite de parties mesurables de vérifiant , alors .

a) D'après le corollaire 2-, la fonction est intégrable, et il suffit donc d'appliquer le corollaire .

b) L'assertion découle de (a) appliqué à la suite : d'une part on a ; d'autre part   .

Proposition Si est une fonction mesurable à valeurs dans , on a l'équivalence:

(13)

Si -p.p., on a aussi -p.p., donc par le lemme . Si inversement , le lemme implique pour tout , et comme croît vers on en déduit que , donc -p.p.